L'éternel problème de la poutre bi-encastrée....

[invite5d1aeb94]

Bonsoir à tous!

Ne sachant pas que faire en cette soirée, je m'occupe la cervelle à un "petit" problème de RDM sur le calcul de moments aux liaisons sur le cas d'une poutre bi-encastrée avec une charge ponctuelle disposée aléatoirement.

Petit schéma pour exposer le problème:

poutre bi encastrée.jpg

W est une charge locale, dirigée dans le sens Y- (oups j'ai oublié de mettre un repère). Du coup Y+ est vers le haut et X+ est dirigé vers la droite (de A vers B). Le sens trigonométrique est le sens positif.

Je cherche donc à déterminer quels sont les moments en A et en B, sachant que la solution est:

Ma= W*b²*a/L²
Mb= W*a²*b/L²

La solution est tirée de mon cours donc je pense qu'elle est correcte.

Voici ma tentative de résolution:

1) voyant la tête du problème, allez se faire un petit café,
2) Il m'a l'air un peu hyperstatique, non? bon est ce que je peux le séparer en deux schémas différents? Du genre ça:

Schéma 2 poutre bi encastrée.jpg (cas 1) + Schéma 3 poutre bi encastrée.jpg (cas 2)

3) Partant de cette hypothèse, je calcule mes résultantes pour le cas 1 et je trouve:

Ra= W*b/L
Rb= W*a/L

4) Ensuite je m'occupe du cas 2:
Et je me pose la question suivante, dois-je laisser la force W sur ce cas-là ou tout simplement modéliser la poutre encastrée avec 2 moments en A et en B?

Si je laisse la force W, et que j'applique le PFS en A, je trouve Ma-Mb-W*a=0 donc Ma=Mb +W*a PFS au point B, Mb, Mb= Ma+W*b


Si j'enlève la force W, je me retrouve avec Ma=Mb (correct?)

5) Je me frotte les yeux, m'étire et me demande si je ferai pas mieux d'aller me coucher...
6) Si j'applique les expressions trouvées au deux cas de figures 1) et 2) à mon cas de figure de départ, et que j'applique le PFS, j'obtiens:

/y: Ra + Rb - W= 0

Moments autour de A, /z: Ma - Mb + Rb*L - W*a=0 <=> Ma = Mb + W*a - Rb*L <=> (je remplace Rb par w*a/L et Mb par Ma) Ma = Ma + W*a - W*b/L

Du coup, je supprime Ma de chaque coté et je me retrouve avec W*a - W*b/L = 0 <=> W*a = W*b/L <=> a=b/L <=> Poohpoohpooh c'est la fête!! c'est du gros n'importe quoi!!

7) Je poste ce message sur ce forum en espérant que quelqu'un puisse m'aider

Merci d'avance!!
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[invite5d1aeb94]

Ca y est j'ai trouvé!!
j'ai employé au final une autre méthode, avec la formule pour trouver la flèche grâce au moment fléchissant:

E*I*y"= -Mfz

et j'ai trouvé les bonnes expressions!
Bref.

Pour ceux que ça intéresse, ci-joint la démonstration:

J'ai tout d'abord coupé ma poutre en deux afin de pouvoir exprimer Mfz en fonction des autres variables. On garde le même repère que précédement (dsl je l'ai encore oublié).

P'tit schéma:

Schéma 4 poutre bi encastrée.jpg

J'applique le PFS à la coupure (trait courbé vert) et j'obtiens la relation suivante: -Mfz + Ma - Ra*x + W*(x-a) = 0 <=> -Mfz = -Ma + Ra*x - W*(x-a)

je l'insère dans la formule précédente:

E*I*y"= -Mfz <=> E*I*y"= -Ma + Ra*x - W*(x-a)

je dérive successivement y selon x (je sais pas si ça se dit comme ça, enfin bref):

E*I*y'= -Ma*x + 1/2*Ra*x² - 1/2*W*(x-a)² + A
E*I*y= -1/2*Ma*x² + 1/6*Ra*x³ - 1/6*W*(x-a)³ + Ax + B


Mes conditions limites me donnent:

en A, encastrement donc y=y'=0, donc A=B=0
en B, encastrement aussi donc y=y'=0, donc
1) -Ma*l + 1/2*Ra*l² - 1/2*W*(l-a)²=0
et
2) -1/2*Ma*L² + 1/6*Ra*L³ - 1/6*W*(L-a)³=0

Si je fait 2) -1/3* 1) =0 afin de supprimer Ra de l'expression, et en remplaçant (L-a) par b

j'obtiens la relation suivante:

-Ma * 1/6 * L² - 1/6 * W* (b³ - b²*L) =0

en basculant W et tout le bazar de l'autre côté, ça donne:

-Ma * 1/6 * L² = 1/6 * W* (b³ - b²*L)

On supprime les (1/6) et on met en facteur le b² du membre de droite:

-Ma * L² = W* b² * (b - L)

Paf! (b-L) = -a
On a:

-Ma * L² = W* b² *(-a)

Suppression des signes (-) et basculement du L² au membre de droite:

Ma = W*b²*a/L² CQFD

Même méthode pour trouver Mb ou alors PFS!


Voilà!!

A plus!

[ilovir]

Bonjour

Dans le 1er post, dans la 3ème ligne du 4) : il manquait le moment en A provoqué par la réaction d'appui en B que provoque ce moment en A.

Mais le 2ème post est bien meilleur

Et c'est toujours un bon petit exercice pour les neurones.

[invite5d1aeb94]

Bonsoir!

Vous voulez dire:

Ma = Mb - Rb * L ?

[A voir en vidéo sur Futura]