Question onde

[invite2a5e22a0]

Bonjour/bonsoir

J'ai un morceau de bois de longueur L=10 m avec un Module de Young Y de 10^10 N/m^2 ainsi qu'une densité p = 740 Kg/m^3. On demande ceci:
Si ce pieux est excité à une extrémité par une force harmonique dont l’amplitude est fixe (indépendante de la fréquence), trouvez la fréquence d’excitation pour laquelle l’amplitude des déplacements de l’autre extrémité du pieux sera maximale.
(b) Si c’est plutôt l’amplitude des mouvements de l’extrémité excitée du pieux qui est fixe, quelle est alors la fréquence d’excitation optimale ?

Donc j'aurais plus de misère au b) mais j'aimerais que vous vérifiez ma démarche du a). Donc j'ai commencé par trouver ma vitesse bien facilement avec v=RC(Y/p) = 11 624m/s et puis dans les notes de cours on indique avec les conditions frontières avec la formule suivante: &(x,t)=Asin((w*x)/v+alpha)cos(wt)
1. à x=0 &(0,t)=0 donc alpha = 0
2. à x=10 &(10,t)=0 donc F(10)=alpha*Y*d&/dx=A*Y*alpha*(w/v)*cos((w*L)/v)=0
w*L/v=(n-1/2)*pi --» w=(v*pi)/L*(1-1/2)
et sachant la vitesse je trouve donc w=581,23*pi

Donc ça c'est mon a) et je ne suis même pas certain d'être dans le bon chemin. Mon prof m'a dit que en a) on applique la formule F=Focos(wt) et qu'en b) c'est plutôt A=Aocos(wt), mais je ne comprends pas comment le faire mathématiquement

Cordialement
P.S p=densité w= omega n=nombre entier 1,2,3,... Y=module de Young
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[phys4]

Si ce pieux est excité à une extrémité par une force harmonique dont l’amplitude est fixe (indépendante de la fréquence), trouvez la fréquence d’excitation pour laquelle l’amplitude des déplacements de l’autre extrémité du pieux sera maximale.

(b) Si c’est plutôt l’amplitude des mouvements de l’extrémité excitée du pieux qui est fixe, quelle est alors la fréquence d’excitation optimale ?

Vous exposez (deux) cas dans lesquels l'amplitude d'excitation à une extrémité est fixe. Quelle différence y a t-il entre les deux cas ?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
On ne le dit pas explicitement, mais il s’agit ici des ondes longitudinales le long du pieu et non des ondes transversales (qui rendent le problème bien plus compliqué).
Pour la parie a) ça ne pose de problème. On a un maximum à l’autre extrémité
.
Mais pour la partie b) il est difficile de dire que la condition en bas, là où le pieu est fixé au sol, l’amplitude des déplacements est nulle (elle le serait (presque) pour des ondes transversales.
Ici l’impédance du pieu et du sol sont comparables. Et on ne peut pas calculer facilement la condition à la frontière.

Mais peut-être que la personne qui a pondu l’exercice n’a pas pensé à ça. Faisons comme elle et fermons les yeux.
Au revoir.

[phys4]

Donc j'ai commencé par trouver ma vitesse bien facilement avec v=RC(Y/p) = 11 624m/s

La première fois que j'ai vu cette vitesse, j'ai pensé que les constantes données n'étaient sans doute pas réalistes, car cette vitesse est beaucoup trop élevée pour du bois. Puis en contrôlant le calcul je vois que les constantes sont réalistes, mais que le calcul présenté est faux.

Si l'on prend des hypothèses simples comme le suggère LPFR, cela reviendra à trouver les fréquences pour lesquelles la longueur du pieu correspond à et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a5e22a0]

Mais c'est la formule pour trouver la célérité!! et les vitesses moyennes tournent autour de 5000m/s et je ne crois pas me tromper, mais comment on peut-on calculé cette fréquence pour le b)?
Lambda /2 est un peu trop concret pour moi comment vous arrivez à cette conclusion?

[phys4]

En effet, les vitesse au delà de 5000 m/s sont réservées aux métaux et roches, pour le bois c'est plutôt autour de 3000 m/s,
Je vous invite à refaire le calcul de

Pour les longueurs la modulation d'amplitude en cos(kx) vous indique que les ventres de vibration sont en et les noeuds en

Donc entre deux noeuds vous avez un changement de phase de

ou encore avec


de même entre un ventre et un noeud il faut un changement de phase de

[invite2a5e22a0]

Pardon j'ai vraiment fait 10*10^10, alors oui j'obtiens autour de 3000. Je suis désolé j'avais une autre calculatrice que la mienne...
J'ai bien compris ce que vous avez dit sauf que mon prof nous dit de prendre A=Aocos(wt) donc il n'y a pas vraiment de cos(kx) et donc de longueur à moins que je transforme mon w en k*v et que j'isole la fréquence, mais ce ne sera pas le déplacement que je vais trouver mais plutôt le temps. (wt et non kx). Est-ce que je devrais transformer mon w en x à partir de ma vitesse et de la longueur du pieux et ensuite je fais quoi avec mon t?

Merci encore comme vous voyez je devrais décliquer bientôt merci de me répondre.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Une onde stationnaire se décrit comme le produit de deux sinusoïdes : une décrit la variation en fonction du temps : cos(ωt) et l’autre la variation de l’amplitude avec la position : cos(kx).
Qua on cherche des maximums d’amplitude ou des nœuds, seule la partie qui décrit la dépendance avec la position est intéressante.
Au revoir.

[invite6dffde4c]

Re.
Pour éviter des confusions, les deux fonctions qui décrivent l’onde stationnaire ont un décalage de phase qui dépend, pour le temps, du moment où on a déclenche de chronomètre et, pour la position, de l’endroit où se trouvent les zéros et les maxima :
y = A cos(ωt + θ) cos(kx + φ)
A+

[phys4]

J'ai bien compris ce que vous avez dit sauf que mon prof nous dit de prendre A=Aocos(wt) donc il n'y a pas vraiment de cos(kx)

Il est possible que votre prof veuille vous faire retrouver le facteur k.

Comme il faut bien une base de départ, une onde doit contenir x et t liés par phase(x + vt) ou phase(x -vt)
Si l'on écrit

ce qui nous ramène aux équations précédentes.

[invite2a5e22a0]

merci messieurs