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Démonstration d'arithmétique



  1. #1
    Equinoxx

    Démonstration d'arithmétique


    ------

    Bonjour à tous,
    Je souhaiterai avoir la démonstration sur la formule de Legendre énoncée ainsi : , avec désignant la partie entière de n et la valuation p-adique de n, c'est-à-dire la plus grande puissance de p ^notée k telle que . De plus, j'aimerai bien avoir plus d'informations sur le polynôme défini par utilisé pour démontrer que .

    Merci d'avance de votre aide !

    -----

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  4. #2
    -Zweig-

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Salut,

    Pour la démo de la formule de Legendre :

    On appellant m_i le nombre d'entiers compris entre 1 et n ayant pour valuation p-adique exactement i, on a alors :



    Maintenant, [n/p^i] est le nombre d'entiers dont la valuation excède i sont multiples de p^i. On a : [n/p^i] = m_i + m_(i+1) + m_(i+2) + ...

    Tu obtiens la formule de Legendre en utilisant ces deux relations

  5. #3
    Equinoxx

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Je te remercie mais je connais déjà cette démonstration issue des cours Animaths de Pierre Bornzstein, je souhaiterai avoir une autre démonstration si possible.

  6. #4
    Thorin

    Re : Démonstration d'arithmétique

    comment ça, plus d'information sur le polynôme ?
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Equinoxx

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Je voudrai savoir si ce polynôme a un nom, ses particularités, où il intervient... Puisqu'il sert déjà à démontrer zéta de 2.

  9. #6
    Seirios

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Bonjour,

    Je remonte le topic pour voir s'il n'y a vraiment personne qui aurait une autre démonstration de la formule de Legendre.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  11. #7
    Flyingsquirrel

    Re : Démonstration d'arithmétique

    On peut démontrer le résultat par récurrence sur :

    Soit un nombre premier.

    Pour le cas :
    La formule est valable puisque
    • tous les termes de la somme sont nuls ;
    • la plus grande puissance de divisant 1 est .

    Supposons maintenant qu'il existe un entier tel que la formule donnée s'applique pour tout entier strictement positif .

    Si , n'est pas divisible par donc la plus grande puissance de divisant est . La formule est valide au rang puisque tous les termes de la somme sont nuls.

    Si , divisons par :
    avec et
    Ceci signifie qu'il y a exactement multiples de qui sont inférieurs ou égaux à . Il s'agit de . Il est par conséquent possible d'écrire sous la forme

    est un entier positif non divisible par . Comme est premier et ne divise pas , il divise si et seulement si il divise ou . La plus grande puissance de divisant est donc le produit de la plus grande puissance de divisant (en l'occurrence c'est évidemment ) et de la plus grande puissance de divisant (c'est ). Tout cela revient à dire que les valuations des trois membres du produit s'ajoutent :
    Or l'hypothèse de récurrence s'applique pour car
    (l'inégalité stricte est valable car ).
    On a par conséquent
    et il reste à prouver que
    pour conclure.

    Pour cela on fixe un , on divise par : (avec et ) et l'on se rappelle que (avec et ). On a alors
    • car est un entier et .
    • car est un entier et .

    On a montré que si , donc les deux sommes et sont égales et, en remplaçant dans (*), on obtient que

  12. #8
    Seirios

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Pour cela on fixe un , on divise par : (avec
    Ne serait-ce pas plutôt la division euclidienne de par ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Ne serait-ce pas plutôt la division euclidienne de par ?
    Oui, c'est bien que l'on divise, pas .

  14. #10
    Seirios

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    • car est un entier et .
    Comment justifies-tu ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #11
    Seirios

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Cela dit, on peut toujours écrire : , puisque et .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  16. #12
    Seirios

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Donc pour moi, tout est OK, merci pour cette démonstration
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  18. #13
    Flyingsquirrel

    Re : Démonstration d'arithmétique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Comment justifies-tu ?
    Au dénominateur il faut lire et non .

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