Probleme de compréhension sur le tranformé de Fourier

[cosmoff]

Bonjour,

J'émet le signal suivant :
f(t) = 1 pour 0 <= t < 1ms
f(t) = 0 pour t >= 1ms

Si je fais la transformé de Fourier, alors je vais avoir une somme de signal périodique (raies) avec des amplitudes différentes.
Ce qui me pose probleme est que si j'isole une fréquence particuliere d'une de mes nombreuses raies (fo) avec une amplitude Ao, avec un filtre tres sélectif, alors bien que mon signal d'entré ne dure qu'une milliseconde, je retrouve en sortie un signal périodique (fo) d'amplitude Ao qui ne s'arrete pas.

Ou est mon erreur ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[LPFR]

Bonjour.
Votre signal n’est pas périodique et la transformée de Fourier est une fonction continue (sans raies). Plus précisément, ici, c’est un sinus cardinal.

Et cette fonction est exactement l’enveloppe des raies que vous obtiendriez avec la série de Fourier (pas la transformée) si le signal était périodique en émettant des créneaux de 1 ms périodiquement. Quand la fréquence diminue, toutes les raies se resserrent vous reste l’enveloppe qui est égale à la transformée de Fourier.
(Nota : c’est le sommet de raies qui compte. Les côtés des raies c’est parque que nos analyseurs de spectre ont une bande passante non nulle).
Au revoir.

[cosmoff]

d'accord, mais on peut s'approcher du signal d'origine en prenant sur le sinus cardinal (qui représente l' enveloppe des raies) un nombre fini (assez grand) de raie. Et si je prend une raie en particulier elle est bien périodique ?

[phys4]

Et si je prend une raie en particulier elle est bien périodique ?

Chaque raie est périodique, et ce qu'il y a de prodigieux: une somme infinie de signaux périodiques sera un signal non périodique.
Les série infinies ont des propriétés très particulières.

Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

Si je fais la transformé de Fourier, alors je vais avoir une somme de signal périodique (raies) avec des amplitudes différentes.
Ce qui me pose probleme est que si j'isole une fréquence particuliere d'une de mes nombreuses raies (fo) avec une amplitude Ao, avec un filtre tres sélectif, alors bien que mon signal d'entré ne dure qu'une milliseconde, je retrouve en sortie un signal périodique (fo) d'amplitude Ao qui ne s'arrete pas.

Ou est mon erreur ?

Merci d'avance pour votre aide.

Il n'y a pas d'erreur, votre signal en sortie du filtre ne s’atténuera pas alors que l'entrée est déjà repassée à 0. C'est un comportement classique de filtre(plus particulièrement ici de "passe-bande") sauf, qu'en général, on n'arrive pas à sélectionner une seule fréquence et le résultat du filtrage de cette entrée en forme de créneau est un signal en sortie qui s'atténue exponentiellement avec le temps bien après que le signal d'entrée soit repassé à 0. Plus ce filtre sera sélectif, plus cette décroissance sera lente et, dans le cas d'un filtre passe-bande centré autour d'une fréquence f, la sortie oscillera à cette fréquence en décroissant mais si cette décroissance parait vraiment très lente, on aura l'impression que l'oscillation ne s'atténue pas(coefficient d'amortissement du filtre proche de 0).

[cosmoff]

Il n'y a pas d'erreur, votre signal en sortie du filtre ne s’atténuera pas alors que l'entrée est déjà repassée à 0.

ca parait tres contre intuitif quand meme, qu'un signal de 1ms peut émettre en sortie un signal de plusieurs années (dans le cas d'une décroissance extrêmement lente)

[LPFR]

ca parait tres contre intuitif quand meme, qu'un signal de 1ms peut émettre en sortie un signal de plusieurs années (dans le cas d'une décroissance extrêmement lente)

Bonjour.
Pour ajouter à la contre-intuitivité, les signaux qui composent une transformée de Fourier (et même une série de Fourier) ont commencé bien avant le Big-bang.

Car une sinusoïde n’est pas un morceau de sinusoïde. Et un morceau de sinusoïde qui commence (ou finit) à un moment donné, n’est pas une sinusoïde.

Donc, votre créneau de 1 ms, est formé par un nombre infini de sinusoïdes (purement théoriques) qui ont commencé avant le début de l’Univers, dont la somme est nulle jusqu’à t = 0, dont la somme est constante entre t = 0 et t = 1 ms, et dont la somme est nulle à partir de 1 ms et jusqu’à la mort thermique de l’Univers.
Au revoir.

[b@z66]

ca parait tres contre intuitif quand meme, qu'un signal de 1ms peut émettre en sortie un signal de plusieurs années (dans le cas d'une décroissance extrêmement lente)

Il ne faut pas s'étonner pourtant. Il faut considérer qu'au moment où ton signal d'entrée est non nul, ton filtre se "charge" en énergie et qu'une fois cette charge en entrée terminée la sortie peut prendre autant de temps qu'elle veut pour restituer l'énergie ainsi accumulée. Tu peux prendre l'exemple d'un condensateur qui peut constituer un filtre élémentaire avec son courant en entrée et sa tension en sortie: en appliquant un courant de 1mA pendant une ms, le condensateur se charge et, après, si rien n'est branché au condensateur, la tension à ses bornes restera constante et ne s’atténuera pas(ou peu si on considère les pertes parasites par effet joule dans le condensateur).

[LPFR]

Re.
Précision supplémentaire.
De la façon dont les séries et la transformée de Fourier sont présentées, les gens sortent convaincus qu’un signal est la somme de sinusoïdes, comme la matières est formée par des atomes.
C’est faux.
Un signal est ce qu’il est et non la somme d’autres choses.
Mais un signal continu (ce n’est pas le cas ici), peut être décomposé en somme de fonctions orthogonales (polynômes d’Hermite, de Tchebychev, sinusoïdes, etc.).
Les sinusoïdes sont, parmi ces développements, les plus commodes. C’est tout.

Donc, que le développement comporte des signaux non nuls à des endroits où le signal est nul, n’est qu’une conséquence du choix des fonctions utilisées.
A+

[stefjm]

On peut représenter un signal par sa projection temporelle s(t) ou fréquentielle s(f) sans parler de ce qu'est s, surtout pour dire qu"un signal est ce qu'il est...

[cosmoff]

ok merci beaucoup c'est plus clair