Hamiltonien, valeurs et vecteurs propres

[invite33a7a0fd]

Bonjour, j'ai quelques soucis à déterminer les valeurs et vecteurs propres d'un hamiltonien. Voici l'énoncé :


On a des ions Ni²⁺ se comportant chacun comme un spin libre S=1 soumis à un potentiel tel que



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Les valeurs propres de S² sont S(S+1) avec S=1 on obtient 2

Celles de S_z seraient selon moi -1/2 et +1/2 mais j'ai lu quelque part qu'elles sont comprises entre -S et +S.

Les vecteurs propres (associés aux valeurs propres de H) seraient |S,m> avec S=1 et m les différentes valeurs pour S_z


Je n'ai pas eu de cours approfondi sur cela mais juste quelques notions approximatives.
Pouvez-vous m'éclaircir les valeurs propres de S_z?

Et par curiosité, d'où vient le S=1 donné dans l'énoncé ?


Merci,
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[Resartus]

Bonjour,
Si le spin est 1, les valeurs propres de Sz sont -1 0 et +1

Un spin 1 correspond à la combinaison de deux fermions 1/2 de même orientation. (ici, deux électrons)

Pour l'explication, il faut revenir à vos souvenirs de chimie : le Nickel a la configuration [Ar] 4d8 5s2, et l'ion Ni2+ correspond à 4d8 soit 8 électrons à caser (les électrons des couches inférieures n'interviennent plus car ils sont appairés)

Il y a 5 cases quantiques sur l'orbitale 4d (L=2 et M peut varier de -2 à +2), et chacune ne peut accueillir que deux électrons
il y a donc trois cases remplies entièrement par une paire up/down (spin nul car appairés), et deux cases avec chacune un électron célibataire, ce qui est la configuration préférée (règles de Hund), ce qui donne bien S=1 pour l'état fondamental de Ni2+

[invite33a7a0fd]

D'accord, je vois maintenant pourquoi S=1 merci.

Quant aux valeurs propres de H on aurait donc pour :

S=1,Sz=+1 : associé au vecteur propre |1,1>

S=1,Sz=-1 : associé au vecteur propre |1,-1>

S=1,Sz=0 : associé au vecteur propre |1,0>

on a un niveau d'énergie dégénéré pour Sz = +1, -1


Si par exemple on ajoute un champ magnétique B alors l'hamiltonien total serait



et les valeurs propres de cet hamiltonien sont


S=1,Sz=+1 : associé au vecteur propre |1,1>

S=1,Sz=-1 : associé au vecteur propre |1,-1>

S=1,Sz=0 : associé au vecteur propre |1,0>

et donc on lève la dégénérescence, c'est correct ?

[invite33a7a0fd]

Je me permets un petit up, j'ai besoin d'une confirmation pour pouvoir faire la suite

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

J'ai pas vérifié en détail (vous devriez avoir confiance en ce que vous faites !) mais c'est typiquement dans l'esprit de l'exercice d'avoir d'abord des valeurs propres dégénérées puis de lever cette dégénérescence.
Donc, c'est surement correct ce que vous avez fait...