Pourquoi une craie verticale tombe plus vite qu'une craie horizontale?

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,

Quelle pourrait être une explication concise mais rigoureuse à la question de l'intitulé du sujet?
Il s'agit de comprendre pourquoi, lorsqu'on lâche par terre un objet comme une craie, les forces de marées exercées par la terre sur la craie diminuent l'accélération subie par la craie, et elles diffèrent en fonction de l'orientation de la craie.
Je ne vois pas très bien comment la composante inhomogène du champ agit par "soustraction vectorielle" et non par "addition" (dans le sens où l'accélération subie diminue lorsque la craie est horizontale)
Je vous remercie pour vos éclairages!
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[Amanuensis]

lorsqu'on lâche par terre un objet comme une craie, les forces de marées exercées par la terre sur la craie diminuent l'accélération subie par la craie, et elles diffèrent en fonction de l'orientation de la craie.

D'où vient cette affirmation?

[mach3]

Je crois que je vois le truc... je fais un essai, mais simplifié.
On considère 2 masses m, reliées par un fil de longueur constante et de masse nulle (oui on idéalise). Le centre du fil est à une distance r d'une autre masse M.
Calculons la force de gravitation sur l'ensemble si le fil est aligné sur le champ :


Calculons la force de gravitation sur l'ensemble si le fil est orthogonal au champ :


A moins que soit très très petit, on n'a pas la même force. La force est plus grande si le fil est aligné avec le champ.

m@ch3

[coussin]

Y a-t-il un semblant de preuve quant à l'affirmation que constitue le titre de ce sujet ?
Supposons que ce soit vrai. Comme on le sait, ce qui détermine la vitesse d'un objet en chute libre est la résistance de l'air. Or, une craie horizontale offre une plus grande surface qu'une craie verticale. Non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je crois que je vois le truc... je fais un essai, mais simplifié.

OK, mais quel rapport avec les "forces de marée"??? En quoi ce serait alors "les forces de marées exercées par la terre sur la craie [qui] diminu[rai]ent l'accélération subie par la craie" ???

[par ailleur, l'explication proposée me semble avoir un rapport avec la différence entre le centre de gravité et le centre de masse, mais faut que je creuse un peu plus cette voie... ]

[geometrodynamics_of_QFT]

Y a-t-il un semblant de preuve quant à l'affirmation que constitue le titre de ce sujet ?
Supposons que ce soit vrai. Comme on le sait, ce qui détermine la vitesse d'un objet en chute libre est la résistance de l'air. Or, une craie horizontale offre une plus grande surface qu'une craie verticale. Non ?

La phrase provient de mon syllabus de relativité générale, du prof. Jean-Marc Gerard.
J'ai oublié de préciser : on peut considérer qu'on est dans le vide, les forces de frictions n'interviennent pas, il s'agit uniquement d'un problème relié à la nature de la gravitation.

@mach3 : merci pour votre idée, mais je ne pense pas qu'il s'agisse de cela. En effet, vous avez considéré que les forces appliquées sur l'objet horizontal étaient parallèles, or elles sont dirigées vers le centre de la terrre. En d'autres termes, vous faites l'approximation que le champ gravitationnel est homogène, or il s'agit justement d'une situation ou c'est la composante inhomogène (les forces de marées) qui est à l'origine de la différence dans l'accélération...

[geometrodynamics_of_QFT]

D'où vient cette affirmation?

Je ne sais pas si les forces de marées diminuent l'accélération de l'objet horizontal, ou augmentent l'accélération de l'objet vertical, mais je sais que les forces de marées, à elles seules, modifient l'accélération de l'objet en fonction qu'il soit vertical ou horizontal, de telle sorte que l'objet horizontal tombe moins vite que l'objet vertical (à la surface d'une planète sans atmosphère)
Cette affirmation vient de mon syllabus, et j'aimerais en trouver une justification.

[Amanuensis]

La phrase provient de mon syllabus de relativité générale, du prof. Jean-Marc Gerard.

Serait utile d'être plus précis. Un scan? Un lien si disponible sur le Web? (Je n'ai pas cherché.)

[Garion]

Je vais peut-être dire une bêtise, mais étant donné que la différence d'accélération n'est pas linéaire entre le bas de la craie et le haut de la craie, l'accélération du bas de la craie par rapport au haut de la craie ne correspond pas parfaitement au à l'accélération du centre de gravité de la craie , donc le bas de la craie entraine le haut de la craie dans une accélération supérieure.

[Amanuensis]

C'est à un truc comme ça que je pensais en parlant de la distinction entre centre de masse et centre de gravité: quand on parle de l'accélération d'un objet, de quoi parle-t-on exactement?

La valeur de l'accélération de la pesanteur au centre de gravité ne dépend pas de l'orientation, il me semble. Par contre la valeur de l'accélération de la pesanteur au centre de masse dépend de l'orientation, mais est-ce bien l'accélération de l'objet? ? N'est-ce pas plutôt la valeur au centre de gravité?

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Par ailleurs, cela suppose l'hypothèse simplificatrice d'un objet non déformable. Avec de l'élasticité, il va non seulement se déformer à cause des "forces de marées", mais la déformation va changer au cours de la chute, ces forces variant. Peut-on penser qu'une partie de l'énergie potentielle va passer en énergie de déformation, et que cela diminue d'autant l'accélération?

[Garion]

C'est à un truc comme ça que je pensais en parlant de la distinction entre centre de masse et centre de gravité: quand on parle de l'accélération d'un objet, de quoi parle-t-on exactement?

La valeur de l'accélération de la pesanteur au centre de gravité ne dépend pas de l'orientation, il me semble. Par contre la valeur de l'accélération de la pesanteur au centre de masse dépend de l'orientation, mais est-ce bien l'accélération de l'objet? ? N'est-ce pas plutôt la valeur au centre de gravité?

Il me semble que la question se pose dans le cadre de la réalité, [/quote]
La question me semblait plus pratique, est-ce que la craie, dans la vrai vie (dans le vide apparemment), tombe plus vite si elle est verticale ou horizontale. On n'a pas vraiment parlé d'accélération d'un centre de gravité ou de masse. Que se passerait-il si on faisait une simulation numérique avec une précision suffisante ? (c'est mon coté ingénieur)

Par ailleurs, cela suppose l'hypothèse simplificatrice d'un objet non déformable. Avec de l'élasticité, il va non seulement se déformer à cause des "forces de marées", mais la déformation va changer au cours de la chute, ces forces variant. Peut-on penser qu'une partie de l'énergie potentielle va passer en énergie de déformation, et que cela diminue d'autant l'accélération?

Intuitivement, qu'une partie de la différence d'accélération puisse partir dans la déformation me semble normal mais pas la totalité à moins d'arriver à la rupture. Ce qui me semble suffisant pour dire que la craie verticale ira un chouïa plus vite.

[Amanuensis]

La question me semblait plus pratique, est-ce que la craie, dans la vrai vie (dans le vide apparemment), tombe plus vite si elle est verticale ou horizontale. On n'a pas vraiment parlé d'accélération d'un centre de gravité ou de masse.

On parle de l'accélération de l'objet. Et la vitesse de chute est l'intégrale de l'accélération, et la durée de chute l'intégrale double de l'accélération. Une comparaison "tomber plus vite" peut donc se faire en comparant l'accélération.

L'accélération de l'objet est une certaine moyenne des accélérations de la pesanteur de chacun des points de l'objet, c'est donc l'accélération de la pesanteur d'un des points de l'objet si on le suppose convexe. Quel est ce point? C'est ce qu'on appelle le centre de gravité.

Je soupçonne que certains vont considérer que c'est le centre de masse de l'objet (son centre géométrique s'il est de masse volumique constante par exemple). Or ce n'est pas le cas si le champ n'est pas constant.

L'accélération de l'objet sera donc différente de l'accélération du point matériel de même masse et placé au centre de masse, et la différence dépendra de l'orientation de l'objet par rapport aux variations du champ.

Maintenant, si je prend la durée de chute, va falloir définir la chute précisément. Est-ce la durée entre le passage du centre de masse de l'altitude h1 au passage à l'altitude h0, ou autre chose? Si on prenait les passages du centre de gravité, la durée de chute serait indépendante de l'orientation.

Si on prend les passages du centre de masse, comme la position relative entre le centre de gravité et le centre de masse va changer pendant la chute (le champ n'étant pas invariant par translation), il y aura bien une différence de durée de chute selon l'orientation, en relation avec ce déplacement relatif.

(Il me semble que ce qu'écrit Mach3 dans le message #3 est cohérent avec cette analyse.)

[mach3]

@mach3 : merci pour votre idée, mais je ne pense pas qu'il s'agisse de cela. En effet, vous avez considéré que les forces appliquées sur l'objet horizontal étaient parallèles, or elles sont dirigées vers le centre de la terrre. En d'autres termes, vous faites l'approximation que le champ gravitationnel est homogène, or il s'agit justement d'une situation ou c'est la composante inhomogène (les forces de marées) qui est à l'origine de la différence dans l'accélération...

alors complétons le modèle simplifié. Lorsque la barre (idéalisé par deux masses m reliées par un fil rigide et sans masse de longueur ) est verticale, la somme des forces est supérieur à la force appliquée à une masse 2m situé à la position du centre de masse. Ca c'est OK. Lorsque la barre est horizontale, les deux forces ne sont pas colinéaires, il y a entre elles un petit angle alpha, il y a donc réduction de la force d'un facteur cosinus(alpha) par rapport à une masse 2m, et pire encore, les deux extrémités sont en fait plus loin du centre de l'astre attracteur que le centre de masse. Double peine.

Non seulement un barre verticale tombera plus vite qu'une masse ponctuelle de même masse, mais une barre horizontale tombera moins vite que cette masse ponctuelle.

Of course tout ça c'est idéalisé et le raisonnement est purement classique, mais au vu de cela il ne fait aucun doute que dans le vide une craie verticale tombe plus vite qu'une craie horizontale.

m@ch3

[Amanuensis]

Si je comprends bien l'argument, c'est que la force totale exercée sur un objet dépend de sa géométrie dans un champ non constant, le max étant atteint dans le cas ponctuel.

Cela me pose quand même un sérieux problème du point de vue énergétique. Que devient l'argument si on raisonne en termes d'énergie? On voit mal comment une différence de durée n'est pas accompagnée d'une différence de vitesse à l'arrivée (en supposant un lâcher à vitesse nulle). Donc une différence d'énergie cinétique. Est-elle compensée par une différence d'énergie potentielle due à la géométrie? Cela pose un problème car cette différence, s'il y en a, semble indépendante de la vitesse atteinte. Alors, où est passé le reste de l'énergie?

Je le vois dans le cas d'un objet avec élasticité: dans le cas d'un champ non invariant par translation, l'objet est déformé, et de l'énergie passe dans la déformation élastique, OK.

Mais le raisonnement proposé semble s'appliquer indépendamment de l'élasticité. Alors comment se présente le bilan énergétique?

[mach3]

Arrivé à ce niveau de détail, il faut peut être prendre sérieusement en compte le mouvement de la terre vers la craie. Ça résout peut être le problème du point de vue énergétique. Considérer la Terre comme immobile revient à choisir un référentiel non galiléen, donc il y a une force d'entrainement, donc il y a des "fuites" (travail de la force d'entrainement).

m@ch3

[Amanuensis]

Je ne pense pas. La valeur de la masse de l'objet n'intervient pas, seulement sa géométrie.

Le raisonnement sur les accélérations sera inchangé en faisant tendre la masse de l'objet vers 0.

[jacknicklaus]

On peut faire un calcul simple des effets de marée, en mécanique Newtonienne classique.

Dans le cas d'une craie horizontale, on intègre GM.dm/r² sur la longueur de la craie. On tombe facilement sur un résultat en Arctangente, dont le développement limité à l'ordre 2 en l/R (longueur craie = 2l, R = distance au centre de la Terre) est GMm/R² . (1 - l²/3R²). m = masse de la craie.
Terme correctif en (1 - l²/3R²)

On fait de même sur la craie vertical , on fait le même DL, on tombe sur GMm/R²(1 + l²/R²). Terme correctif en (1 + l²/R²).

d'où le résultat. Donc la craie verticale tombe plus vite qu'une masse ponctuelle équivalente, qui tombe plus vite qu'une craie horizontale.

[Amanuensis]

C'est juste une reformulation de ce que présente Mach3, rien de plus. (Et avec un non sequitur entre le calcul de forces et la vitesse de chute...)

Et donc ne répond pas aux objections.

[jacknicklaus]

Désolé, je ne comprends pas ton objection, peux tu reformuler stp.

De mon point de vue, le calcul élémentaire montre bien sur le bilan de forces, donc sur l'accélération de la craie, un terme correctif supérieur à 1 (resp inférieur à 1) pour la craie verticale (resp horizontale). Je suis entièrement en phase avec Mach3, j'ai juste utilisé une approche calculatoire pour factualiser.

Et comme tu le dis toi même avec raison, je cite : "Une comparaison "tomber plus vite" peut donc se faire en comparant l'accélération."

[Amanuensis]

Prenons le problème autrement.

Prenons deux masses ponctuelles non liées entre elles, qui forment un "système". (Système dont on peut parfaitement parler du centre de masse ou du centre de gravité à un instant donné.)

On les lâche de la même hauteur (donc sur une même sphère centrée sur la Terre, une même équipotentielle), et elles tombent sur la surface de la Terre (aussi une équipotentielle). J'imagine qu'on est d'accord pour dire que le temps de chute sera le même, et le même que pour une masse unique lâchée de la même équipotentielle.

Maintenant je les lâche l'une au-dessus de l'autre, il est alors évident que celle plus haute aura une durée de chute plus grande, simplement parce qu'elle est plus loin. Et elle a plus d'énergie potentielle. La comparaison avec une masse unique qui aurait la somme des deux ne fait grand sens et est sans intérêt, on sait pertinemment que le point crucial est la hauteur à laquelle on la lâche (comme celle du bas? Du haut? Au milieu?)

Et dans ces cas là, le raisonnement énergétique ne pose strictement aucun problème.

Maintenant, toujours dans ces cas là (sans liaison), qu'appelle-t-on "durée de chute du système" ???

Alors, est-ce que la question revient aux effets visibles dans le cas de deux masses non liées, effets qui sont assez triviaux et ne méritent pas d'être présentés comme "en vertical ça tombe moins vite" qu'en horizontal" ? Ou est-ce que la liaison intervient? (Et si oui, comment?) Et comment est définie la "durée de chute"?

[jacknicklaus]

Ok, je comprends ton point de vue. Tu t'intéresses à un aspect différent qui est la durée de chute d'un systeme sans liaison.

Les effets de marée agiront de même. c'est un résultat très classique e souvent utilisé dans les cours de relativité générale : un observateur en chute libre, accompagné dans sa chute par un ensemble de petites billes disposées selon la surface d'une sphère. Cet observateur verra, dans son repère local, le nuage sphérique de billes se déformer en forme de ballon de rugby vertical, à cause des forces de marées. Sous cette forme locale, on peut donner un sens à "tomber plus vite" pour un système non lié.

Pour ma part, interprétait plus simplement la question posée, sous forme de système lié, et sous forme de différentiel local d'accélération.

[Kelv]

Puisque l'accélération initiale est d'autant plus grande que la distance r est petite. Un objet lâché d'une plus petite hauteur atteindra, au bout de 1 mètre de distance parcourue, une vitesse supérieure à un objet lâché depuis une plus grande hauteur au bout de cette même distance parcourue.

[Amanuensis]

Ok, je comprends ton point de vue. Tu t'intéresses à un aspect différent qui est la durée de chute d'un systeme sans liaison.

Nan. Je m'intéresse à la notion de "durée de chute d'un système" en toute généralité, déformable ou non. Le cas sans liaison est le cas extrême du déformable. Un cas avec élasticité sera intermédiaire entre ce cas là et le cas parfaitement rigide.

Les effets de marée agiront de même. c'est un résultat très classique e souvent utilisé dans les cours de relativité générale : un observateur en chute libre, accompagné dans sa chute par un ensemble de petites billes disposées selon la surface d'une sphère. Cet observateur verra, dans son repère local, le nuage sphérique de billes se déformer en forme de ballon de rugby vertical, à cause des forces de marées.

Un grand merci pour ces explications.

Sous cette forme locale, on peut donner un sens à "tomber plus vite" pour un système non lié.

Ah oui? Et laquelle???

[jacknicklaus]

Ah oui? Et laquelle???

- " Une comparaison "tomber plus vite" peut donc se faire en comparant l'accélération " comme tu l'as fort bien dit
- la déformation du système libre des billes, sous les forces de marée, met en évidence un différentiel d'accélération.

Les billes du dessous de la sphère "tombent plus vite" que les autres, ce que montre la déformation de marée : écrasement latéral et étirement longitudinal.

[Amanuensis]

- " Une comparaison "tomber plus vite" peut donc se faire en comparant l'accélération

L'accélération de quoi?

Quelle est l'accélération du système composé de deux masses ponctuelles non liées placées à distance l'une au-dessus de l'autre?

(Je répète et complète, dans ce cas la masse du haut met une durée à chuter différente que celle du bas, mais simplement parce qu'elle part de plus haut. Si fin de chute mesurée au même endroit, alors plus de chemin, durée plus longue, et si durée de chute mesurée sur même longueur de parcours, alors durée plus courte, parce qu'accélération initiale plus faible. Quelle est alors la définition rigoureuse de la durée de chute du système?)

[jacknicklaus]

l'accélération de quoi ? : de chacune des particules.


Par définition, un système non lié est ... non lié. la durée de chute n'a que le sens que tu voudras bien lui donner pour l'application pratique qui pousse à se poser la question : celle de la particule la plus en haut, la plus en bas, la plus blanche, la plus à gauche, ou le barycentre, etc... Tout ceci dépend du problème posé.

A mon avis, seul l'ensemble des durées de chute de chacune des particules non liées à un sens rigoureux.


Mais on s'éloigne de la question d'origine qui portait sur un bout de craie...

[mach3]

Après réflexion, il y a quelques détails un peu subtils à relever. Au premier ordre (champ de pesanteur uniforme et constant), il se peut, selon les conventions choisies, que la craie verticale "tombe plus vite" que la craie horizontale.
Admettons que les deux craies soient maintenues par leur centre de masse puis lachées à la même distance du sol (distance sol-centre de masse), les mouvements des deux centres de masse seront rigoureusement identiques, mais pourtant la craie verticale touchera le sol avant la craie horizontale. En effet, si la craie est de longueur 2l, la craie verticale touche le sol quand son centre de masse est à la distance l du sol, alors que la craie horizontale ne touche pas encore. Cette manière d'évaluer n'est donc pas "bonne", vu qu'elle risque d'impliquer le même résultat (craie verticale "tombe plus vite") dans un champ réel en 1/r².
Deux façons de faire pour corriger en champ uniforme :
-soit la craie verticale doit partir d'une hauteur plus grande de l, afin que le sol soit bien atteint au même moment par les deux
-soit on considère que la durée avant de toucher le sol n'est pas le bon paramètre et on choisi plutôt d'évaluer la position des deux centres de masse en fonction de la durée de chute

Il faut donc envisager ces deux situations différentes en champ non uniforme et il n'est pas évident qu'on obtienne exactement la même chose dans les deux cas. J'ai même l'impression que dans la première situation l'horizontale pourrait toucher le sol avant la verticale... A vérifier.

m@ch3

[mach3]

Ajout : après relecture du fil, ma remarque va tout fait dans le sens de celles d'amanuensis (j'ai rajouté du gras) :

Maintenant, toujours dans ces cas là (sans liaison), qu'appelle-t-on "durée de chute du système" ???

Alors, est-ce que la question revient aux effets visibles dans le cas de deux masses non liées, effets qui sont assez triviaux et ne méritent pas d'être présentés comme "en vertical ça tombe moins vite" qu'en horizontal" ? Ou est-ce que la liaison intervient? (Et si oui, comment?) Et comment est définie la "durée de chute"?

m@ch3

[coussin]

Après réflexion, il y a quelques détails un peu subtils à relever. Au premier ordre (champ de pesanteur uniforme et constant), il se peut, selon les conventions choisies, que la craie verticale "tombe plus vite" que la craie horizontale.
Admettons que les deux craies soient maintenues par leur centre de masse puis lachées à la même distance du sol (distance sol-centre de masse), les mouvements des deux centres de masse seront rigoureusement identiques, mais pourtant la craie verticale touchera le sol avant la craie horizontale. En effet, si la craie est de longueur 2l, la craie verticale touche le sol quand son centre de masse est à la distance l du sol, alors que la craie horizontale ne touche pas encore. Cette manière d'évaluer n'est donc pas "bonne", vu qu'elle risque d'impliquer le même résultat (craie verticale "tombe plus vite") dans un champ réel en 1/r².
Deux façons de faire pour corriger en champ uniforme :
-soit la craie verticale doit partir d'une hauteur plus grande de l, afin que le sol soit bien atteint au même moment par les deux
-soit on considère que la durée avant de toucher le sol n'est pas le bon paramètre et on choisi plutôt d'évaluer la position des deux centres de masse en fonction de la durée de chute

Il faut donc envisager ces deux situations différentes en champ non uniforme et il n'est pas évident qu'on obtienne exactement la même chose dans les deux cas. J'ai même l'impression que dans la première situation l'horizontale pourrait toucher le sol avant la verticale... A vérifier.

m@ch3

Remettons-nous dans le contexte de la question du message #1. Il le semble que ça ne peut pas être l'explication : c'est bien trop trivial et franchement pas intéressant si c'est ça la solution...
Je pense que la question sous-entend que les fonction h(t), altitude du centre de masse en fonction du temps, sont différentes pour des craies horizontale ou verticale.

[Amanuensis]

Il le semble que ça ne peut pas être l'explication : c'est bien trop trivial et franchement pas intéressant si c'est ça la solution...

Cela peut arriver, non?

Je pense que la question sous-entend que les fonction h(t), altitude du centre de masse en fonction du temps, sont différentes pour des craies horizontale ou verticale.

Ce n'est pas mis en doute.

Pour moi ce qui "tombe comme une masse ponctuel", c'est le centre de gravité (moyenne prise sur les forces, pas sur les masses volumiques), et cela ne dépend pas de l'orientation. Parce que le champ ne se translate pas à l'identique, la distance verticale entre le centre de masse et le centre de gravité change au cours de la chute, et ce d'une manière différente selon l'orientation.

Comme cette distance dépend de l'orientation et que la trajectoire du centre de gravité est inchangée, la fonction h(t) pour le centre de masse diffère selon l'orientation.

Et c'est "trivial", et le seul intérêt est la distinction entre centre de masse et centre de gravité.