Démonstration d'arithmétique

[invitef1b93a42]

Bonjour à tous,
Je souhaiterai avoir la démonstration sur la formule de Legendre énoncée ainsi : , avec désignant la partie entière de n et la valuation p-adique de n, c'est-à-dire la plus grande puissance de p ^notée k telle que . De plus, j'aimerai bien avoir plus d'informations sur le polynôme défini par utilisé pour démontrer que .

Merci d'avance de votre aide !
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[invite2220c077]

Salut,

Pour la démo de la formule de Legendre :

On appellant m_i le nombre d'entiers compris entre 1 et n ayant pour valuation p-adique exactement i, on a alors :



Maintenant, [n/p^i] est le nombre d'entiers dont la valuation excède i sont multiples de p^i. On a : [n/p^i] = m_i + m_(i+1) + m_(i+2) + ...

Tu obtiens la formule de Legendre en utilisant ces deux relations

[invitef1b93a42]

Je te remercie mais je connais déjà cette démonstration issue des cours Animaths de Pierre Bornzstein, je souhaiterai avoir une autre démonstration si possible.

[invitec317278e]

comment ça, plus d'information sur le polynôme ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef1b93a42]

Je voudrai savoir si ce polynôme a un nom, ses particularités, où il intervient... Puisqu'il sert déjà à démontrer zéta de 2.

[Seirios]

Bonjour,

Je remonte le topic pour voir s'il n'y a vraiment personne qui aurait une autre démonstration de la formule de Legendre.

[Flyingsquirrel]

On peut démontrer le résultat par récurrence sur :

Soit un nombre premier.

Pour le cas :
La formule est valable puisque

• tous les termes de la somme sont nuls ;
• la plus grande puissance de divisant 1 est .

Supposons maintenant qu'il existe un entier tel que la formule donnée s'applique pour tout entier strictement positif .

Si , n'est pas divisible par donc la plus grande puissance de divisant est . La formule est valide au rang puisque tous les termes de la somme sont nuls.

Si , divisons par :

avec et

Ceci signifie qu'il y a exactement multiples de qui sont inférieurs ou égaux à . Il s'agit de . Il est par conséquent possible d'écrire sous la forme

où est un entier positif non divisible par . Comme est premier et ne divise pas , il divise si et seulement si il divise ou . La plus grande puissance de divisant est donc le produit de la plus grande puissance de divisant (en l'occurrence c'est évidemment ) et de la plus grande puissance de divisant (c'est ). Tout cela revient à dire que les valuations des trois membres du produit s'ajoutent :

Or l'hypothèse de récurrence s'applique pour car

(l'inégalité stricte est valable car ).

On a par conséquent

et il reste à prouver que

pour conclure.

Pour cela on fixe un , on divise par : (avec et ) et l'on se rappelle que (avec et ). On a alors

• car est un entier et .
• car est un entier et .

On a montré que si , donc les deux sommes et sont égales et, en remplaçant dans (*), on obtient que

[Seirios]

Pour cela on fixe un , on divise par : (avec

Ne serait-ce pas plutôt la division euclidienne de par ?

[Flyingsquirrel]

Ne serait-ce pas plutôt la division euclidienne de par ?

Oui, c'est bien que l'on divise, pas .

[Seirios]

• car est un entier et .

Comment justifies-tu ?

[Seirios]

Cela dit, on peut toujours écrire : , puisque et .

[Seirios]

Donc pour moi, tout est OK, merci pour cette démonstration

[Flyingsquirrel]

Comment justifies-tu ?

Au dénominateur il faut lire et non .