Paradoxe de Zénon : contradiction.

[invitecd32eb14]

Bonjour, bonsoir,

Comme le titre l’indique, je voudrais parler d’un Paradoxe de Zénon, qui m’a longtemps fait croire que l’espace était discontinu, mais maintenant j’ai de sérieux doutes… En tout cas, le Paradoxe de Zénon a quelque chose de fallacieux, car, comme on va le voir, il suppose de considérer à la fois que l’espace est continu et discontinu, ce qui n’est bien sûr pas acceptable.

Je considère le cas d’une flèche qui est censée ne jamais atteindre sa cible, car la distance qui les sépare ne devient jamais nulle. En effet, quand la flèche a parcouru la moitié de la distance qui la sépare de la cible, soit AB/2 , il reste encore la même distance à parcourir. Ensuite, quand la flèche a parcouru la moitié du trajet restant, soit AB/4, il reste encore AB/4 à parcourir, et ainsi de suite. On obtient une suite qui converge vers zéro mais dont aucun terme ne vaudra jamais zéro, ce qui semble vouloir dire que la flèche n’atteindra jamais sa cible, puisque la distance qui la sépare de cette dernière ne s’annule jamais.
Certains pensent que le problème est résolu dès qu’on fait intervenir la notion de convergence de la suite, mais je pense que cela ne règle en rien le problème. La distance qui sépare la flèche de sa cible ne vaudra jamais zéro, donc la flèche ne devrait pas atteindre sa cible, point barre.

Ce constat est très troublant, car on sait bien qu’en fait la flèche va atteindre sa cible. Mais il y a ce qu’on peut considérer bel et bien comme une erreur dans le Paradoxe de Zénon :

En effet, si on considère que la flèche parcourt AB/2, puis AB/4, puis AB/8 etc… on voit bien que cette distance tend vers zéro, qu’elle peut donc être aussi petite que l’on veut sans jamais être nulle, ce qui veut dire qu’on considère que l’espace est continu. Si l’espace n’était pas continu, il existerait une distance «*d*» au-delà de laquelle on ne pourrait pas descendre, c’est-à-dire qu’il ne serait pas possible, par exemple, de parcourir d/2. Les objets en mouvement feraient des «*bonds*» au lieu d’avoir à parcourir toute la distance en continu.

Dans le Paradoxe de Zénon, on considère donc sans le dire que l’espace est continu. Mais il y a alors un problème : on a commencé par dire que la flèche avait déjà parcouru AB/2, et que seulement alors elle parcourait AB/4, ensuite AB/8 etc… Si l’espace est discontinu, il n’y a pas de problème : la flèche se déplace en faisant des «*bonds*» de longueur d ou nxd, où n est un nombre entier non nul. On comprend bien alors que la flèche va finir par atteindre sa cible.
Mais si l’espace est continu, comme on l’a supposé, c’est une autre histoire… Quand la flèche se trouve à son point de départ, elle doit déjà parcourir, par exemple, la distance d dont on a parlé précédemment. Mais si l’espace est continu, cette fois-ci elle doit d’abord avoir parcouru la distance d/2 pour qu’il puisse être question de parcourir la distance d. Et avant cela, elle doit déjà parcourir la distance d/4, d/8, d/16 etc… Comme cette suite tend vers zéro, mais cette fois dans un domaine continu, on voit que pour s’éloigner de son point de départ, la flèche doit parcourir la plus petite des longueurs d/2, d/4, d/8, d/16 etc… et finalement on trouve qu’elle doit parcourir la distance nulle, c’est-à-dire qu’elle doit rester sur place, et ceci une infinité de fois, puisqu’il y a une infinité de termes dans la suite d/2, d/4, d/8 etc… Autrement dit, au fur et à mesure que le temps passe, la flèche doit rester à son point de départ et elle ne parcourra donc jamais la distance AB/2, et n’atteindra donc jamais sa cible.

On voit donc qu’il y a une véritable erreur dans le Paradoxe de Zénon : on suppose sans le dire que l’espace est continu, mais si l’espace est continu, on n’avait alors pas le droit de dire «*quand la flèche aura parcouru la longueur AB/2*», puisqu’on a vu que la flèche va en fait toujours rester à son point de départ. Le Paradoxe de Zénon ne prouve donc rien, il n’est tout simplement pas valide.

On pourrait être tenté de conclure que tout cela montre que l’espace est discontinu, mais ce n’est pas si simple, j’en parlerai une autre fois.
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[albanxiii]

Bonjour,

Oui, et ?

Rappel : le forum n'est pas un blog...
Rappel : les théories personnelles n'ont pas vocation à être exposées ici.

Pour la modération.

[Amanuensis]

ce qui veut dire qu’on considère que l’espace est continu.

Dépend de la définition. Celle, usuelle, ne permet pas de considèrer par Q comme "continu" (R oui, mais pas Q). Or tout ce qui est décrit peut se faire avec seulement des nombres rationnels.

[invitedd78828e]

Je pense qu'il s'agit d'une résolution un peu trop tortueuse du paradoxe alors que la vraie solution n'impose pas de tirer des conclusions sur les propriétés de l'espace. Soit v la vitesse de la flèche qu'on suppose constante (mais on s'en fiche en réalité). Ce que nous dit Zénon est que la longueur à parcourir L est une somme de petits segments delta L :

Zénon nous dit que pour parcourir chaque segment il faut un certain temps dépendant de la vitesse, ce qui va nous donner un temps total :

Le paradoxe consiste simplement à dire : faisons tendre n vers l'infini, T est une somme infinie d'éléments non nuls, T est donc infini.
La solution est simplement la suivante : la valeur de la somme d'un nombre infiniment grand d'éléments infiniment petits n'est pas nécessairement infinie ou nulle.

(Volontairement je n'ai employé ni intégrales ni quantité infinitésimale pour mieux adapter l'explication à la façon dont le problème est posé, cela dit si Zénon avait raison le calcul infinitésimal et donc toute la physique n'auraient plus aucun sens.)

Les réflexions concernant la continuité ou la discontinuité de l'espacte-temps seraient plus fructueuses dans le cadre de la mécanique quantique, et notamment lorsqu'on s'intéresse au principe d'incertitude de Heisenberg.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

J
Le paradoxe consiste simplement à dire : faisons tendre n vers l'infini, T est une somme infinie d'éléments non nuls, T est donc infini.

Pas si clair que cela... Évidement, il y a diverses manières de présenter le paradoxe de Zénon, et la tentation est forte de le voir de la manière adaptée à la solution envisagée.

De fait, ce paradoxe (avec les autres du même qui sont restés à la postérité) est discuté depuis des siècles, et il y a toute une littérature sur le sujet. D'une part c'est difficile de proposer du nouveau, et d'autre part un minimum de lecture montre qu'il y a pas mal de subtilités.

[invitedd78828e]

En tout cas il s'agit du noyau "mathématique" de ce paradoxe (d'ailleurs on dit les paradoxes de Zénon, mais en réalité la tortue, la flèche et la pluralité reposent sur la même erreur qui est de postuler qu'une somme infinie d'éléments non nulles est infinie). Je suis persuadé que c'est très riche pour les philosophes (j'ai des souvenirs d'avoir étudié la résolution de Bergson des paradoxes), mais d'un point de vue physique ça n'apporte pas grand chose car toute tentative de mathématiser l'Achille ou la flèche doit se baser sur un postulat faux.

Que l'espace-temps soit discret ou continu la résolution mathématique du problème reste la même (dans le premier cas avec des séries, dans le second avec des intégrales). A la rigueur on prouve que les mathématiques sont adaptées pour décrire notre monde, ou du moins les modèles que nous en faisons.

[invite9dc7b526]

Le Paradoxe de Zénon ne prouve donc rien, il n’est tout simplement pas valide.

qu'est-ce que c'est qu'un paradoxe non-valide?

[pm42]

on prouve que les mathématiques sont adaptées pour décrire notre monde, ou du moins les modèles que nous en faisons.

Vu que les modèles sont mathématiques, on est proche de la tautologie.

[invite29cafaf3]

Mesdames, messieurs,

Ici radio Elée, Zénon (contrôleur aérien) vous informe que le Paris New-York est en approche et n'arrivera peut-être jamais à destination, les derniers centimètres sont très durs à parcourir (de plus en plus d'ailleurs), ça ralenti un max.
Info accessoire, le lapin qui parcourait la piste l'a devancé avant l'atterrissage futur espéré.
Leibnitz se penche sur le problème et espère faire parvenir l'avion à destination avant l'hiver prochain.

Ding dong, l'appareil en provenance de Bruxelles est en approche de plus en plus lente, le pilote n'en finit pas de faire des divisions par deux sur la vitesse d'approche ... il compte passer par tous les points du plan mais n'arrive pas à les dénombrer, c'est sans limite.

Ding dong, le vol Youpitou Tagada vient de se crasher en beauté, le pilote à dépassé la limite, Monsieur Leibnitz analyse la situation et compte bien comprendre comment le malheureux pilote à pu faire une erreur de calcul de ... limite.

[erik]

qu'est-ce que c'est qu'un paradoxe non-valide?

Un paradoxe non paradoxal

[invitef29758b5]

qu'est-ce que c'est qu'un paradoxe non-valide?

Un paradoxe issu d' un raisonnement faux .
Comme celui de Zénon .

[invite29cafaf3]

Un paradoxe issu d' un raisonnement faux .
Comme celui de Zénon .

Attention Dynamix, en logique formelle un paradoxe n'est pas "faux ou "vrai" (termes qui n'ont d'ailleurs pas droit de cité en logique), on dira seulement valide ou non valide.

La question est : la question de Zénon est-elle un paradoxe ? (et du coup on ne se soucie plus de la notion de validité).

[Amanuensis]

Attention Dynamix, en logique formelle un paradoxe n'est pas "faux ou "vrai" (termes qui n'ont d'ailleurs pas droit de cité en logique), on dira seulement valide ou non valide.

La question est : la question de Zénon est-elle un paradoxe ? (et du coup on ne se soucie plus de la notion de validité).

Quel intérêt? Vrai ou faux, paradoxe ou non, ... Ce n'est pas un mot ou un autre qui va rendre compte de l'intérêt d'une question, des discussions de dizaines ou centaines de personnes s'étant penchées sérieusement sur le sujet, des subtilités qu'elles y ont trouvées.

C'est un sujet nul pour un forum, qui ne peut déboucher, comme on le voit déjà, que sur des opinions au couteau, des arguments simplistes, etc.

Mais un bon sujet pour lecture (d'écrits sérieux) et réflexions (à partir de ces écrits sérieux).

[invitedd78828e]

pm42 =>

Vu que les modèles sont mathématiques, on est proche de la tautologie.

Et non, car dire "les modèles sont mathématiques" revient en fait à dire "les modèles utilisent les mathématiques construites sur certains axiomes particuliers", et ça change tout car je peux très bien changer les axiomes et les mathématiques restent toujours "vraies" (c'est-à-dire que chaque "équivalence" qu'on écrit est "vraie" donc chaque déduction est "vraie" ce quels que soient les axiomes de base).
La question n'est donc pas de savoir ce qui est vrai ou faux mais simplement de savoir si les mathématiques choisies pour notre modèle lui permettent d'être proche de la réalité.

Typiquement les mathématiques ne seraient pas adaptées pour modéliser un monde où le fait de lancer une balle dix fois avec les dix mêmes conditions initiales donnerait dix trajectoires différentes.

Donc les paradoxes de Zénon, du fait qu'ils soient démentis par les mathématiques utilisés dans nos modèles - où le mouvement peut donc exister - renforcent notre croyance que les mathématiques sont adaptés pour modéliser la réalité.

pelkin => Ton message est excellent

[invite29cafaf3]

Quel intérêt? Vrai ou faux, paradoxe ou non, ... Ce n'est pas un mot ou un autre qui va rendre compte de l'intérêt d'une question, des discussions de dizaines ou centaines de personnes s'étant penchées sérieusement sur le sujet, des subtilités qu'elles y ont trouvées.

C'est un sujet nul pour un forum, qui ne peut déboucher, comme on le voit déjà, que sur des opinions au couteau, des arguments simplistes, etc.

Mais un bon sujet pour lecture (d'écrits sérieux) et réflexions (à partir de ces écrits sérieux).

J'ai toujours adoré vos certitudes et votre omniscience, qui consiste avant tout à considérer les autres comme des demeurés, continuer donc à nous régaler.

Question annexe : Que faites vous donc sur ce forum, seriez vous le deus ex-machina des sujets valables ou non valables pour Futura-Science ?

[invitecb7c417d]

Mesdames, messieurs,

Ici radio Elée, Zénon (contrôleur aérien) vous informe que le Paris New-York est en approche et n'arrivera peut-être jamais à destination, les derniers centimètres sont très durs à parcourir (de plus en plus d'ailleurs), ça ralenti un max.
Info accessoire, le lapin qui parcourait la piste l'a devancé avant l'atterrissage futur espéré.
Leibnitz se penche sur le problème et espère faire parvenir l'avion à destination avant l'hiver prochain.

Ding dong, l'appareil en provenance de Bruxelles est en approche de plus en plus lente, le pilote n'en finit pas de faire des divisions par deux sur la vitesse d'approche ... il compte passer par tous les points du plan mais n'arrive pas à les dénombrer, c'est sans limite.

Ding dong, le vol Youpitou Tagada vient de se crasher en beauté, le pilote à dépassé la limite, Monsieur Leibnitz analyse la situation et compte bien comprendre comment le malheureux pilote à pu faire une erreur de calcul de ... limite.

Très bon pour les zygomatiques

Je rebondis néanmoins sur ce que serait nommé ici : la ou les natures (l'essence ?) de l'espace, qui se supplemente du temps (c'est une des possibilités pour le rendre moins paradoxal, ce terrible paradoxe de Zenon ).
De fait cette réflexion m'amène à penser ce qui semble aussi un paradoxe pour la relativité, à savoir que on ne sait pas à proprement parler (simultanément) d'un impact de missile en accélération constante qui atteint sa cible depuis un vaisseau militaire spatial.
Autrement dit, ça dépend du référentiel. Pour des régimes de vitesses relativistes. La contraction des longueurs spatiales peut permettre d'y voir plus clair lorsqu'il s'agit de résoudre ce paradoxe de Zenon, il y a contraction pour tout objet qui est ici confondu avec son déplacement (et l'espace lui même se déforme vers celui ci).
En MQ, on ne sait pas aller à l'infini de la sommation infinitésimale puisqu'on se heurte à la longueur de Planck. Donc que l'espace soit fait de feuillets ou que le contact en un point ne soit possible, est une évidence pour ce qui nous intéresse ici. À savoir, la Physique. Les espaces, donc, ne sont pas des entités "rigides", seuls les repères le sont.

[pm42]

pm42 =>
Et non, car dire "les modèles sont mathématiques" revient en fait à dire "les modèles utilisent les mathématiques construites sur certains axiomes particuliers",

Merci pour le cours.

et ça change tout car je peux très bien changer les axiomes et les mathématiques restent toujours "vraies" (c'est-à-dire que chaque "équivalence" qu'on écrit est "vraie" donc chaque déduction est "vraie" ce quels que soient les axiomes de base).

Et cela ne change rien.

La question n'est donc pas de savoir ce qui est vrai ou faux mais simplement de savoir si les mathématiques choisies pour notre modèle lui permettent d'être proche de la réalité.

Non plus parce que la plupart des mathématiques utilisées ne dépendent pas fortement des axiomes fructueux.

Typiquement les mathématiques ne seraient pas adaptées pour modéliser un monde où le fait de lancer une balle dix fois avec les dix mêmes conditions initiales donnerait dix trajectoires différentes.

Ca tombe vraiment mal comme exemple puisque justement, on modélise précisément cela. Soit parce qu'il est impossible de connaitre précisément les conditions initiales (cf. théories du chaos), soit parce qu'il y a une réelle limitation physique (mécanique quantique).
Et on a tous les outils mathématiques pour.

Donc les paradoxes de Zénon, du fait qu'ils soient démentis par les mathématiques utilisés dans nos modèles - où le mouvement peut donc exister - renforcent notre croyance que les mathématiques sont adaptés pour modéliser la réalité.

Non plus puisque justement, le paradoxe de Zénon était une utilisation des mathématiques pour contredire la réalité.

Je vous déconseille d'éviter d'affirmer autant de choses sur l'épistémologie, l'usage des maths. Vous semblez en avoir une vision très simplifiée.

[erik]

On ne peut pas dire

les mathématiques sont adaptés pour modéliser la réalité.

Une (grande) partie des mathématiques n'a aucun rapport avec la réalité.
On peut tout juste dire "la partie des mathématiques que l'on utilise pour modéliser la réalité est adaptée à cette modélisation et c'est pour cela qu'on utilise cette partie des maths". Et en effet on est en pleine tautologie.

[invitedd78828e]

Excusez-moi je ne souhaite rien imposer quant à la forme d'un éventuel débat, je signale donc juste à titre informatif qu'avec le temps j'ai de plus en plus de mal à débattre "en quotes" car je trouve que disséquer le message de l'interlocuteur peut lui faire perdre de sa cohérence et surtout peut lancer des sous-débats qui ont pour conséquence de faire perdre l'idée d'origine et d'augmenter à grande vitesse la taille des messages. Je ne fais bien sûr qu'exprimer un avis discutable !

pm42 : Les mathématiques utilisées dépendent extrêmement fortement des axiomes, en fait, pour la simple raison que les théorèmes mathématiques ne font qu'écrire autrement les axiomes, en utilisant des objets arbitrairement - mais judicieusement - définis. Les mathématiques ne sont qu'une réécriture, donc si je supprime un axiome je détruit la chaîne. Ainsi il suffit de changer quelques axiomes pour voir la propriété citée précédemment (une addition infinie de termes infiniment petits n'est pas nécessairement infinie ou nulle) disparaître, et les paradoxes de Zénon devenir valables.

Mon exemple de la balle se référait évidemment à la mécanique classique et aux mathématiques qui la fondent. J'ai peur que ma connaissance de la physique quantique ne soit pas assez poussée pour me permettre d'apporter des exemples intéressants, mais je pense ne pas trop me tromper en disant qu'un univers où la linéarité de l'équation de Schrödinger n'entraînerait pas le principe de superposition ne saurait être modélisé à l'aide de nos mathématiques.

Plus simplement, revenons-en au sujet : un univers où une addition infinie de périodes infiniment courtes donnerait toujours une durée infinie ne saurait être modélisé à l'aide de nos mathématiques. Le mouvement n'y existerait pas. Une éventuelle conscience vivant dans cette univers aurait donc intérêt - et le ferait naturellement, la notion de mouvement n'ayant aucun sens pour elle - à créer d'autres mathématiques fondées sur d'autres axiomes.

erik : En fait c'est exactement ce que je dis. Ce n'est pas une tautologie, j'affirme simplement que l'absence d'incohérence entre notre modèle et la réalité renforce l'idée que "la partie des mathématiques que l'on utilise", comme vous dites, permet effectivement de décrire la réalité, ce qui pourrait ne pas être vrai.

[pm42]

pm42 : Les mathématiques utilisées dépendent extrêmement fortement des axiomes, en fait, pour la simple raison que les théorèmes mathématiques ne font qu'écrire autrement les axiomes, en utilisant des objets arbitrairement - mais judicieusement - définis.

Cela ne veut pas dire grand chose. Et je parlais plus haut des axiomes fructueux.

Les mathématiques ne sont qu'une réécriture, donc si je supprime un axiome je détruit la chaîne.

Cela ne veut pas dire grand chose non plus.

Ainsi il suffit de changer quelques axiomes pour voir la propriété citée précédemment (une addition infinie de termes infiniment petits n'est pas nécessairement infinie ou nulle) disparaître, et les paradoxes de Zénon devenir valables.

J'attends un exemple de changement d'axiome qui fasse que le paradoxe de Zénon devienne "valable" (je ne suis pas sur de ce que recouvre ce mot).

Mon exemple de la balle se référait évidemment à la mécanique classique et aux mathématiques qui la fondent.

Oui et il était faux même dans ce contexte (cf. la référence donnée aux théories du chaos).

J'ai peur que ma connaissance de la physique quantique ne soit pas assez poussée pour me permettre d'apporter des exemples intéressants, mais je pense ne pas trop me tromper en disant qu'un univers où la linéarité de l'équation de Schrödinger n'entraînerait pas le principe de superposition ne saurait être modélisé à l'aide de nos mathématiques.

Cela ne veut pas dire grand chose non plus.

[invitedd78828e]

Vos réponses sont trop concises pour me paraître sensées, je ne vois pas ce qu'est un "axiome fructueux", et j'aurais pensé que le fait qu'un changement d'axiome entraîne un changement des théorèmes issus de cet axiome était évident. Je me permets de réécrire une dernière fois de façon plus développé l'exemple de la balle car je crains de ne pas avoir été assez clair la première fois.

Supposons un univers dans lequel je définis certaines conditions initiales avec une précision qui n'a pas besoin d'être parfaite. Un observateur lance deux fois une même balle avec ces conditions. Si, lors du premier lancer l'observateur note une certaine trajectoire, puis, lors d'un second lancer, qu'il en note une seconde dont les différences avec la première sont suffisamment importantes pour qu'on ne puisse les attribuer à une imprécision dans la définition des conditions initiales, alors les mathématiques actuelles ne sauraient décrire un modèle pour la physique de la balle.

Allez plus clairement : je lance une balle en l'air à environ un mètre, si la première fois elle fait une parabole et que la deuxième elle fait une spirale de huit mètres et retombe en zigzagant alors les mathématiques ne peuvent me permettre de décrire son comportement. Désolé je n'essayerai pas d'expliquer une quatrième fois !

En fait j'ai peur de ne pouvoir continuer ce débat avec vous étant donné vos réactions à des affirmations qui me paraissent claires. Peut-être serait-il judicieux de réfléchir à la différence entre "je ne suis pas d'accord", "je ne comprends pas" et "ça ne veut pas dire grand chose". C'est du reste assez gênant de chercher des argument et de se voir répondre des demi-phrases au sens douteux.

[invitef29758b5]

Attention Dynamix, en logique formelle un paradoxe n'est pas "faux ou "vrai"

Je n' ais pas dit que le paradoxe était vrai ou faux .
J' ais parlé du raisonnement qui mène , soit disant , à un paradoxe .
Pour le problème de "la pièce manquante" , par exemple , on ne parle pas de paradoxe , mais d' erreur de raisonnement .

[invitedd78828e]

pm42 et erik : Excusez-moi d'insister ; en relisant la conversation avec recul je me dis qu'il y a peut-être un malentendu en fait, je me permets donc de reformuler ma réponse et ce sera ma dernière intervention sur ce fil, promis !

Quand vous dites : "Vu que les modèles sont mathématiques, on est proche de la tautologie."
Et bien je pense qu'on est en fait d'accord, et je vais reformuler ma proposition pour que ça apparaisse : les modèles peuvent être mathématiques, donc on peut démontrer la fausseté des paradoxes de Zénon (avec nos mathématiques particulières définies par certains axiomes), et c'est ce qui est incroyable en fait.
(C'est n'est pas mon idée, Einstein l'avait dit bien plus élégamment : "Ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible.")

Voilà, juste un message final pour clarifier et ne pas se quitter la tête chaude.

[invitecaafce96]

Bonjour,
Cette discussion ne mènera plus à rien , on ferme ( concertation en modération ).