Indépendance de la métrique.

[Dompeyre]

Bonjour,
comment rendre un loi physique indépendante de la métrique ? Est-ce qu'un tenseur sert à cette fonction ?
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[Amanuensis]

??? Réponse évidente, en éliminant la métrique de la formule, quand c'est possible (1).

La "fonction" visée par des équations entre tenseurs est de rendre la physique indépendante des systèmes de coordonnées, ce qui est différent.


(1) Cela ne l'est quasiment jamais, il me semble, car la métrique est ce qui permet de "monter et descendre les indices" et se cache très souvent ainsi.

[mach3]

comment rendre un loi physique indépendante de la métrique ?

Je rejoins amanuensis dans son commentaire. Il y a peut-être confusion dans les termes, l'expression "loi physique indépendante de la métrique" ne semble être utilisée par personne. Peut-être voulez vous parler de rendre une loi physique indépendante du référentiel et/ou des coordonnées.
Je ne vois pas vraiment comment une loi physique pourrait être indépendante de la métrique. Dès qu'on fait un produit scalaire, on utilise (souvent implicitement) une métrique.

Et si vous nous expliquiez un peu mieux ce que vous cherchez à comprendre?

m@ch3

[GrisBleu]

Bonjour

Sans métrique, plus de produit scalaire ni d'identification des indices covariants et contravariants. Il reste les formes et le produit extérieur, voir l'exemple des lois de Maxwell https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwel...e_formulations.
Mais si une loi dépend de la métrique, je ne pense pas qu'on puisse l'éliminer
++

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Sans métrique, plus de produit scalaire ni d'identification des indices covariants et contravariants. Il reste les formes et le produit extérieur, voir l'exemple des lois de Maxwell https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwel...e_formulations.

Même pas (je l'ai longtemps cru, pourtant...).

[Deedee81]

Salut,

Dompeyre,

La question n'est-elle pas plutôt "comment passer des équations établies dans le cadre de la relativité restreinte à des équations covariantes générales" ?
(le principe est assez simple mais on peut tomber sur quelques difficultés/ambiguïtés. Je sais que les équations de Maxwell sont justement un bon exemple mais il y a sacré bout de temps que j'ai potassé ça et je ne me souviens plus des détails. Mais bon, c'est pas les spécialistes qui manquent ici )

[GrisBleu]

Même pas (je l'ai longtemps cru, pourtant...).

Ah oui, en effet, le dual de Hodge faire référence a un produit scalaire (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual). Autant pour moi

[Amanuensis]

En regardant dans tous les sens, je me suis fait une "hypothèse", qui est que la métrique serait indissolublement liée à l'inertie. Donc à la masse, donc à l'énergie. Si c'est correct, un domaine de physique sans métrique serait sans l'implication de l'énergie. Cela semble difficile.

Les seuls cas que j'ai jamais trouvés relèvent de ce que j'appelle "la physique comptable", parlant de conservations. Le théorème de Stokes, avec toutes ses variantes, par exemple. C'est un aspect non négligeable de la physique, mais cela ne fait jamais un truc "complet", c'est juste un outil.

[mach3]

Ah oui, en effet, le dual de Hodge faire référence a un produit scalaire (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual). Autant pour moi

C'est marrant, je viens de finir la section 4.5 de Gravitation (au passage je me suis vraiment régalé) et ça termine justement sur cette remarque! Les concepts de forme et de dérivée extérieure sont "metric-free", mais pas le dual.

m@ch3

[Dompeyre]

Dans l'équation d'Einstein "La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers." Wikipedia
"L'équation du champ d'Einstein est une équation de tenseur reliant un ensemble de tenseurs symétriques 4 × 4."
Par ailleurs Jean-Pierre Luminet décrit plusieurs modèles d'expansion de l'univers selon que la courbure de l'espace:
espaces euclidiens (à courbure nulle), les espaces sphériques (à courbure positive) et les espaces hyperboliques (à courbure négative) qui semblent (si j'ai bien compris ?) impliquer des métriques particulieres.
Je me demandais donc si l'utilisation de tenseur dans cette équation permettait de la rendre indépendante de toute métrique et rester valide quelle que soit la courbure de l'espace.

[Amanuensis]

Je me demandais donc si l'utilisation de tenseur dans cette équation permettait de la rendre indépendante de toute métrique et rester valide quelle que soit la courbure de l'espace.

La question reste peu claire.

a) L'équation d'Einstein inclut quelque part la métrique (et même peut-être nécessite une métrique), et parler de son indépendance de toute métrique est bizarre ;

b) La courbure de l'espace n'a pas de sens général en RG (c'est relatif à un choix d'espace), l'exemple pris (métriques FLRW) est très spécifique de par l'existence d'un espace privilégié.

Pour répéter (cela semble nécessaire!), l'utilisation de tenseurs se justifie par l'indépendance aux systèmes de coordonnées. Chercher à voir plus ou autre chose n'a pas de sens clair.

[Amanuensis]

Pour en rajouter parler de "la" courbure de l'espace, et encore plus sous forme d'une valeur dans nulle, positif, négatif, pour l'espace sans précision n'a de sens que pour des solutions particulières.

Rappelons que "la" courbure est d'abord un tenseur d'ordre 4 (le tenseur de Riemann), que ce soit la courbure d'espace-temps ou la courbure d'espace, et que le terme "courbure" est utilisé abusivement pour différentes "moyennes" (contractions) du tenseur de courbure, moyennes qui sont des tenseurs d'ordre inférieur, par exemple d'ordre 2 (dans l'équation d'Einstein), ou d'ordre 0 (scalaire).

Et que ce soit le tenseur de Riemann ou une de ses contractions, il dépend en toute généralité de l'événement (du point) considéré, et que seules des solutions très particulières sont telles qu'on puisse parler de quelque chose de signifiant pour toute la solution.

Les solutions "usuelles", espace-temps plat, solution de Schwarzschild, solutions FLRW (celles de l'expansion), présentent de très fortes symétries, qui permettent de parler d'aspects "globaux" qui n'ont par ailleurs aucune application en toute généralité.

Bref, certaines questions n'ont de sens que dans le cadre très limité d'un tout petit ensemble de solutions, et devraient être présentées comme tel.

[invite51d17075]

bonjour,

Pour en rajouter parler de "la" courbure de l'espace, et encore plus sous forme d'une valeur dans nulle, positif, négatif, pour l'espace sans précision n'a de sens que pour des solutions particulières.
.........
Les solutions "usuelles", espace-temps plat, solution de Schwarzschild, solutions FLRW (celles de l'expansion), présentent de très fortes symétries, qui permettent de parler d'aspects "globaux" qui n'ont par ailleurs aucune application en toute généralité.
.....

c'est aussi ce que je constate, mais il me semble que le plus souvent, le terme courbure est employé pour le premier point, quand il n'y a pas de précision.
( pb sempiternel du langage parfois imprécis )
sinon, j'ai du mal à comprendre ce que vous pointez dans ce que j'ai souligné.
le pb de la courbure ( de l'espace temps en particulier ) me semblait justement bien titiller les neurones et les modèles , non ?
Cdt

edi: laissons les neurones de coté.

[invite6c093f92]

sinon, j'ai du mal à comprendre ce que vous pointez dans ce que j'ai souligné.

Que ce sont des idéalisations, pas des représentations d' une "réalité", ce qui n'empêche de pouvoir s'en servir avec bénéfice. C'est comme cela que je lis ce que tu as souligné.

Par ex, la RR espace-temps avec courbure nulle et "vide"; pour la métrique FLRW il y a un référentiel pour lequel elle est homogène et isotrope...mais que spatialement...pas sur tout l'espace-temps; la RG est locale...ect ect...

[Paradigm]

Bonsoir Amanuensis, bonsoir à tous

En regardant dans tous les sens, je me suis fait une "hypothèse", qui est que la métrique serait indissolublement liée à l'inertie. Donc à la masse, donc à l'énergie. Si c'est correct, un domaine de physique sans métrique serait sans l'implication de l'énergie. Cela semble difficile.

Il me semble que pour Hermann Weyl dans son analyse du problème de "l'espace" (Espace-Temps-Matière) la gravitation apparaîtra comme une émanation du champ métrique, car nous savons par l’expérience que la gravitation est conditionnée par la répartition des masses ( répartition de l’énergie-impulsion ). Si bien que les propriétés géométriques permettant de rendre compte d’une portion d’espace vont être dépendantes des événements physiques qui s’y jouent. Les propriétés géométriques varient à la fois d’une portion d’espace à une autre, et d’un moment à l’autre.

Pour Weyl la métrique possède un caractère dynamique qui s’adapte aux circonstances physiques. La physique n'a pas à sélectionner une géométrie, mais doit fournir les lois du champ qui expliquent comment chaque jeu de relations métriques permis par la géométrie différentielle peut accueillir un sens physique dans une circonstance matérielle déterminée.

http://www.uni-konstanz.de/philosoph...s/weyl_pde.pdf


Cordialement,

[Amanuensis]

Juste un petit point technique: le tenseur de courbure n'est pas une propriété du champ métrique, mais une propriété de la connexion. Pareil pour les géodésiques (l'équation des géodésiques n'utilise pas la métrique il me semble), et d'une certaine manière la gravitation peut se décrire, en tant que phénomène sans le champ métrique. (À une nuance de taille: la description phénoménologique usuelle, en termes d'observations par des humains, demande la distinction entre temporel et spatial, distinction qui n'est pas nécessaire à la courbure ou les géodésiques, et distinction qui demande au moins un aspect de la métrique.)

[mach3]

J'aimerais bien plus de précisions sur ce point technique. Comment Riemann, alors que c'est un tenseur et que sa version entièrement covariante depend de la métrique, de ses dérivées premières et secondes, ne serait il pas une propriété du champ métrique?

m@ch3

[Amanuensis]

Le tenseur de courbure d'une connexion affine a une définition plus générale que celle du tenseur de Riemann sur une variété Riemannienne (ce qui est peut-être là la subtilité).

En tant qu'opérateur, le tenseur de courbure peut être vu comme associant une rotation infinitésimale à une paire de vecteurs. Vu comme cela, son apparence première est avec deux indices en bas pour la contraction avec les vecteurs, et un ensemble d'un indice en haut et d'un indice en bas pour une rotation infinitésimale. Cette description ne fait appel nul part à la métrique.

Ensuite, le tenseur se définit pour une connexion affine comme la mesure de non-commutativité de la seconde dérivée covariante, ce qui ne demande pas de forme métrique non plus.

En RG on part d'une forme métrique, qui implique une unique connexion affine sans torsion (la connexion de Levi-Civita). La forme métrique étant disponible, on peut réécrire des formules impliquant la courbure en y introduisant la forme métrique, et surtout avancer de nouvelles formules impliquant les deux.

Le tenseur d'Einstein par exemple, celui intervenant dans l'équation de champ, ne porte pas seulement sur la courbure au sens de la courbure de la connexion affine, mais implique la forme métrique. (A contrario, le tenseur de Ricci, d'ordre 2, est défini à partir de la connexion seule.)

En espérant que cela réponde à la question...

[Amanuensis]

et surtout avancer de nouvelles formules impliquant les deux.

C'est là qu'apparaît, par exemple, la formulation "totalement covariante" du tenseur de courbure (au sens de la position des indices, pas au sens de la covariance générale) ; cette formulation est bien une propriété du champ métrique, pas seulement de la connexion.

(C'est un jeu intéressant d'ailleurs que d'examiner les différents tenseurs en se posant la question s'il y a une position des indices plus "physiquement pertinente" que les autres... Dans le cas du tenseur de courbure, il y a bien une position plus "géométriquement pertinente" que les autres.)

[invite6c093f92]

. Comment Riemann, alors que c'est un tenseur et que sa version entièrement covariante depend de la métrique, de ses dérivées premières et secondes, ne serait il pas une propriété du champ métrique?

En prenant un système de coordonnées, on définit une base de l'espace vectoriel tangent en chaque point (avec les quatre gradients), mais qui ne correspond pas nécessairement à la connexion voulue. Ce sont les coefficients de Christofell qui donnent les corrections à faire pour obtenir "la" connexion (celle physiquement plus pertinente), c'est cette connexion qui, en terme de transport parallèle, conserve la métrique.

Ps: je réponds non pas pour expliquer, mais expliquer ce que j'en comprends pour être rectifier le cas échéant (que ce soit par le contenu, et/ou si réponse HS).

[Amanuensis]

Oui, c'est ça. La notion de connexion a un sens en elle-même, indépendant de la forme métrique. Et elle définit la dérivée covariante, le transport parallèle, les géodésiques, tous aspects de la connexion.

La connexion utilisée en RG est définie univoquement par la forme métrique, mais on peut étudier différents aspects venant directement de la connexion (dont certains aspects de la courbure, mais pas l'équation de champ).

Je me demande d'ailleurs si l'inverse est faux, i.e., qu'on ne tire pas grand chose de la forme métrique sans passer par la connexion?

[invite6c093f92]

Ok, merci.

Pour la question, ma réponse n'étant qu'intuitive par défaut....elle vaut peanut's, mais serait intéressé de voir comment faire pour travailler sans la connexion, si cela est pertinent.

[azizovsky]

En tant qu'opérateur, le tenseur de courbure peut être vu comme associant une rotation infinitésimale à une paire de vecteurs. Vu comme cela, son apparence première est avec deux indices en bas pour la contraction avec les vecteurs, et un ensemble d'un indice en haut et d'un indice en bas pour une rotation infinitésimale. Cette description ne fait appel nul part à la métrique.

je ne sais pas où tu veux en venir, car aux infiniment petits de 3ème ordre près, la rotation d'UN VECTEUR est lié au tenseur de courbure.

Ensuite, le tenseur se définit pour une connexion affine comme la mesure de non-commutativité de la seconde dérivée covariante, ce qui ne demande pas de forme métrique non plus

.aussi ceci? , la connexion est en fonction de la métrique

[mach3]

Ok, j'avais organisé des trucs à l'envers dans ma tête. Donc c'est la connexion qui donne l'équation des geodesiques et la dérivée covariante, dérivée covariante qui mene a .
Ensuite on se restreint au cas particulier sans torsion, du coup connexion=cristofel, lié à la métrique, et via la métrique definition du Riemann totalement covariant.

La connexion est donc en fait le concept qui vient en premier, et non la métrique.

Ca à l'air correct?

m@ch3

[azizovsky]

J'aimerais bien plus de précisions sur ce point technique. Comment Riemann, alors que c'est un tenseur et que sa version entièrement covariante depend de la métrique, de ses dérivées premières et secondes, ne serait il pas une propriété du champ métrique?

m@ch3

j'ai raté un message d'Amanuensis, sur une variété différentiable élémentaire M(n) de classe N, la translation d'un tenseur une fois contravariant le long d'une ligne dérivable comme solution de l'équation:



l'espace n'est pas muni d'un tenseur métrique , les coefficients sont soumit à une seule condition, celle de l'indépendance du résultats d'une translation du système de coordonnées.

[azizovsky]

correction: .

ps : pour la métrique riemannienne, lorsque les coefficents de la connexion affine sont définies de façon univoque par la condition que le produit scalaire des vecteurs en translation reste constant et par la symétrie i et j.

[Amanuensis]

Donc c'est la connexion qui donne l'équation des geodesiques et la dérivée covariante, dérivée covariante qui mene a .
Ensuite on se restreint au cas particulier sans torsion, du coup connexion=cristofel, lié à la métrique, et via la métrique definition du Riemann totalement covariant.

La connexion est donc en fait le concept qui vient en premier, et non la métrique.

Ca à l'air correct?

Pour moi, oui.

[Paradigm]

La connexion est donc en fait le concept qui vient en premier, et non la métrique.

Parmi l'ensemble des métriques possibles, c'est les propriétés de connexion qui permettraient de choisir celle qui feraient "sens physique" ? Autrement dit concernant la "relativité généralisé du mouvement" la métrique d’univers n’est pas donnée a priori (par convention comme le pensait Poincaré), mais la forme quadratique qui la représente dépendrait des espaces à connexions ?

Cordialement,