Problème d'arithmétique

[invite1d9a0420]

Dans tout l’exercice on ne considère que des entiers naturels

Bonjour à tous,
Je suis en Terminale S spécialité Maths et j'ai un petit DM à faire qui me pause quelque soucis :

1) Calculer le produit des diviseurs de 16 et le produit des diviseurs de 18.

2) Si n est un entier non nul, on note P(n) le produit des diviseurs de n et Z(n) le nombre de diviseurs de n.

a) Vérifier que pour n = 16 et n = 18 on a : n^Z(n) = (P(n))²

b) Démontrer dans le cas où la décomposition en facteurs premiers de n est n = p^α q^β que ce résultat est général.

c) Déterminer un entier sachant que le produit de ses 9 diviseurs est (225)4*15.

3) Démonter que pour qu’un entier naturel soit un carré, il faut et il suffit qu’il ait un nombre impair de diviseurs.

J' ai réussit à faire le 1 le 2a et 2c
mais en ce qui concerne les deux démonstration (2b et 3) j'ai plus de mal.
Pour le 2b j'ai essayé de trouver P(n) et Z(n) mais je n'arrive pas à démontrer l'égalité et donc la cas général. Un coup de pouce me rendrait bien service.
Quant au 3, je ne sais pas par quoi commencer.

En l'espérance de votre aide,
Oversoul
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[invite1d9a0420]

salut à tous,
un petit up parce que je n'y arrive vraiment pas

[invite1d9a0420]

un peu d'aide siou plait...

[invite1d9a0420]

En espérant un plus d’aide, je laisse mon raisonnement pour le 2b :

Pour Z(n), le nombre de diviseur de n
p⁰q⁰ ; p⁰q¹ ; p⁰q² ; … ; p⁰q^β ;
p¹q⁰ ; p¹q¹ ; p¹q² ; … ; p¹q^β ;
.
.
.
p ^αq⁰ ; p ^αq¹ ; p ^αq² ; … ; p ^αq^β

J’en déduis, dites moi si je me trompe, Z(n) = (α + 1)(β + 1)

Par contre pour P(n) produit des diviseurs de n, je galère encore plus :
p⁰q⁰ * p⁰q¹ * p⁰q² * … * p⁰q^β *
p¹q⁰ * p¹q¹ * p¹q² * … * p¹q^β *
.
.
.
*p^αq⁰ * p^αq¹ * p^αq² * … * p^αq^β

Suis-je sur la bonne voie ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d9a0420]

un petit up
ma bouteille à la mer n'a toujours pas atteint un rivage clément