Gravitation

[Gohan.]

Bonsoir, je faisais l'étude du mouvement d'un satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre (Le satellite n'est pas géostationnaire). Voilà en gros ce dont parle l'exercice:
Dans le référentiel géocentrique un satellite évolue sur une orbite circulaire de rayon r1= 20000 Km dans le plan terrestre. Il se déplace d'Ouest en Est. La période du mouvement de rotation de la Terre dans ce référentiel est T=86164 s.
Plus loin on me dit:
Un autre satellite évolue dans le plan équatorial terrestre sur une orbite de rayon r2= 18000 Km dans le même sens de le satellite (1)
Question:
Déterminer l'intervalle de temps qui sépare deux passages des deux satellites sur la même verticale. (Fait)
Maintenant voilà mon problème:
Je voulais savoir si la question ci-dessus était posé ainsi comment ça allait se résoudre:
Déterminer l'intervalle de temps qui sépare deux passages des deux satellites sur la même verticale du même lieu.
En fait ici le problème qui se pose c'est qu'on doit aussi tenir compte de la période de rotation de la Terre afin qu'a l'instant t cherché l'observateur et les deux satellites soit sur la même verticale;
J'ai tenté pour cela d'établir les équations horaires de ces trois derniers et de les égaliser mais j'obtient une équation à deux inconnus.
Merci de m'aider SVP.
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[phys4]

Ce problème peut n'avoir aucune solution exacte : vous avez trois mouvements périodiques de trois fréquences différentes,
ils auront des point de phase commune deux à deux avec une fréquence égale à la différence des fréquences, mais dans le cas général ils n'auront jamais un point commun.

Il faut se donner une certaine tolérance pour avoir une coïncidence, plus la tolérance sera faible et plus l'événement sera exceptionnel.
Vous pouvez rapprocher cela de la probabilité d'avoir une éclipse totale de Soleil en un point donné de la Terre.

[Resartus]

Bonjour,
Vous pouvez procéder comme sur l'exercice 1 (qui vous a donné un t1), mais cette fois en prenant la terre et un des satellites, ce qui fournit un 2ème intervalle de temps t2.
Il faut maintenant trouver un multiple commun de ces deux temps c'est à dire tel que n1t1=n2t2. Mathématiquement ce serait impossible, mais on peut chercher quelque chose qui soit "presque" juste. Il faut chercher une fraction n2/n1 qui soit la plus proche possible de t1/t2.
La méthode mathématique pour trouver cela est ce qu'on appelle le développement en fraction continue (c'est ce qui permet par exemple de trouver 22/7 puis 355/113 comme approximations de pi). Ce n'est pas très compliqué à faire ; utiliser ceci par exemple
http://www.dcode.fr/fractions-continues. On s'arrête quand on estime que l'approximation est suffisante.

Ici, ce n'est peut-être pas la peine de faire ce calcul : si vous avez pris la peine de calculer les périodes, vous aurez pu constater que l'une est assez proche d'un tiers de jour sidéral, Il suffit de chercher un multiple de l'autre qui donne un résultat proche d'un entier.

[Gohan.]

Merci pour votre aide à vous deux, pour ce qu'a écrit Resartus je ne vois pas en fait ce que représente n1 et n2 (Par exemple pour n1 est-ce le nombre de tour que va effectuer le satellite 1 lorsque le phénomène se reproduire ou bien...).
Néanmoins quand je faisais l'exercice j'ai eu l'occasion de calculer T1 et T2 avec:
T1: l'intervalle de temps qui sépare deux passages de la Terre et du satellite (1) sur la même verticale. T1= 28182 s
T2: l'intervalle de temps qui sépare deux passages des satellites (2) et (1) sur la même verticale. T2= 24062 s
Et donc en faisant le rapport on obtient T1/T2= 13/11 environ.
Que dois je conclure maintenant?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gohan.]

Désolé j'ai tout mélangé en fait:
T1 est la période de rotation du satellite (1); T1=28182 s
T2 est la période de rotation du satellite (2); T2=24062 s.
C'est la période de révolution du satellite (1) pour un observateur terrestre qui vaut 41880s.

[Resartus]

Bonjour,

Dans l'exercice on vous a demandé de calculer d'abord le nombre de secondes pour que les deux satellites repassent à la verticale l'un de l'autre. Vous avez dû trouver 164591 s. Cela incite à calculer de même le temps pour que le satellite 1 repasse à la verticale d'un même point sur terre soit 41880. puis à chercher maintenant une fraction proche de 164591/41880=3,9300.

Les fractions continues les plus proches sont 4/1 puis 55/14 puis 169/43.
si on choisit 4, on peut dire que en 164591 secondes (soit 1,91 jour), quand les deux satellites repassent à la verticale l'un de l'autre, la position par rapport à la terre est presque la bonne (cela se produit seulement 2920 s soit 49 mn après la 4 ème conjonction entre le satellite 1 et la terre ).

Si on choisit 55/14, c'est beaucoup plus précis : quand les satellites seront à la verticale l'un de l'autre pour la 14ème fois soit au bout de 2304274 s (soit 26,74 j), il manquera ensuite seulement 885 s soit 14 mn environ pour atteindre la 55ème conjonction entre satellite 1 et terre

etc...

[Gohan.]

Merci beaucoup pour ton aide j'ai compris maintenant.