La mécanique matricielle pour les nuls

[invite134901ac]

Bonjour à tous,

Ayant seulement un niveau de terminale S en physique, j'ai du mal à trouver des sites qui parlent "simplement" de la physique quantique (est-ce seulement possible?), sujet qui me passionne énormément.

Je lis en ce moment beaucoup d'article sur la mécanique matricielle de Heisenberg et ça me passionne énormément bien que je n'ai pas du tout le niveau pour tout comprendre.
J'aurai besoin que quelqu'un me parle comme à un enfant de 12 ans pour que je puisse justement comprendre le raisonnement, le principe de base et comment il utilise les matrices.

Tout d'abord, j'ai bien compris que l'impossibilité de déterminer simultanément avec précision la position et la vitesse d'une particule se traduit par le fait que les matrices correspondantes ne commutent pas.
AB est différent de BA. Ok (un peu comme un Rubik's Cube avec 2 rotations successives de 2 faces adjacentes si j'ai bien compris).

Mais je ne comprends pas pourquoi on effectue justement le produit d'une matrice A (correspondant par exemple aux vitesses) par une matrice B (correspondant par exemple aux positions)? Pourquoi on effectue cette multiplication? Que donne la matrice résultante de ce produit? Des probabilités? Je ne comprends pas le raisonnement.

D'une façon générale, pourquoi multiplier ensemble les matrices des grandeurs complémentaires? Et à quoi correspondent les coefficients de ces matrices?

Peut-on imaginer pour comprendre un exemple simplifié à l'extrême avec une particule et 3 niveaux d'énergie seulement?

Et enfin pardon pour ma question naïve mais d'après ce que j'ai lu (wiki), la mécanique matricielle décrit la manière dont se produisent les sauts quantiques. Est-ce qu'on pourrait faire le rapprochement avec les matrices de transition d'une marche aléatoire?

ça fait beaucoup de questions....
Un très grand merci!

Jérôme
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[0577]

Bonjour,

en physique classique, les quantités observables (comme les composantes d'une position ou d'une vitesse) sont des nombres réels qu'on peut donc manipuler algébriquement: on peut les additionner, les multiplier... Exemple: pour une particule de masse m, de position x et de vitesse v dans un potentiel harmonique, son énergie totale sera de la forme . Dans cette formule, on a des produits et des sommes de x et de v. Cette formule détermine la dynamique du mouvement: à partir d'elle, on peut écrire les équations du mouvement, qui donnent l'évolution temporelle de x et de v.

En physique quantique, la situation est analogue: les quantités observables (commes les composantes d'une position ou d'une vitesse) sont des matrices qu'on peut donc manipuler algbriquement: on peut les additionner, les multiplier... Exemple: pour une particule de masse m, de position x et de vitesse v dans un potentiel harmonique, son énergie totale sera de la forme . Dans cette formule, x et v sont des matrices et donc H est également une matrice. Cette formule détermine la dynamique du mouvement: à partir d'elle, on peut écrire les équations du mouvement, qui donnent l'évolution temporelle de x et et de v.

La différence avec le cas classique est que les matrices ne commutent pas entre elles en général. Le cas typique est celui de grandeurs complémentaires mais cela peut arriver beaucoup plus généralement. Cela signifie que certaines manipulations algébriques qui sont autorisées classiquement (simplifier ab-ba=0) ne le sont pas quantiquement.

Exemple: en physique classique, on peut écrire, avec


mais l'analogue quantique est

[invite134901ac]

Bonjour,

Merci beaucoup pour cette réponse extrêmement claire sur l'analogie mécanique classique/quantique.
Cependant dans cet exemple, si x et v sont des matrices, je ne vois pas dans la formule de produit entre ces 2 grandeurs observables.
Si j'ai bien compris, le principe d'incertitude repose justement sur la non-commutativité du produit de ces 2 matrices. Dans quelle formule apparait-il? (Le raisonnement est-il accessible?)

J'aimerai également savoir d'une part ce que représente concrètement les éléments ou coefficients des matrices x et v, et d'autre part ce que représente la matrice résultante de ce produit (les coefficients résultants sont-ils des probas? des valeurs réelles vérifiables expérimentalement?)

Enfin, comment se sert-il concrètement des matrices pour décrire les sauts quantiques d'une particule passant d'une orbite m à une orbite n?
(C'est pour cela que j'avais pensé sans doute naïvement au rapprochement avec les matrices de transition qui permettent de visualiser le changement d'un état à un autre)

Merci d'avance!

[0577]

Bonjour,

Le fait que x ne commute pas avec v (plus précisément, ) joue un rôle dans la dernière formule pour H donnée dans mon message précédent.

Etant donnée une quantité observable, représentée par une matrice A, les valeurs possibles du résultat de la mesure expérimentale de cette quantité sont les valeurs propres de A. Les coefficients de A n'ont pas d'interprétation intuitive en général et ils dépendent d'un choix de base: l'objet mathématique adapté n'est pas une matrice vue comme un simple tableau de nombres mais un opérateur linéaire agissant sur un espace vectoriel. Un choix de base de cet epace donne une représentation matricielle mais différentes bases donnent différentes représentations matricielles du même opérateur. Les états possibles d'un système physiques sont les vecteurs de l'espace vectoriel sur lequel les opérateurs correspondant aux observables agissent. Les états pour lesquelles une mesure de A donne avec certitude (probabilité 1) le résultat a sont les vecteurs propres de A pour la valeur propre a, i.e. les vecteurs u (non-nuls) tels Au=au. Le fait que la position x et la vitesse v ont un commutateur (i.e. la différence xv-vx) qui est un multiple non-nul de la matrice identité implique qu'il n'existe pas de vecteur propre commun à x et à v: c'est l'expression du principe d'incertitude.

Il y a un cas, relié aux "sauts quantique", où des éléments de matrices ont une interprétation directe. Supposons qu'on ait un système physique, par exemple un atome, décrit par un Hamiltonien H (la matrice correspondant à l'énergie totale du système). Notons i,j,k... les états propres de H, i.e. les états du système pour lesquelles une mesure de l'énergie donne toujours la même valeur. Supposons maintenant qu'on couple ce système avec un système extérieur, par exemple notre atome avec le champ électromagnétique. Ce couplage est décrit par un Hamiltonien d'interaction H'. Si on écrit H' dans la base des états propres de H, H' est une matrice dont les coefficients sont indexées par des paires (i,j) d'états propres de H. Si le couplage H' est faible comparé à H, on peut montrer ("règle d'or de Fermi") que la probabilité de transition par unité de temps de notre système initial de l'état i à l'état j est proportionnelle à . C'est en effet analogue à une matrice de transition pour un processus aléatoire mais il y a une différence importante: pour une marche aléatoire, les coefficients de la matrice de transition sont les probabilités alors qu'en physique quantique, les coefficients des matrices sont des nombres complexes et ce n'est qu'en prenant le carré du module de ces nombres complexes qu'on obtient des probabilités.

C'est un principe général: en physique quantique, les objets fondamentaux ne sont pas des probabilités mais des "amplitudes de probabilité", qui sont des nombres complexes dont le carré du module donne des probabilité.

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