Construction d'un Lagrangien

[remiandre]

Bonjour !
Voilà j'aimerais savoir comment s'y prend-t-on pour construire le Lagrangien correspondant aux interactions fondamentales. Quel lien y a t-il avec la notion de symétrie ?
Merci d'avance pour vos réponses!
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[Quarkonium]

Salut,

En mécanique lagrangienne, on utilise un objet mathématique, le Lagrangien, qui une fois placé dans les équations d'Euler-Lagrange, te donne les équation de dynamique correspondantes. Il faut donc que le Lagrangien soit construit de sorte que les équations dynamiques résultantes soient en accord avec les observations (nature des particules, façon dont elles interagissent).

Les symétries d'un lagrangien sont très importantes. En effet, le théorème de Noether te dit qu'à chaque symétrie vérifiée du Lagrangien correspond une quantité conservée. Par exemple, l'invariance du Lagrangien par translation dans le temps te donne la conservation de l'énergie, l'inv. par translation dans l'espace te donne la conservation de la quantité de mouvement. Ces quantités conservées sont essentielles lorsque tu fais de la cinématique. De façon plus spécifique, le Lagrangien de l'électromagnétisme est symétrique sous rotation, et cela te donne la conservation de la charge électrique par l'interaction EM.

[remiandre]

Merci pour ta réponse. Peut-on dire alors que c'est l'invariance du système sous certaines transformations qui permet l'écriture d'un Lagrangien (qui n'est pas unique pour un système donné si j'ai bien compris...) ? Quant à cette invariance (que ce soit lors de l'application de symétries de l'espace-temps lui_même ou de symétries internes) est-elle dépendante d'un groupe (au sens mathématique du terme) ? Par exemple il me semble avoir compris que U(1) était relié à l'invariance par changement de phase de la fonction d'onde. Le problème (pour moi) c'est que je ne comprends pas pourquoi on a le droit de modifier, par exemple, l'équation de schrödinger de départ avec d'autres opérateurs que le laplacien classique et la dérivée partielle par rapport au temps.
Dans le pdf de vulgarisation du CNRS sur la symétrie de jauge (page 4 encadré 1)
Je ne comprends pas pourquoi on a le droit de passer du nabla normal à la dérivée covariante d'espace ni pourquoi on a le droit de passer de la dérivée partielle temporelle normale à la dérivée covariante temporelle... Autant je comprends l'idée de l'invariance de la vitesse de la lumière qui amène aux transfo de lorentz en RR qui aboutissent à la conservation du ds², autant là je pige pas qu'on ait le droit de modifier les opérateurs (même si j'en comprends la nécessité)...

J'espère avoir été clair.
Merci d'avance aux bonnes âmes qui sauront m'apporter leur lumière

[Quarkonium]

Il n'y a pas que les symétries ; globalement, ton Lagrangien va contenir des termes de propagation, des termes de masse, des termes d'interaction pour chaque particule et chaque interaction que tu veux mettre dans ta théorie.

Pour reprendre l'exemple de l'interaction EM, U(1) est le groupe mathématique des rotations (seule la phase change) : il contient tous les nombres complexes de norme 1, avec pour seule différence leur phase theta. Dire que le Lagrangien EM est invariant par rotation revient à dire que le multiplier par n'importe quel élément du groupe U(1) laissera son expression inchangée.

Dans le pdf, on t'explique comment, depuis la nécessité de rendre l'équation invariante sous les transformations locales (theta dépend de sa position dans l'espace-temps), nous trouvons l'existence d'un terme décrivant le champ EM avec lequel les particules pourront interagir (l'équation de Schrödinger en (2) est celle d'une particule LIBRE, elle ne décrit que la dynamique de la particule sans interaction). L'équation de Schrödinger est très générale : l'hamiltonien H contient un terme dynamique, mais également un terme de potentiel qui peut être tout et n'importe quoi ; il est zéro dans le cas d'une particule libre. Nous constatons qu'il est nécessaire d'introduire un champ vectoriel (le champ EM) pour que le Lagrangien soit invariant sous les transfos locales. L'équation de Schröd n'est pas modifiée, elle est juste testée pour le cas particulier d'une particule libre.

L'idée est donc que tu peux ajouter tous les termes que tu veux dans ton Lagrangien pour réussir à décrire l'expérience.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

autant là je pige pas qu'on ait le droit de modifier les opérateurs (même si j'en comprends la nécessité)...

Cela s'explique simplement, mais je n'ai pas le temps de le faire. Je vous renvois à http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...TCC2004.16.pdf

@+

[remiandre]

Merci à vous deux pour vos réponses. Je vais maintenant prendre le temps de la réflexion et reviendrais éventuellement ici si il y a des choses que je ne comprends pas. Bonne journée à vous