Problème de PFD

[jordan43]

Bonjour à tous,

Comme l'indique le titre, j'ai un problème de PFD.
J'étudie un systeme de masse/ressorts :

Considérons :
-une masse M1, son déplacement par rapport à sa position d'équilibre est noté x1
-idem pour masse M2, M3, et M4.
Ces 4 masses se translatent selon le même axe, axe horizontal.
-M1 et M2 sont liés par un ressort de raideur k, et de longueur à vide lo.
-idem entre M2 et M3, et entre M3 et M4. (tous les ressorts sont identiques, idem pour les masses)

On impose une excitation sinusoidale à M1.
On veut que M3 ne bouge pas donc on excite d'une certaine manière M4, pour que x3(t)=0

BAME appliqué à M1:
ressort liant M2 et M1
PFD: relation entre x1 et x2. (x1 connu car x1 = excitation imposée) (1)

BAME appliqué à M2:
ressort liant M2 et M1
ressort liant M2 et M3
PFD: relation entre x1 et x2 et x3. (2)


BAME appliqué à M3:
ressort liant M2 et M3
ressort liant M4 et M3
PFD: relation entre x2 et x3 et x4. (3)


BAME appliqué à M4:
ressort liant M3 et M4
PFD: relation entre x3 et x4. (4)

je rappelle que x3=0
x1 connu => (1) donne x2 => (2) donne x3........

x3 ne peut donc pas être nulle ?!

Autre idée : par superposition. (4) donne x4 avec x3=-x3 trouvée à l'étape précédente.. mais (3) pas nécessairement vérifiée ?!

d'avance je vous remercie, et vous souhaite une bonne soirée
-----

[LPFR]

Bonjour.
Comme vous dites, aïe, aïe, aïe. Car c’est impossible.
Pour que M3 ne bouge pas il faut que les forces venant de chaque côté s’annulent.
Mais comme l’excitation ne peut venir de du côte de M1 et M2, il faudrait que le ressort entre M2 et M3 ne change pas de longueur, ce qui implique que M2 ne bouge pas.
Ce qui implique que le ressort entre M1 et M2 ne change pas de longueur, donc, que M1 ne bouge pas.
Au revoir.

[LPFR]

Chaud , de nos jours c'est rare d'avoir un problème de Pénétration Fétale Diamétrale

Re.
Vous avez parfaitement raison. Utiliser des abréviations est impoli vis-à-vis de ses lecteurs. Cela correspond à « vous ne méritez pas que je fasse l’effort d’écrire les mots ou les expression en toutes lettres »
Je sais ce qu’il veut dire par PFD (que, en réalité, est la deuxième loi de Newton) : « principe fondamental de mes genoux » (attendez que la marée monte ).


Mais je ne sais pas ce que veut dire BAME. D’après Google :
https://www.google.fr/search?hl=fr&a...pe=&as_rights=
il semblerait que c’est « Black, Asian, and minority ethnic ».
J’ai pu lui répondre, car toutes ses phrases avec cet acronyme, étaient inutiles.
A+

[interferences]

Bonjour,

Je crois que c'est "Bilan des Actions MEcaniques". Un terme très à la mode en sciences de l'ingénieur.
Sinon ce n'est pas vrai LPFR M3 peut être immobile en régime permanent en absence de perte par frottement, ce qui semble être le cas ici.
Le mouvement de M4 pouvant se poursuivre sans aucune excitation (M3 ne bougeant pas) et contrebalancer l'action de M2.
Mais du coup l'excitation (l'action) de M1 doit être nulle elle aussi.
M1 ne fait que suivre M2. L'écart entre les 2 masses est constant.
Du coup il faut que la fréquence de l'oscillation (de l'excitation nulle) soit la racine carré de la constante de raideur sur la masse. C'est la seule condition.

Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[interferences]

PS : Le E de BAME c'est pour "extérieures" à priori

[Dynamix]

Salut
Pourquoi dans le brame de M4 on ne voit pas apparaître l' "excitation d'une certaine manière" ?
L' excitation n' est pas une force extérieure ?
Pourquoi dans les PDF , on ne vois pas apparaître (masse*accéleration) ?

[interferences]

Une petite œuvre d'art moderne pour expliciter le fait que la fréquence d'excitation doit être la fréquence propre du système masse ressort

[LPFR]

Re.
Je ne vois pas comment on peut obtenir ça.
J’imagine que la supposition est qu’il n’y a ni friction ni excitation.
Dans ce cas le ressort en M1 et M2 ne change pas de longueur et donc de force. Donc, M1 ne peut être animé d’un mouvement sinusoïdal que si on exerce une force externe ad hoc pour maintenir une distance constante entre M1 et M2.
(Plus les conditions de départ comme il faut).
A+

[interferences]

Re,

Ah démontrer que le régime transitoire va bien vers cet état d'équilibre c'est autre chose.
Pendant le régime transitoire la longueur entre M1 et M2 varie.


Déjà on peut étudier l'équilibre de ce régime permanent et si il est stable.
Mais là c'est compliqué. Une description lagrangienne du système serait sans doute plus approprié qu'un simple PFD et ce n'est plus vraiment ce qui est demandé.
Sinon on peut faire l'expérience...je suis assez sûr qu'avec une excitation à la fréquence indiquée on obtient bien le comportement que j'ai décrit.
Mais ne me croyez pas sur parole...

Au revoir

[interferences]

PS : Attention pour l'expérience il faut que l'action des frottements soit négligeable sur le temps d'établissement du régime permanent ( est dans les détail). Sinon j'essayerai de montrer que le régime est stable si j'ai le temps.

[stefjm]

Je n'ai sans doute pas compris la configuration du truc car si on excite un système masse ressort sans frottement à sa fréquence naturelle, on se retrouve avec deux pôles imaginaires doubles et une réponse en t.sin(t) .
Non?

[Dynamix]

PFD: relation entre x1 et x2. (x1 connu car x1 = excitation imposée)

Tu parles de relations , mais on aimerais bien les voir écrites ces relations .
x1 = excitation ?
Une excitation , pour moi ce n' est pas une position .

[interferences]

Tout à fait stef.
Mais là il y a 3 masses et 3 ressorts en réalité.
Le comportement résonant n'est pas le même.

[jordan43]

Bonsoir, en fait, je pense que je me suis mal exprimé... on souhaite imposer une excitation à M4 pour que x3 soit nulle..

[interferences]

Re,

Bon chose promise chose due.

Comme l'a dit stefjm lors d'oscillations forcées par une excitation sinusoïdale d'un système possédant une énergie potentielle de la forme on a :



où



En cherchant les solutions harmoniques particulières de cette équation différentielle c'est à dire en posant :



On trouve :



avec

Du coup la solution générale est la somme de la solution à l’équation homogène (c'est à dire les oscillations libres) et de la solution particulière :



( et sont des constantes arbitraires déterminées par les conditions initiales.)

Le problème c'est que exprimé comme ça, la solution pour un comportement résonnant () est pas évidente (y a une fraction dont le dénominateur est pas content ^^). Mais en jouant sur les constantes arbitraires, on peut exprimer la solution sous la forme :



(où et sont les nouvelles constantes des conditions initiales)

D'après la règle de l'hôpital lorsque on a alors:



Les oscillations croissent linéairement et sont déphasées de pi sur deux par rapport à l'excitation. ( t.sin(t) comme l'a dit stef )

Maintenant si on se place dans le problème présenté au départ avec 4 ressorts, 3 masses (la masse M4 ou M1 comme c'était au départ ne compte pas parce que c'est elle qui crée l'excitation) on a :



On cherche alors les solutions harmoniques particulières de cette équation :

.

On trouve alors les b (pas les abeilles attention ) en résolvant cette équation :



J'ai trouvé :







avec et

Et du coup on trouve pour le comportement résonant () :







La réponse observée est donc bien celle que j'ai décrite précédemment !!

Pour ce qui est du nouvel énoncé c'est à dire que la masse juste à côté de l'excitation ne bouge pas, il faut poser pour trouver en fonction de à toi de finir le job (Fais gaffe à ce qu'il n'y ait pas de pb de dénominateur, attention ça peut arriver ! Et dans ce cas ta solution n'existe pas.)

Au revoir

[interferences]

PS : Euh c'est 3 masses et 3 ressorts le système. Et le X qui apparait d'on ne sait où est un P dans l'expression de b2.
Sinon pense à vérifier mes calculs aussi. On ne sait jamais.

[interferences]

PPS : Sinon y a aussi des carrés aux omegas de b1 et b3 à la fin

[interferences]

Tu parles de relations , mais on aimerais bien les voir écrites ces relations .
x1 = excitation ?
Une excitation , pour moi ce n' est pas une position .

Oui moi je l'ai interprété comme ça et j'ai ignoré la masse en bout de chaine, mais c'est vrai que c'est pas clair.
Le mieux comme d'hab c'est de faire un schéma, et d'expliquer plus clairement.
En tout cas la méthode reste la même.

[stefjm]

Bonjour,
Je n'arrive pas à intuiter physiquement pourquoi le phénomène de résonance qui se produit pour une seule masse ne se produit pas pour plusieurs?
Mathématiquement, j'ai un doute sur la résolution pour le cas résonnant (à cause des divisions par 0).

Dans ce cas, on cherche une solution particulière de degré plus élevé. En Laplace cela donne des trucs du genre :
Pour le cas non résonnant : ici
Pour le cas résonnant : ici

Il faudrait que je le fasse correctement avec les matrices avec solution en exponentielle de matrice ou en transformée de Laplace du système d'équation différentielle qui devient un système d'équation algébrique pour m'en convaincre mathématiquement.
Cordialement.

[stefjm]

Oui moi je l'ai interprété comme ça et j'ai ignoré la masse en bout de chaine, mais c'est vrai que c'est pas clair.
Le mieux comme d'hab c'est de faire un schéma, et d'expliquer plus clairement.
En tout cas la méthode reste la même.

Petit soucis de causalité là , non?
C'est sur que si sur un système masse ressort qui répond en cos(t), tu imposes la position en cos(t), il va te répondre en cos(t) plutôt que de résonner en t.sin(t).

Ça explique peut être pourquoi tes calculs vont à l'encontre de mon sens physique et de mon sens mathématiques.

[interferences]

Petit soucis de causalité là , non?
C'est sur que si sur un système masse ressort qui répond en cos(t), tu imposes la position en cos(t), il va te répondre en cos(t) plutôt que de résonner en t.sin(t).

Ça explique peut être pourquoi tes calculs vont à l'encontre de mon sens physique et de mon sens mathématiques.

Ben le sinus arrive quand on a un pb avec les "b" (c'est à dire un coeff de b qui tend vers l'infini à cause d'un dénominateur qui tend vers zéro).
Du coup la règle de l’hôpital s'applique sur un cos x / x² et ça te donne un x sinus x.
Là on a pas de pb de ce genre quand .

Par contre on peut remarquer que pour le système que j'ai étudié, quand , b1 b2 et b3 tendent vers l'infini donc là y a un pb.
Une autre fréquence qui pose pb est où tous les b tendent aussi vers l'infini.

Bon je me suis ptet mal exprimé parce que n'est pas un comportement résonant...c'est la fréquence de résonance d'un système masse ressort simple. Pas de celui là.
Meaculpa.

Sinon y a encore la question de savoir si j'ai bien interprété l'énoncé...mais bon ça ce n'est pas ma faute.

Au revoir

[interferences]

PS : euh la règle de l'hôpital c'est sur un cos wt / w² et ça donne -(t/2w) sin wt

Il y a aussi sans doute d'autres fréquences de résonance (qui posent pb) mais qui apparaissent moins clairement dans mes équations.

[stefjm]

J'ai quand même un gros doute sur la règle de l'Hospital.
Pour moi, cette règle donne la limite en un point d'une fonction, mais pas la fonction limite.
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...9;H%C3%B4pital

En tout cas, si ça marche, je ne l'ai jamais utilisé comme cela.

[interferences]

Oui mais c'est utilisé par rapport à pas par rapport à t.
Après c'est sûr que si on fait varier les fréquences d'excitation dans le temps...c'est plus valable mais...