Probabilté indépendance

[invite4dc2fff5]

Bonjour tout le monde !

Voila mon probleme, je m’entraine pour mon entrée en prépa

J’ai un corrigé de ce probleme mais il y a une des questions que meme avec le corrigé je ne comprends pas

Sujet :

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 12 figures (valets,dames et rois) et 20 nombres (1,7,8,9,10).

1) Calculer la probabilité p de tirer au hazard une figure dans un jeu de 32 cartes.

Réponse :il y a 12 figures sur les 32 cartes possibles. Compte tenu de l’équiprobabilité du tirage alors p=12/32=3/8

Jusque la ok !

2) On réalise 3 tirages successifs en remettant a chaque fois la carte tirée dans le jeu. Calculer les probabilités pour que lors des 3 tirages, on ait obtenu :

a) 3 fois la meme carte,

VOILA ce que dit le corrigé (ca doit etre simple mais je ne comprends pas d’où sort ce 8 !! )

Il y a 32 cartes différentes. La probabilité de tirer une carte donnée à chaque tirage est 1/32 car il y a remise à chaque fois de la carte tirée.
Les événements « tirer une carte donnée » sont indépendants donc la probabilité d’avoir trois fois la meme carte est :

8 X (1/32)^3= 8/(32^3)

ensuite il y 2 autres questions que je comprends et auxquelles j’ai pu répondre
-----

[invitec1ddcf27]

il n'y a pas de 8 !

[invitec1ddcf27]

3 tirages sucessif avec remises, c'est comme si tu avais 3 jeux de cartes différents et que tu tirais une carte dans chacun d'eux.
Etant donnée une carte. Tu as 1/32 chance de la tirer dans chacun des jeux. Et donc, par indépendance des trois événements, la proba recherchée est 1/(32)^3

[invite4dc2fff5]

bah c'est ce que je pensais le probleme c'est que sur le corrigé du prof il y a bien un 8 et je pense qu'il ne s'est pas trompé car il reprend ce résultat dans un petit c)
si tu veux je peux mettre la suite de l'exo...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4dc2fff5]

il y a peut etre une ambiguité dans l'énoncé je ne sais pas, je suis perdue!

[invite4dc2fff5]

suite de l'exo question 2 petit b


b) trois cartes distinctes deux a deux

réponse : il y a 32 chois pour la 1ere carte. Sachant que les cartes doivent etre distinctes alors il y a 31 chois pour la 2eme carte puis 30 chois pour la 3eme. Donc la proba d’avoir les 3 cartes distinctes est : (32X31X15)/(32^3)

c) 2 fois et 2 fois seulement la meme carte

réponse ; C’est ICI QU’EST REUTILISE LE FAMEUX »8 »

lorsque l’on tire 3 cartes, il y a 3 configurations possibles :
-3 cartes identiques
-3 cartes et 2 cartes seulement identiques
-3 cartes distinctes
la proba d’avoir 2 fois et 2 fois seulement la meme cartes est :
1- 8/32^3- (31X15)/(32X16)

[invite4dc2fff5]

j'ai la rép dites moi ce que vous en pensez
la proba d'obtenir trois cartes a la suite identiques est (1/32)^3 mais comme il est possible de former 32 triplets différents de cartes identiques (3 dames de pique, 3 as de trefle, 3 neuf de coeur, etc=32)
on obtient a la question 2a) p=32X(1/32)^3=1/32²

[invitec1ddcf27]

D'abord la 2.a. tu as raison, c'est bien 1/32^2 la bonne réponse. Ton explication est intuitivement compréhensible. (d'ailleurs, dans ce que j'avais écrit, j'avais dit étant donné une carte... et il y en a 32, c donc 32 fois 1/32^3).
Le mieux pour éviter de se tromper est de modéliser mathématiquement l'expérience et d'utiliser des résultats standart de dénombrement qu'on trouve ici

http://fr.wikipedia.org/wiki/Combina...9p.C3.A9tition

Ici l'ensemble des issus de l'expérience s'écrit



comme dit plus haut, avec remise peut se modéliser comme 1 tirage dans 3 jeux de cartes différents. On peut donc représenter les issus comme des triplets (tient compte de l'ordre). Bref, dans l'article wiki, on est dans le cas du paragraphe "arangement avec répétition"
Et en appliquant, on a



D'autre part l'événement étudiée "avoir 3 fois la même carte " s'écrit



et il est clairement de cardinal 32. Et comme on est en proba uniforme, il vient

[invitec1ddcf27]

2.b. Alors 3 cartes distintes deux à deux. L'événement s'écrit



Il faut dénombrer cette ensemble. Il s'agit d'une permutation sans répétition d'objets discernable (voir le paragraphe qui explique cela). Le cardinal de F est 32.31.30 . Et donc





La 2.c est claire. On passe par le complémentaire de l'événement étudiée. Et ce complémentaire est réunion disjointe de E et de F. La proba recherchée est donc 1 - P(E) - P(F)... Le 8 doit être une faute de frappe dans le bouquin ! Moralité sur les probas : éviter les justifications intuitives, méditer et garder en tête les différents cas de dénombrement de l'article de wiki.