Tenseur de contrainte & force/couple résultants

[invite42debaf1]

Bonjour,

J'ai un souci de principe ; je ne suis pas sûr de ce qui suit aussi, quelqu'un pourrait-il svp me dire son avis ?

Prenons une poutre (horizontale) encastrée à gauche. Considérons une section de ladite poutre, en x = x0, l'axe x étant donc horizontal et y vertical. Considérons également ce problème, pour simplifier, comme étant plan (pas d'axe z).

Prenons un petit élément dx dy du côté gauche de la section. La poutre subissant des forces, cet élément subit des contraintes. Le tenseur (de contrainte) correspondant est :

a11 a12
a12 a22

Et enfin ma question : afin de calculer le couple et l'effort tranchant de cette section, comment manier ce tenseur ?

Faut-il prendre, pour cet élément (et donc tous ceux qui ont un x = x0), afin de calculer le couple de la section, dForce = a11 . dx + a12 . dy ? Je ne suis pas sûr pour ce a12.dy ; ce qui me motive est le fait qu'il représente une composante (de cisaillement) dans la direction x (comme y d'ailleurs, par définition) et il me paraît logique de le considérer.

Idem pour l'effort tranchant : faut-il prendre dT = a22 . dy + a12 . dx ?

Voilà, j'espère avoir été assez clair demandez-moi plus d'info si nécessaire !

Au plaisir de vous lire, cordialement,

dike
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[invitef29758b5]

Salut

Considérons également ce problème, pour simplifier, comme étant plan (pas d'axe z).

Simplification abusive .
Il n' y a pas d' efforts dans une poutre à 2 dimensions .
Si , par exemple tu as une contrainte d' extension t dans le sens x , pour obtenir un élément de force dF en x il faut appliquer t à un élément de surface dS = dy Λ dz
Il y a donc obligatoirement 3 dimensions en jeu .

[invite42debaf1]

Très bien,

Disons alors, pour le tenseur en 3 dimensions :

a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33

Serait du coup l'élément de force, pour le calcul du moment de flexion, donc selon x : dF = a11.dy.dz + a12.dx.dz + a13.dx.dy ?

Serait du coup l'élément d'effort tranchant, donc selon y : dT = a22.dx.dz + a12.dy.dz + a23.dx.dy ?

[invitef29758b5]

Fais un croquis .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42debaf1]

voici un premier croquis, dis-mois si c'est suffisant comme ça

[invitef29758b5]

Sur l' élément de section que tu montres , section que tu montres , tu as 3 forces .
Deux pour les cisaillement a13 et a23
Une pour l' extension a33
Les autres contraintes ne s' appliquent pas dans ce plan de coupe .

[invite42debaf1]

Merci de ta réponse et je n'ai toujours pas compris.

Qu'est-ce qui s'applique stp pour le calcul du moment dans le plan xy ?

dF = a11.dy.dz + a12.dx.dz + a13.dx.dy ? Ou alors autre chose ? Je doute surtout si il faut prendre les cisaillements ou non...

A+, cordialement,

Dike

[invitef29758b5]

Tu ne prends pas les cisaillements .

[invite42debaf1]

Une pour l' extension a33

Hello,

Il y a juste une chose qui me perturbe : pour calculer mon moment M dans le plan xy (cf. en haut de l'image ci-jointe), il faut bien que j'intègre sur la face de ladite section les dF suivants ?

dF = a11.dy.dz

Je te demande ça car tu me parles de a33...

A+

[invitef29758b5]

Oui .
Tu as représenté un élément de surface en xy et ta section est en yz .
D' ou l' embrouille .

[Resartus]

Bonjour,
Si on veut faire le calcul à partir des petits volumes dx/dy/dz, seuls les termes en a11(x, y) vont donner une contribution au moment fléchissant, car ils sont intégrés sur une hauteur y et une largeur z finie , tandis que les termes a12 et a13 sont multipliés par dx qui est infiniment petit.

En résumé, dans cette configuration :
Pour le calcul de l'effort tranchant, on ne prend en compte que l'intégrale de la composante a22.dy.dz. Ce terme a22 est soit indépendant de y si on néglige le poids de la poutre, soit une fonction affine de y si on veut prendre le poids en compte

Pour le calcul de l'effort normal, on intègre la composante a11
Pour le calcul du moment fléchissant, on intégre y.a11
Il faut rajouter l'hypothèse additionnelle que la poutre est homogène, pour pouvoir écrire que a11 est proportionnel à la déformation, et donc va être une fonction affine de y
Ensuite, comme l'effort normal est nul, on en déduit que a11 est nul au milieu (fibre neutre) et est de la forme ky
et le moment fléchissant sera de la forme k.Z.Y^3/12. où Y est la hauteur de la poutre et Z sa largeur

[invite42debaf1]

le moment fléchissant sera de la forme k.Z.Y^3/12. où Y est la hauteur de la poutre et Z sa largeur

Merci de l'info, et mon problème est bien plus compliqué ; je sors de l'hypothèse de Bernoulli : je ne peux pas considérer une face plane avant déformation comme étant plane après ladite déformation (gauchissement des faces).

Je sors de la "résmat" - je navigue dans la théorie de l’élasticité...

Pour le calcul de l'effort tranchant, on ne prend en compte que l'intégrale de la composante a22.dy.dz.

? -> a22 se trouve sur la face dx.dz, pas dy.dz...

A+ & à bientôt j'espère

[Resartus]

Oups ,en effet, c'est a21 (et pas a22) qu'il faut intégrer pour l'effort tranchant.

Mais tu parles de gauchissement. Cela veut-il dire que la poutre n'est pas symétrique selon le plan Oxy? Si c'est le cas, on ne peut plus oublier a31, et il y aura sans doute un couple de torsion résultant

[invitef29758b5]

Mais tu parles de gauchissement. Cela veut-il dire que la poutre n'est pas symétrique selon le plan Oxy?

Non il parle du gauchissement des sections (en grandes déformations)
Voir "Hypothèses pour les calculs"
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres

Ce que je ne comprends pas dans l' histoire , c' est que le tenseur est connu , mais pas les efforts ...
J' ais toujours vu le tenseur calculé à partir des efforts , jamais l' inverse .

[invite42debaf1]

C'est bien des grandes déformations.

c' est que le tenseur est connu , mais pas les efforts ...
J' ais toujours vu le tenseur calculé à partir des efforts , jamais l' inverse .

Le tenseur n'est pas si connu ; par contre on peut supposer effectivement savoir ce que vaut le moment M (et l'effort tranchant T).

Je comptais plutôt remonter au tenseur - du coup en fait au champ de contraintes - effectivement.