Vidange d'un réservoir, formule de bernoulli

[invite4b327af7]

Bonjour,

Je rencontre un problème au niveau de cet exercice:

Exercice:
On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D=2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni au centre d’un orifice cylindrique de diamètre d = 10 mm fermé par une vanne, permettant de faire évacuer l’eau. On suppose que l’écoulement du fluide est laminaire et le fluide parfait et incompressible. Un piston de masse m = 10 kg est placé sur la face supérieure du réservoir, une personne de M = 100 kg s’assied sur le piston de manière à vider plus vite le réservoir.
a) Faire un schéma du problème
b) Quelles sont les quantités conservées utiles à la résolution du problème et donner les équations corresponantes
c) Une fois la vanne ouverte, exprimer la vitesse du fluide à la sortie en fonction de l’accélération gravitationnelle g, M,m, H, d et D.
d) Quel est le débit d’eau à la sortie si d << D
e) Combien de temps est-il nécessaire pour vider le réservoir? Quel es le gain de
temps obtenu par rapport à la même situation sans personne assise sur le piston ?


Réponses:
B) la pression
C) Ps= pression à la sortie du cylindre Pa=au niveau du piston
J'utilise la formule de bernoulli :

Ps +1/2pv^2 +pghs= Pa + 1/2Pv^2 pgha

Je dis que la vitesse au niveau de a est négligeable à la vitesse de l'eu à la sorte du cylindre.
Mais je ne comprends pas comment calculer Ps et Pa....

Si vous pouviez m'aider ça serait parfait
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[b@z66]

La pression au sommet est simplement le poids qui s'y exerce divisé par la section du cylindre. Le tout reste juste de bien tout prendre en compte dans ce poids, c'est à dire tout ce qui se trouve au dessus de ce cylindre. De même, la pression en bas à la sortie du cylindre(et non au fond du cylindre) est la pression de l'air puisque le jet se trouve après projeter dans l'air.

[invite4b327af7]

Merci déjà pour cette réponse,
Je vous montre alors comment j'ai avancé sur la question C) ou il faut donc calculer le vitesse de sortie du jet

Déjà Pa= (M+m)*g/piR^2 : 343Pa
Ps= 1E5 Pa

alors Ps + 1/2pv^2= Pa +pgha
V= sqrt(2gha +(Pa-Ps))

Et je trouve v= 315m.s-1

Le problème maintenant c'est si la personne ne se trouve plus sur le piston peut on dire que Pa= Pression atm ? et du coup Ps=Pa

Car si je reprends mes calculs avec la force de poids égal à 98N, et donc Pa= 31 Pa
Je trouve que la vitesse de sortie est plus grande que si il y avait la personne sur le piston = IMPOSSIBLE

Je suis perdue, c'est un sujet d'exemple examen et je n'ai pas de correction....

[b@z66]

Merci déjà pour cette réponse,
Je vous montre alors comment j'ai avancé sur la question C) ou il faut donc calculer le vitesse de sortie du jet

Déjà Pa= (M+m)*g/piR^2 : 343Pa
Ps= 1E5 Pa

alors Ps + 1/2pv^2= Pa +pgha
V= sqrt(2gha +(Pa-Ps))

Et je trouve v= 315m.s-1

Le problème maintenant c'est si la personne ne se trouve plus sur le piston peut on dire que Pa= Pression atm ? et du coup Ps=Pa

Tout à fait, bonne remarque. C'est en ce sens que je disais de bien tout prendre en compte, la pression atmosphérique est bien présente au dessus du cylindre que quelqu'un s'y trouve également assis ou non. Ton premier calcul concernat Pa est donc déjà faux à cause de cela.

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

Pour préciser le contexte, la pression atmosphérique ne doit pas tellement intervenir dans le résultat final du problème(si elle intervenait, elle interviendrait sous la forme d'une poussée d'archimède qui ralentirait le flux mais le poids de l'air est quand même assez négligeable). Ce qui fait que le cylindre se vide de son eau, c'est déjà avant tout à cause du propre poids de l'eau(on retrouve un cas de chute libre en ce sens).

[b@z66]

alors Ps + 1/2pv^2= Pa +pgha
V= sqrt(2gha +(Pa-Ps))

De plus, il y avait une belle erreur de maths qui s'est glissée entre ces deux lignes...