Pièce qui bascule en bord de table

[Anduriel]

Bonsoir,

J'essaie d'écrire l'évolution de l'angle que fait une pièce avec une table horizontale, lorsque cette pièce commence à basculer.

Est-ce que quelqu'un à déjà eu à traiter ce problème?

Pour que la pièce bascule, la moitié de la pièce doit avoir "franchi" le bord pour que la masse du côté du vide créé un moment supérieur à l'autre moitié de la pièce.
Sur un modèle simple, j'aurais simplement:

alpha = (M/2) * g * t^2 / (2 * J)

où:
- M/2 = la moitié de la masse de la pièce du coté "vide" de la table
- g = 9.81 m/s²
- t = temps
- J = moment d'inertie d'un cylindre

Par contre, le modèle ne prend pas en compte que lorsque la pièce bascule, est glisse, et donc que la masse n'équivaut plus à la moitié de la pièce, mais à celle correspondante à la surface "dans le vide" qui augmente aussi.
Donc la masse est pondérée selon cette surface (voir segment circulaire sur wikipedia).

Quelqu'un a-t-il déjà pris ce glissement de la pièce en compte?

Merci
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[Dynamix]

Salut
Ton raisonnement est complètement faux .
Si tu as exactement la moitié de la pièce qui dépasse de la table , le moment du poids est nul et donc l' angle qu' elle fait avec l' horizontale n' a pas de raison de varier .
Elle bascule quand le moment du poids n' est plus contré par la réaction de la table . Autrement dit quand le centre de gravité est hors de la table .
Si le centre de gravité est à une distance x hors du bord de la table , le moment du poids est :
m.g.x
En vertu de la deuxième loi de Newton :
m.g.x = Ixx.dω/dt
L' axe xx est l' axe de rotation = le bord de la table .
Ixx = Ig + mx²

[Dynamix]

Comme l' angle varie l' équation devient :
m.g.x.cosθ = Ixx.d²θ/dt²

[Resartus]

Bonjour,

La question complète est un peu compliquée à traiter, et dépend de l'hypothèse qu'on fait sur le coefficient de frottement de la pièce sur le rebord de la table.

Tant que la pièce est en contact avec la table, on peut décrire la position de la pièce par deux variables d'état : l'angle qu'elle fait, et la distance du centre de gravité au rebord.

Ensuite, si on suppose que la réaction de la table est sans frottement, cette réaction est toujours perpendiculaire à la pièce et est une inconnue de plus.
On peut résoudre le problème en écrivant les lois de newton et du moment cinétique(3 équations pour trois inconnues et équations du seconde ordre), mais il est sans doute plus simple d'utiliser la méthode du lagrangien.

Dans le cas où il existe un coefficient de frottement, il faut distinguer deux phases : au début, la réaction du support est suffisante pour entrainer une rotation sans glissement, et la distance du centre de gravité de la pièce au rebord reste constante (c'est le cas simple qu'a décrit dynamix)
Ensuite, la piéce commence à glisser, et la réaction du support fait un angle avec la perpendiculaire à la pièce. Idem que précedemment (3 équations pour trois inconnues),

Il ne me semble pas qu'on puisse trouver une solution analytique (mais on peut résoudre numériquement)

Dans tous les cas, après un certain temps, la réaction s'annule, et la pièce cesse de toucher la table. Elle conserve sa vitesse de rotation et sa vitesse latérale, et il n'y a plus que la force de pesanteur sur le centre de gravité. On constate expérimentalement que la pièce ne va plus retoucher la table (ce qui n'était pas évident a priori).

Ensuite, on peut vérifier, selon la hauteur de la table, si la loi de la tartine va s'appliquer.... Bon courage...

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Maintenant il faut ajouter une vitesse horizontale à l’objet et on pourra démontrer la Loi de la Tartine Beurrée.
Au revoir.

[albanxiii]

Bonjour,

Merci LPFR, maintenant on sait que les concepteurs de sujet de concours s'inspirent des IgNobel... Cf Mines-Pont PSI 1999.

sec-minesponts-1999-phy1-PSI.pdf

[LPFR]

Re.
C’est malgré tout un problème amusant.
Et puisque on est à l’amusement, je rappelle une grande paradoxe crée par ce problème qui est celui de la tartine attachée sur le dos d’un chat. Est que l’ensemble tombe sur le côté beurré ou sur les pattes du chat ?
A+

[antek]

Est que l’ensemble tombe sur le côté beurré ou sur les pattes du chat ?

Le mouvement perpétuel . . . ?

[Anduriel]

Merci Résartus.

Re.
C’est malgré tout un problème amusant.
Et puisque on est à l’amusement, je rappelle une grande paradoxe crée par ce problème qui est celui de la tartine attachée sur le dos d’un chat. Est que l’ensemble tombe sur le côté beurré ou sur les pattes du chat ?
A+

D'après une vidéo sur Youtube, cela créé une rotation infinie très rapide du chat en sustentation qui créé un moment significatif pouvant être transformé par un alternateur en énergie électrique.
Je n'ai pas encore réussi à reproduire l'expérience chez moi... Nobel à la clef.

https://www.youtube.com/watch?v=Okpvcp5BjcU

[Dynamix]

D'après une vidéo sur Youtube, cela créé une rotation infinie très rapide du chat en sustentation

C' est une absurdité .
Le chat est tout simplement dans deux états quantiques superposés .
C' est assez commun chez les chats .