Facteur de qualité - circuit RLC série

[Lenombredor]

Bonjour à tous !

Voilà, je poste ici parce que j'ai un problème, assez bête, mais qui me bloque depuis pas mal de temps haha et j'y vois pas le bout.. Il s'agit de la démonstration de l'équivalence de l'expression théorique du facteur de qualité Q (Q=1/RCwo = Lwo/R = 1/R*squirt(L/C)) avec son expression expérimentale (Q=wo/w2-w1, avec donc wo=1/squirt(LC) pulsation propre du circuit et w1 et w2 pulsations de coupure), pour un circuit RLC résonant, où la tension de sortie est prise au bornes de la résistance. (filtre passe-bande)
Je suis parti de l'expression expérimentale où j'ai déterminé les expressions de w1 et w2, en faisant correspondre l'expression générale du gain (en dB) du filtre correspondant à ce circuit avec le gain(dB) maximum - 3dB ; j'ai trouvé une expression de degré 2 que j'ai taché de résoudre. Par ailleurs, afin de vérifier mes calculs, j'ai fait de même en partant de la phase, c'est à dire j'ai cherché les valeurs de w1 et w2 correspondantes pour que l'expressions générale de la phase soit égale à plus ou moins pi/4.
Donc pour cette équation, j'ai trouvé un delta de (RC)²+4LC, et une différence w2-w1 (différence des racines trouvées) = squirt(((RC)²+4LC))/LC) (suis-je déjà allé un peu vite à cette étape.. ?)
Et ensuite, j'ai répété les manipulations en donc posant Q=w0/l'expression trouvée pour essayer de faire correspondre ceci à une des formules théoriques de Q, pour démontrer l'équivalence de ces formules, mais en vain.. Je fais peut être un blocage sur ces calculs, ou alors quelque chose est erroné dans ma méthode, mais la je pédale dans la semoule..
Je m'en remet donc à vous pour essayer de me sortir de ce trou, parce que ça me fait perdre un temps fou et je cours un peu après le temps en ce moment Merci d'avance pour votre lecture et votre aide, et désolé pour la lourdeur de la rédaction..
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[Kairn]

Dans la démonstration que je connais, on part de la définition du gain G (soit G=|H|), on utilise pas les expressions du type Q=Lwo/R, et on cherche les pulsations pour lesquelles G=Gmax/sqrt(2), le gain maximum Gmax se trouvant rapidement à partir de la tête de la fonction de transfert. Écrire G(w)=Gmax/sqrt(2) conduit à 2 équations du second degré, ce qui te donne 4 valeurs possibles pour w. Deux d'entre elles sont impossibles car négatives ; et prendre la différence des deux autres conduit au résultat attendu.

Plus en détails :

Pour un passe-bande d'ordre 2, on a H de la forme , avec . Par définition, , et on a . On cherche tel que , c'est-à-dire : soit : et donc :
ce qui donne bien deux équations du second degré en x : . Dans les deux cas, et les 4 possibilités pour x sont : . Les 2 solutions positives sont et , et on a : , c'est-à-dire puisque , .

[Lenombredor]

Aaaah yes exact exact, c'est beaucoup plus simple comme ça ! Enfin je sais même pas si c'était possible par le chemin que j'essayais d'emprunter...
J'étais donc trop la tête dans le guidon, à m'enferrer dans des calculs, et en ne prenant pas le problème par le bon angle
Merci bien en tous cas, c'était vraiment un problème con mais quand ça veut pas..