Question naïve sur la diffraction

[invitec15e8df8]

Bonjour,

J'ai fait le calcul qui permet de donner l'intensité diffractée par une fente rectangulaire de dimensions a et b, sur un écran situé à une distance D, en appliquant le principe de Huygens-Fresnel et en considérant une onde monochromatique:

I(x,y) est proportionnelle au carré de sinc(Pi*x*a/(D*lambda)) multiplié par le carré de sinc(Pi*y*b/(D*lambda))

Ma question est la suivante: en utilisant cette expression, comment peut-on retrouver (mathématiquement) que, lorsque a et b sont grands, on aura sur l'écran l'image de la fente éclairée et rien autour?

Merci d'avance pour vos réponses!
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[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Le calcul qu vous avez fait vous donne l’intensité en fonction de la direction (diffraction de Fraunhofer). Il ne calcule pas « l’ombre » de l’ouverture. Ou, à la rigueur, l’ombre à une distance très grande par rapport aux dimensions de l’ouverture. Vous ne risquez pas de «voir » les bords.
Si vous voulez calculer cette « ombre » il faut utiliser la diffraction de Fresnel, qui tient compte de la distance entre chaque petite zone de l'ouverture et le point de l’écran que l’on calcule.
Malheureusement, le calcul aboutit à des intégrales non intégrables analytiquement.
Au revoir.

[invitec15e8df8]

Merci pour la réponse!

Si j'ai bien compris, pour une grande ouverture, on observera, sur l'écran placé très loin, un point au centre (quand le sinus cardinal vaut 1) et ce point est l'image géométrique de l'ouverture puisque, comme on est très loin, l'ouverture paraît toute petite.

Du coup, une ultime question, pour vérifier que j'ai bien saisi le phénomène de diffraction. Cette fois-ci, je me place dans l'expérience des trous de Young, en plaçant l'écran loin et j'appelle a leur rayon:

- si a est tout petit: les rayons provenant des deux trous interfèrent entre eux et il y a aussi diffraction mais la tâche centrale de diffraction est très large donc, sur l'écran, on voit des bandes d'interférences d'égale intensité et il faudrait un très grand écran pour commencer à apercevoir les bandes moins intenses pour les tâches secondaires de diffraction;

- si a est petit mais pas trop: on voit une succession de bandes dont l'intensité décroît car le phénomène de diffraction a des dimensions plus petites;

- si a est grand, sur l'écran, on voit deux points, image des deux trous.

Ai-je bien compris? Merci encore!

[invite6dffde4c]

Re.

Si j'ai bien compris, pour une grande ouverture, on observera, sur l'écran placé très loin, un point au centre (quand le sinus cardinal vaut 1) et ce point est l'image géométrique de l'ouverture puisque, comme on est très loin, l'ouverture paraît toute petite.

Ce ne sera pas un point mais une image comme celle-ci :
https://upload.wikimedia.org/wikiped...r_int_rect.png

Les dimensions sur l’écran seront données par les zéros du sinus cardinal.

Du coup, une ultime question, pour vérifier que j'ai bien saisi le phénomène de diffraction. Cette fois-ci, je me place dans l'expérience des trous de Young, en plaçant l'écran loin et j'appelle a leur rayon:

- si a est tout petit: les rayons provenant des deux trous interfèrent entre eux et il y a aussi diffraction mais la tâche centrale de diffraction est très large donc, sur l'écran, on voit des bandes d'interférences d'égale intensité et il faudrait un très grand écran pour commencer à apercevoir les bandes moins intenses pour les tâches secondaires de diffraction;

Il faut séparer l’image donné par chaque trou et l’interférence entre les images de chaque trou.
Si les trous sont très petits ils éclaireront (presque) uniformément dans toutes des directions (les zéros du sinc(), seront au delà de pi/2). Puis la lumière venant de chaque trou interférera avec celle venant de l’autre et vous aurez une image de diffraction dans toutes les directions.

- si a est petit mais pas trop: on voit une succession de bandes dont l'intensité décroît car le phénomène de diffraction a des dimensions plus petites;

- si a est grand, sur l'écran, on voit deux points, image des deux trous.

Si les trous sont un peu plus grands, chacun produira sur l’écran son image de diffraction : un disque d’Airy.
Et les deux lumières venant des disques interfèreront. Mais ce que vous verrez à l’écran est le produit des deux images de diffraction.
Si une d’elles dit qu’à cet endroit vous avez un zéro, l’autre aura beau dire que c’est un maximum. Le résultat sera zéro.

Vous voulez faire de la diffraction de Fraunhofer en projetant sur un écran.
NON. Il faut que l’écran soit à l’infini. Et si les trous sont grands, vous verrez UN point lumineux (car les deux points sont trop proches pour les séparer).

Quand on calcule la diffraction de Fraunhofer on calcule l’intensité en fonction de la direction (des angles). Et non les distances sur un écran. Si l’écran est très lointain et que vous êtes proche de l’axe, vous pouvez dire que x = alpha.D. Mais il faut que les dimensions de l’objet diffractant soient négligeables par rapport à D et que alpha soit petit.

Les formules que vous avez écrites dans le premier message sont uniquement des approximations. Elles ne sont valables que dans certaines conditions.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec15e8df8]

Merci de prendre le temps de me répondre et de clarifier les choses pour moi... J'ai encore quelques points obscurs.

Les approximations faites pour la diffraction de Fraunhofer, si je reprends mon calcul, sont les suivantes:
-j'ai pris des ondes planes (pas de terme en 1/r dans l'intégrale);
- D est très grand devant toutes les dimensions du problème (longueur d'onde, dimensions du trou, coordonnées sur l'écran);
- j'ai négligé les carrés des dimensions du trou devant les carrés des coordonnées sur l'écran lorsque je calcule la contribution d'un petit élément de surface ds.

Ça, je le garde en tête pour la suite.

Pour l'image que vous me donnez sur le lien, ok on décèle bien dans les deux directions d'observation l'intensité en sinc (intense au centre et presque plus rien quand on s'éloigne) mais si a et b deviennent très grand, Fraunhofer ne s'applique plus car la troisième approximation dans ma liste n'est plus vérifiée et la formule de mon calcul n'est pas intéressante.

Pour les trous de Young, s'ils sont parallèles à l'écran d'observation, les deux tâches d'Airy qu'ils forment sont confondues (l'intensité dépend de la direction d'observation, comme vous le rappelez, et pas de la hauteur des trous) et on aura deux fois plus de lumière que s'il n'y avait qu'un trou. Simplement si le rayon des trous est petit, le cercle central occupera presque toute la place sur l'écran.

Dans le cas où le rayon est grand, Fraunhofer n'est plus valable (on ne peut plus négliger les dimensions du trou devant les coordonnées sur l'écran) et vous me dites qu'on apercevra un seul point sur l'écran. Sera-t-il bien deux fois plus intense que s'il n'y avait qu'un trou?

Excurez encore mon insistance mais je voudrais vraiment avoir les idées claires sur la question!

[invite6dffde4c]

Re.
Il y a une autre approximation que vous n’avez pas comptabilisée.
C’est que le ‘x’ dans l’écran est proportionnelle à D.tg(alpha) et non à D.sin(alpha).
Pour des petits angles pas de problème.
Il faut que vous arrêtiez de penser écran et que vous pensiez angle.
Vous pouvez penser écran, à condition de mettre une lentille au niveau des trous, et l’écran dans le plan focal de la lentille.
Dans ce cas, vous aurez une image sur l’écran qui correspond vraiment à la diffraction de Fraunhofer.

Et non, on n’aperçoit pas un « point » sur l’écran mais une zone d’aperture angulaire donnée par le sinc().

Votre attachement à penser « écran » pour Fraunhofer, est une calamité.
A+

[invitec15e8df8]

Ok! J'arrête de parler écran et je parle angle; je comprends l'approximation dont vous parlez mais je ne vois pas d'où elle vient dans le calcul "à la Fraunhofer": quand je calcule l'intégrale, le sinus intervient comme différence de deux exponentielles complexes et la question de savoir si x est en Dtan ou Dsin n'intervient pas (ou c'est compris dans le fait que comme D est supposé très grand devant x, l'approximation est valide)...

Si je tâche de résumer, en regardant une direction donnée, et en se plaçant loin, on observera toujours une image de diffraction, peu importe la dimension des objets diffractants. Si les dimensions sont très petites, l'ouverture angulaire de la tâche centrale se rapproche de Pi/2 et c'est comme si l'écran était éclairé uniformément. Mais pour utiliser la formule de Frauhofer, il faut que je continue à regarder sur de faibles écartements angulaires sinon, x et y ne sont plus petits devant D et l'approximation plante.

Bon, je sais, j'ai encore parlé écran et j'ai l'impression de m'emmêler les pensées... Ai- je raconté des bêtises dans mon dernier paragraphe?

Merci encore!

[invite6dffde4c]

Re.
Je ne sais pas si dans votre paragraphe vous parlez d’un trou ou de plusieurs.
Et vous vous faites avoir à nouveau avec des ‘x’ et ‘y’. Fraunhofer fonctionne pour tous le angles.
A+

[invitec15e8df8]

Ok, Fraunhofer fonctionne avec tous les angles donc, dans la démonstration pour le cas d'une fente, il est plus pertinent de faire apparaître sinc(Pi*a*tan(direction)/lambda) (pareil dans l'autre direction) valable tout le temps puisque D (théoriquement infini) est toujours plus grand que les dimensions du problème (on garde le fait que les dimensions de la fente restent petites devant les distances d'observation).

En fait, je me rends compte en discutant avec vous que je n'ai rien compris

[invite6dffde4c]

Re.
C’est normal. On croit avoir tout compris à la diffraction et on s’aperçoit qu’il n’est rien. Je suis aussi passé par là. Et je suis encore là pour ce qui est la diffraction d’objets 3D. Si je me connais un peu, c’est parce que j’ai passé des années à interpréter des figures de diffraction. Et j’étais aidé par des collègues qui avaient vraiment compris.

Par contre, dans cette formule :
sinc(Pi*a*tan(direction)/lambda)
ce n’est pas tangente mais sinus. La différence de chemin est donnée par d.sin(alpha) où ‘d’ est la distance entre les sources.
Par contre, la distance sur un écran est D.tg(alpha)
A+

[invitec15e8df8]

Je crois que j'ai levé un lièvre avec votre dernière remarque... Je me place dans le cas d'une fente.

Si je reprends l'expression de l'intensité diffractée avec les x et y, apparaît dans le sinc les quantités x/D et y/D qui sont rigoureusement égales aux tangentes de l'angle observé donc l'approximation tan=sin ne devrait être valable que pour les petits angles... Et pas pour les grands angles...

Pour autant, si, au lieu de faire un calcul intégral, je discrétise ma fente en N sources avec N grand (un peu comme pour un réseau) alors là, en sommant chaque contribution la différence de marché en sin apparaît naturellement, quel que soit la valeur de l'angle et on obtient un sin dans le sinc à la fin...

Il y a pour moi un problème de cohérence dans ces deux démarches donc j'ai commis une erreur dans l'une des deux, au moins... Ainsi, dans le calcul de l'intégrale, je n'ai pas besoin de faire apparaître la différence de marche explicitement, juste de supposer x et y grands devant a et b et petits devant D: cela impose-t-il donc qu'on ne peut calculer l'intégrale que pour des angles petits?

[invite6dffde4c]

Re.
Je ne comprends pas votre problème. Quand on divise la fente en un nombre infini de petites fentes de largeur dx, c’est la même chose que de la diviser en N fentes discrètes et faire tendre N vers infini.
Il me semble que votre méthode avec un nombre fini de fentes est « curieux ».
A+

[invitec15e8df8]

Je me suis mal exprimé: quand je discrétise en N fentes, je fais bien tendre N vers l'infini à la fin puis, après DL de l'exponentielle, on finit par trouver la forme en sinc.

Ce qui me pose problème, c'est que, dans le calcul de l'intégrale, tel que je m'y prends, intervient le calcul de PM (où P est un point courant de la fente et M le point de l'écran où je cherche à calculer à l'intensité) que je fais en utilisant les coordonnées de M et P puis en utilisant les approximations de Fraunhofer et, pour moi, la formule que j'obtiens ne fait apparaître du sinus dans le sinc que si on fait une hypothèse de petits angles.

A contrario, par le calcul discret, où je définis directement le point M par un couple de direction verticale et horizontale, apparaît le terme en sinus comme différence de marche entre chaque source mais, en sommant toutes les contributions, je n'ai absolument pas besoin de supposer de petits angles.

Je m'étonne que le calcul de l'intégrale ne soit pas équivalent en terme d'hypothèses préalables que le calcul discret. Je dois occulter ou mésestimer quelque chose... Mais quoi?

Merci en tout cas de votre patience!

[invitec15e8df8]

Bien sûr, le début de mon message, c'est "quand je discrétise en N sources" et pas "fentes"...

[invite6dffde4c]

Re.
Pour le calcul de N fentes, vous vous retrouvez avec la somme :

Où \phi est l’avance de phase d’une fente à la précédente : (2pi.d/lambda)sin(alpha).
C’est une série géométrique dont la somme est immédiate. Pas de DL à faire.
A+

[invitec15e8df8]

Certes, mais on doit faire un DL à un moment pour tomber sur sinc. En PJ, j'ai mené le calcul; et on retrouve bien la formule de Fraunhofer, quelque soit l'angle d'observation.

Du coup, mon problème demeure: dans le calcul de l'intégrale, pour retrouver la même formule, il me semble que l'hypothèse de petits angles est nécessaire pour obtenir un sinus (et pas une tangente...).

[invite6dffde4c]

Re.
Ce n’est pas un DL, mais un passage à la limite de n.sin(a/n) quand n tend vers infini.
Si votre prof a besoin de faire un développement limité pour cela, tant pis pour lui.
A+

[invitec15e8df8]

En fait, la rédaction est de moi; je m'intéresse au problème en autodidacte (bon, bien sûr, je n'invente rien et je m'inspire grandement de ce que je lis mais j'essaie de faire les choses moi-même). Cela dit, pour moi, les énoncés "admettre une limite non-nulle" et "admettre un DL à l'ordre 0" sont parfaitement équivalents, d'autant que, pour prouver la limite que vous donnez, il faut précisément reconnaître un taux d'accroissement de sin (sans nécessairement connaître la formule de Taylor)