Température Hawking avec Unités de Planck et Température de planck
Bonjour,
J'aimerais savoir si il existe une explication au fait que la température Hawking (calculée avec pour Gravité de surface = GMp/Lp²) est strictement égal à [température de Planck / (2*Pi)]
en effet je trouve bizare qu'une formule faite pour des trous noirs donne la température de Planck à 2 Pi près, et pourquoi 2 pi d'ailleurs ???.
y a t'il un rapport avec les distances minimum du big bang ???
Merci d'avance
Stéphane
Salut,
Sans doute parce que la température de Planck est définie à partir de hbar=h/(2pi).
Il y a toujours en physique une indétermination lié au choix pulsation-fréquence, rayon-diamètre (temporel ou de longueur) de 2pi.
Relation intéressante en tout cas, je ne l'avais jamais relevée.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Salut Stefjm
merci
encore plus intéréssant, la définition de constante gravitationnelle qui en découle :
Merci pour vos avis et les interprétations possibles.
Stéphane
Dernière modification par Deedee81 ; 02/09/2016 à 11h18. Motif: formule corrigée
Salut,
s'il y a un pi quelque part, c'est qu'il y a quelque chose qui tourne. Pour le calcul de la température de Hawking, ce qui tourne ... c'est le temps ! Je m'explique.
En théorie quantique des champs (relativiste), il est très fréquent de changer la signature de la métrique (de -+++ à ++++) parce que les calculs sont alors plus faciles à garder sous contrôle. Il s'agit, en premier lieu d'une astuce mathématique, un changement de coordonnées particulier. Je dis particulier, parce que pour pouvoir changer le signe de la métrique il faut passer à un temps imaginaire. On revient ensuite, une fois le calcul terminé, dans le monde réel. On appelle cela une rotation de Wick dans le jargon des physiciens, mathématiquement on parle de prolongement analytique.
Une astuce particulière de ce type permet en particulier d'associer un problème dynamique dans l'espace-temps, décrit par une moyenne pondérée de toutes les alternatives possibles (ce qu'on appelle une intégrale de chemin) à un problème thermodynamique dans un espace sans la dimension temporelle, décrit par une moyenne pondérée par le facteur de Boltzmann (l'exponentiel de l'opposé de l'énergie sur la température). L'association entre les deux problèmes se fait par identification de l'inverse de la température du deuxième avec le temps du premier dans sa version imaginaire. L'identification temps - température marche lorsque le temps "reboucle sur lui-même", c'est-à-dire lirsqu'on identifie les états initiaux et finaux de notre système dynamique. Je dis ça, je dis rien.
La puissance calculatoire de ces méthodes qui "prolongent le réel", réside dans le fait qu'elles permettent d'éviter les singularités qui apparaissent dans les calculs, les divergences, les "points" sur l'axe réel, pour lesquels une fonction diverge, devient naivement infinie. Je dis naivement parce qu'il n'y a rien d'infini dans la Nature (un résultat d'expérience ne donne jamais comme réponse l'infini) et la Nature se débrouille toujours pour donner une réponse finie à nos questions (quand on lui demande gentiment), les infinis ne sont que le signe de l'imperfection de nos modèles mathématiques et une grande partie du jeu en physique et de "découvrir" les maths utilisés par la Nature (on appelle ça faire des maths à la physicienne, les matheux râlent un peu au début mais finissent toujours par combler nos manqes de rigueur en maths humaines.) Ici, on contourne littéralement les singularités en passant par le plan complexe. Et comme il y a beaucoup de singularités dans nos calculs, cette méthode est omniprésente en physique moderne et a conduit à quelques citations remarquables. Julian Schwinger, un des pères fondateurs de l'électrodynamique, disait :
Le mathématicien français Jacques Hadamard formulait la même idée ainsi :L'une des découvertes les plus remarquables en physique des particules a été la découverte de l'existence du plan complexe.
Pour reboucler sur notre problème initial, vous avez certainement déjà deviné le rapport avec les trous noirs, n'est-ce pas ? Un trou noir, c'est plein de singularités ! Ainsi, peu de temps après son calcul original, Stephen Hawking revient à la charge, aidé par Gary Gibbons, avec une méthode très directe et très générale pour calculer la température d'un trou noir en évaporation utilisant cette astuce. La méthode est générale parce qu'elle lie directement l'espace-temps lui-même à la température. La méthode fonctionne pour toutes les solutions des équations d'Einstein contenant un horizon (elle marche ainsi tout aussi bien avec l'horizon de notre univers en expansion accéléré). Elle ne nécessite pas de préciser les détails des constituants du rayonnement (les "particules" ou les champs quantiques), comme c'est le cas, par exemple, dans la dérivation initiale.Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe.
Allons-y. Tout ce dont nous avons besoin c'est la métrique de Schwarzschild
ds2 = - (r-2M)/r dt2 + r/(r-2M) dr2 + r2(la partie angulaire pas intéressante ici)
(2M est le rayon de Schwarzschild dans les unités de Planck. On écrit à présent cette métrique sous forme euclidienne (++++), c'est-à-dire en choisissant une nouvelle coordonnée "temporelle" comme étant i (la racine de moins un) fois le temps original. On a ainsi maintenant un problème de géométrie euclidienne (à 4 dimensions). La métrique a deux singularités (une sur l'horizon et une au centre, vous les voyez ?) et tout le jeu à présent consiste à trouver les bonnes coordonnées pour faire disparaitre ces deux singularités (dans la limite où on ne s'éloigne pas trop de l'horizon). La solution est suffisament simple pour que je puisse l'écrire sans latex non plus, il suffit de prendre R2 = r - 2M et A = it/(4M). J'ai choisi les lettres "R" comme rayon et "A" comme alpha majuscule ou angle parce qu'à présent les deux premier terme de la métrique de Schwarzschild s'écrivent
ds2 = 8M ( R2 dA2 + dR2 )
La première chose qui doit sauter aux yeux c'est que, comme promis, il n'y a plus l'air d'avoir de singularités. La deuxième c'est que les deux termes dans la parenthèse ressemblent comme deux gouttes d'eau à la métrique d'un cône. Comme je vous l'avais déjà signalé, nous avons ici un problème de géométrie euclidienne, à deux dimensions (souvenez-vous qu'on n'a besoin de s'intéresser qu'à la partie temporelle et la partie radiale de la géométrie) et il suffit de prendre une feuille de papier (un plan) pour constater qu'on peut effectivement la courber pour lui faire prendre la forme d'un cône. Il faut cependant être vigilant et s'assurer que les deux "bords" que l'on rabat, s'ajustent parfaitement pour éviter tout chevauchement (ou déficite) du plan sur lui-même ce qui causerait des problèmes aux géomètres habitants sur cette surface : c'est ici que se cache la singularité ! Pour pouvoir exciser proprement toute singularité il faut que notre coordonnée "temporelle" A soit effectivement un angle, qu'elle soit effectivement périodique, qu'elle se retrouve effectivement égale à elle-même après un tour complet autour du cône :
A = A + 2 pi
Il est temps à présent de revenir en arrière et de retransformer notre coordonnée angulo-temporelle dans l'autre sens. Le 2 pi se traduit ainsi en 4M 2 pi = 8 pi M (Souvenez-vous le changement de coordonnée qui définissait A = it/(4M)). Maintenant rappelez vous de notre équivalence entre une température et un temps imaginaire (Je n'ai pas vraiment fait le lien ici entre la métrique et les intégrales de chemin en gravitation quantique, il y aurait trop à raconter et il va falloir me faire confiance sur ce point.). On peut ainsi associer (l'inverse d') une température à notre temps imaginaire périodique, la température ainsi trouvée est effectivement la température de Hawking : T = 1/(8 pi M) avec le pi tout droit sorti d'une rotation dans le temps complexe !
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Bonjour mmanu_F
Merci pour ces éclaircissements, j'ai une explication pour mon 2piet même le pourquoi avec les signatures -+++ et ++++.
J'ai aussi une droit à une explication claire et compréhensible (au moins en partie pour mon niveau). Un grand merci
sinon dans le post #3 il faut lireau lieu de
cependant on tourne en rond car la définition des unités de planck utilisées est faite à l'aide de hbar , k_B, c et G, dès lors il est normal de pouvoir retrouver G....
encore une fois merci beaucoup mmanu_F
cordialement
Stéphane
Dernière modification par xxxxxxxx ; 02/09/2016 à 10h56.
exactement !Envoyé par xxxxxxxx
bonne continuation dans les méandres (prolongés analytiquement) de la physique
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Re,
deux ou trois petites bricoles supplémentaires
- par honnêté intellectuelle
- pour préciser le sens physique caché derrière la construction (#4)
- et partager une bonne blague de Eugene Wigner (qui comme le Julian Schwinger de la citation de tout à l'heure, fait partie de mon "top 5 des physiciens depuis 1900")
Tout d'abord je dois avouer avoir un peu menti quand j'ai dit
Si on veut avoir toute l'information sur le rayonnement (et pas seulement identifier la température du rayonnement thermique à celle directement sortie de notre chapeau complexe) il faut considérer séparément les cas avec différents champs quantiques présents autour de l'horizon. Le calcul donné pour la température reste cependant valable, avec certaines petites subtilités qui apparaissent dans le calcul plus complet, comme par exemple le fait que si l'on considère des fermions (disons des positrons), certaines quantités (les propagateurs) ne sont pas identiques après un tour (dans le temps complexe) mais sont identiques seulement au signe près (on dit antipériodique). Tout ceci est parfaitement normal pour un fermion et il n'y a pas de raisons de s'inquiéter en première analyses de ces aspects techniques.Elle (la dérivation de la température du #4) ne nécessite pas de préciser les détails des constituants du rayonnement (les "particules" ou les champs quantiques), comme c'est le cas, par exemple, dans la dérivation initiale.
(Je dois aussi avouer que je n'aurais pas avoué mon infâme mensonge, si je n'avais pas eu besoin des particules rayonnées par le trou noir pour mon deuxième point, que voici).
Une manière de résumer cette construction mathématique, et en particulier de donner du sens au lien entre la dynamique (quantique) des champs (au voisinage d'un trou noir) et la thermodynamique (sans le temps mais avec une température) consiste à dire que :
si après une rotation de Wick, les particules (les quanta du champ) au voisinage d'un trou noir de Schwarzschild "sentent" que le temps euclidien est périodique (avec une période 1/T), l'identification que j'ai évoquée précédemment permet de dire que les particules (où un observateur constitué des dites particules) se propageant aux allentours de l'horizon "pensent vivre" dans un bain thermique (le rayonnement d'un corps noir) à la température T correspondante. L'exterieur d'un trou noir (plus précisément, ce qui s'y trouve, le champ gravitationnel compris) est immergé dans un bain de rayonnement thermique.
Enfin, pour conclure avec cette histoire d'apparition de pi dans des recoins inattendus, révelant la présence d'une rotation cachée quelque part, voilà une histoire racontée par Eugene Wigner dans son "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in Physics" :
Deux hommes sont assis l'un à côté de l'autre dans un avion. L'un demande à l'autre "Que faites-vous dans la vie ?" Le deuxième répond "Je travaille pour une compagnie d'assurance et j'utilise les mathématiques pour prévoir combien de temps vont vivre les gens." Le premier rétorque "Vous vous moquez de moi ; je ne pense pas que vous puissiez faire cela." Le second sort alors un dossier de son attaché-caisse sur lequel figure la distribution gaussienne. Le premier homme pose son doigt sur la lettre "pi" en disant "Mais n'est-ce pas là le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre ?" "Exactement." Le premier s'exclame alors avec un mécontentement visible "Maintenant je sais que vous vous êtes payé ma tête. Comment un cercle pourrait-il avoir quoi que ce soit à faire avec la durée de vie d'un être humain ?"
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
salut
bon ben ce coup ci je suis totalement largement largué....néanmoins sympa l'anectode
ah bon ? j'avais pas l'impression d'avoir dit grand chose de plus. c'est peut-être les fermions, ça reste souvent un peu sur l'estomac les fermions, surtout au début, après on s'habitue.
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
J'ai bien accroché sur la necessité de transformer -+++ en ++++, le reste aura été utile pour des gens plus qualifiés que moi
Merci encore
Stéphane
Wahou ! Ce sont sérieusement les explications les plus intéressantes que j'ai lu ces derniers jours, merci beaucoup mmanu_F ! Depuis le temps que je cherchais une explication à la fois mathématique et à la fois réfléchie sur le plan de l'interprétation physique !
