Question:calcul de la force gravitationnelle exercée par un corps ?

[T Curieux]

Bonsoir,
Voila, je suis en seconde et j'aimerais savoir comment on peut calculer l'attraction gravitationnel exercée par un corps en fonction de sa masse. Etant donnée que dans la théorie d'Einstein j'ai crut comprendre que la masse d'un corps exerce une déformation de l'espace-temps, ce qui provoque l'attraction gravitationnel (Je ne suis pas scientifique ^^, et je pense avoir un peu simplifier). Donc y a t'il une équation qui permette de la calculer ?

Je suis ouvert aux réponses, et n'hésité pas a me corriger si ma vision de la relativité est fausse( même si je l'est présenté de manière simpliste et raccourcie) ou autre erreurs de ma parts.
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[phys4]

Bonsoir,
Dans la théorie de Newton vous pouvez calculer l'attraction :
A la distance d d'une masse M vous subissez une force correspondante à une accélération


G est la constante de gravitation = 6,67.10^-11 en MKSA

En théorie d'Einstein vous ne pouvez pas calculer une attraction mais seulement une trajectoire car chaque objet suit sa propre ligne droite dans un espace non-plat.

[mach3]

En théorie d'Einstein vous ne pouvez pas calculer une attraction mais seulement une trajectoire car chaque objet suit sa propre ligne droite dans un espace non-plat.

on peut, mais c'est compliqué, et ce sera plus une force d'entrainement (comme la force centrifuge ou celle de coriolis) qu'une force d'attraction.

Etant donnée que dans la théorie d'Einstein j'ai crut comprendre que la masse d'un corps exerce une déformation de l'espace-temps, ce qui provoque l'attraction gravitationnel (Je ne suis pas scientifique ^^, et je pense avoir un peu simplifier). Donc y a t'il une équation qui permette de la calculer ?

En gros, en chaque point de l'espace-temps, il y a ce qu'on appelle un tenseur métrique. C'est une machine mathématique qui donne un nombre si on lui donne deux vecteurs. Dans l'espace euclidien que vous connaissez (vous y faites de la géométrie depuis que vous êtes petit), cette machine mathématique est simplement le produit scalaire (je ne sais pas si c'est au programme de seconde...), et pour autant que vous travailliez dans un repère orthonormal, c'est la même en tout point de l'espace, parce que l'espace est plat (en aparté pour les spécialistes, il y a ici un raccourci...). De cette machine découlent toutes les propriétés géométriques : celles des parallèles (en un point extérieur à une droite, il ne passe qu'une seule et unique droite parallèle à cette droite, deux parallèles ne se coupent jamais), des triangles (théorême de pythagore, somme des angles = 180°, etc), et bien d'autres encore. Si l'espace n'est pas plat (non euclidien), alors cette machine change de place en place et il en découle une géométrie différente. Un exemple est la géométrie à la surface de la sphère : deux "droites" parallèles finissent toujours par se couper (prenez par exemple les méridiens de la Terre), la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° (prenez un sommet au pole nord et deux autre sur l'équateur), etc. Le concept de ligne droite est remplacé par un concept plus général, celui de géodésique.
En regardant comment le tenseur métrique change de point en point, on construit une autre machine, beaucoup plus compliquée, qui s'appelle le tenseur de courbure. Et réciproquement, si on connait ce tenseur de courbure, on peut déduire comment le tenseur métrique change d'un point à l'autre.

Le principe de la théorie de la relativité générale est de dire que :
-l'espace-temps n'est pas plat, mais courbé, c'est à dire que le tenseur de courbure n'est pas nul, et que donc le tenseur métrique change d'un endroit à un autre, d'un instant à un autre
-les corps en chute libre ne suivent pas une ligne droite mais une géodésique
-le contenu de l'univers, en terme de masse, d'énergie et de mouvement (ce qu'on appelle le tenseur énergie-impulsion) impose le tenseur de courbure, c'est à dire qu'il impose les géodésiques que les corps en chute libre doivent suivre

La marche à suivre, compliquée techniquement, est de considérer le contenu de l'univers, de voir quelles géodésiques cela génère, et donc quelles trajectoires les éléments du contenu vont suivre. On ne sait le faire analytiquement (c'est à dire sans approximation et sans ordinateur) que dans des cas très simples. Par exemple si on considère un univers vide, sauf à un endroit où se trouve une masse ponctuelle ou sphérique, et statique, on obtient ce qu'on appelle la solution de Schwarzschild, qui permet d'établir les géodésiques que suivrait des corps de masse négligeable autour de la masse "centrale". Le problème est ensuite de choisir un étiquetage des lieux et des moments, c'est à dire les coordonnées.
Dans un espace-temps plat et classique à la Newton, il est facile de trouver des coordonnées qui coïncident partout avec quelque chose de physique et mesurable. En général, on prend les coordonnées cartésiennes de l'espace (ou éventuellement polaires) plus une coordonnée de temps, et du coup les calculs sur ces coordonnées donnent directement des distances et des durées que l'on peut mesurer. De même, si on dérive les coordonnées d'espace par rapport au temps, on obtient des vitesses et accélération coordonnées qui coïncident avec les vitesses et accélération mesurées. Dans un espace-temps courbe à la Einstein, on ne peut pas. Les coordonnées ne peuvent coïncider avec les mesures qu'en certains endroits, il faut faire des calculs plus ou moins compliqués pour faire le lien entre les deux pour tous les autres endroits. On a du coup des vitesses et accélérations dites coordonnées, qui ne correspondent pas aux vitesses ou accélération que l'on mesurerait... On utilise souvent, dans la solution de Schwarzschild, les coordonnées dites de Schwarzschild, qui coïncident avec ce que mesure un observateur à très grande distance de la masse centrale.
Le calcul des géodésiques dans la solution de Schwarzschild redonne les orbites elliptiques que l'on connait pour les planètes autour du soleil, tant que celles-ci n'en sont pas trop proche (par exemple pour Mercure, il y a un petit écart, que l'on arrivait pas à expliquer avec les lois de Newton et qui s'explique avec la relativité générale). Cela passe par la résolution de l'équation des géodésiques, qui relie la vitesse (coordonnée) à l'accélération (coordonnée) via une machine mathématique, appelée connexion, qui dépend du tenseur métrique (tenseur métrique, connexion et tenseur de courbure sont liés). C'est très complexe car chaque composante de l'accélération (il y en a 4) dépend de 16 termes différents...

m@ch3