Passage d'une équation différentielle en complexe, puis retour en réel

[Linxra]

Bonjour,

Je suis confronté au système d'équations différentielles suivant : my'' + By' + k₂y = 0 et mx" + Bx' + k₁x = k₁Acos(wt)
On me demande de trouver x(t) et y(t) en régime sinusoïdal forcé.
Aucun soucis pour passer en complexe :
-mw²X +jwBX + k₁X = k₁Aexp(jwt)

L'équation en y n'ayant pas d'excitation, je suppose que je résous simplement l'équation différentielle avec une solution homogène... ?
Mais ensuite, je peux calculer l'amplitude et la phase de X, mais comment revenir à x(t) ?

Merci bien,
Linxra
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[albanxiii]

Bonjour,

Comment définissez-vous X ? L'idée c'est de combiner x et y pour obtenir une seule équation différentielle.
Et est-ce que k1 et k2 sont différents ?

@+

[Linxra]

Bonjour albanxiii

X est la notation complexe du x, sauf erreur je pense qu'elle vaut X = |X|exp(jwt), et oui en effet k1 et k2 sont différents

[albanxiii]

Re bonjour,

D'accord... usuellement, quand on un un système d'équations différentielles couplées (ce qui n'est pas le cas ici), on résout en posant z = x+iy.

Comme vos équations ne sont pas couplées, et qu'on vous demande de déterminer le régime sinusoïdal forcé, je pense qu'il faut simplement déterminer la phase et l'amplitude de x et y. On peut faire comme vous avez commencé avec X. En résolvant l'équation en X de votre premier message vous trouvez X = G A exp(jwt), ou G joue le rôle d'un gain complexe. Son module vous donne l'amplitude de X et son argument la phase de X par rapport à l'excitation exp(jwt).

Par contre, pour y si vous n'avez pas un second membre en cos(wt) dans le second membre de l'équation différentielle, je ne vois pas comment répondre à la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Linxra]

Bonjour,

Je viens finalement de comprendre, en effet X = Xo * exp(j(wt + phi)) avec Xo l'amplitude de l'oscillation,
Puis X = Xoexp(jwt) avec Xo = Xo * exp(phi), ce qui permet ensuite de simplifier par exp(jwt) en divisant une fois X isolée, et on accède aux valeurs d'amplitude et de phase avec Xo = |Xo| et phi = arg(Xo)

En effet, sur mon axe y (sur lequel j'applique le PFD pour avoir mon équation en y), l'excitation n'intervient pas. Donc je peux la résoudre simplement en utilisant les méthodes de résolutions basiques d'équations du 2ème degré.
Merci bien albanxiii