Principe de Pauli / théorème spin-statistique

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas encore fini de vous emmerder avec mes incompréhensions sur ce bouquin : http://www.phys.ens.fr/~dalibard/Not.../X_MQ_2003.pdf
On arrive doucement vers la fin, ceci dit. Vous serez bientôt délivrés. Heureux veinards.

Bref, j'en suis arrivé à l'excitant chapitre 16 qui traite de rien moins que le célèbre principe de Pauli. Et... J'ai plusieurs incompréhensions. Je vais dans ce message juste poser ma première question, pour plus de clarté.
AU début du chapitre, l'auteur cherche à introduire la nécessité d'un principe supplémentaire pour décrire les situations quantiques. Démarche admirable. Seulement, il utilise en l'occurrence un argument qui ne me convainc pas, sûrement parce que je l'ai mal compris.

Au §1.2, l'auteur nous plonge dans un exemple où l'on devrait avoir besoin d'un principe comme celui de Pauli pour décrire de manière cohérente une situation physique. Il prend deux particules identiques (et sans interactions) plongées dans un potentiel d'oscillateur harmonique à une dimension.
Le problème qu'il se pose est le suivant : si on considère le premier état excité du système, le vecteur d'état le plus général s'écrira : Φ(x1,x2)=λ * φ1(x1)φ0(x2)+ µ * φ0(x1)φ1(x2).
Il exhibe ensuite une quantité mesurable qui dépendrait de λ et µ (paramètres que rien ne nous permet de fixer a priori). Sa conclusion est alors la suivante : la description de cet état est ambiguë et il faut un principe de plus pour la préciser. Paf.

Seulement je n'arrive pas à tomber d'accord... Pour moi, il décrit simplement une dégénérescence en énergie, ce qui ne me pose pas trop de problème conceptuel a priori. En effet, j'interprète cette situation comme un simple cas où le premier niveau d'énergie excité est dégénéré d'ordre 2. Les états se décrivent dans la base {φ1⊗φ0; φ0⊗φ1}. Ce niveau peut alors correspondre effectivement à différents états distincts, ce qui ne m'empêche pas de dormir... Les exemples de systèmes ainsi dégénérés en énergie sont nombreux, par exemple l'atome d'hydrogène. Dans sa description la plus approximée, le niveau d'énergie ne dépend que de n (dégénérescence en l,m, particulière à l'hydrogène). Un niveau d'énergie n correspond ainsi à n^2 états propres. Ces états sont bien distincts physiquement (par exemple, la tronche des orbitales change bien avec l et m), mais correspondent au même niveau d'énergie.

En fait ce qui me gêne, c'est qu'il considère qu'on parle d'une situation physique bien définie (sans ambiguïté) sous prétexte que l'on est à un niveau d'énergie donné (il parle d'ailleurs carrément d'état excité, quand je m'en tiens naïvement au terme de niveau d'énergie). Or pour moi, ça n'a pas de raison d'être.
Je me rends bien compte que la clé de l'argument doit se trouver dans le fait que les particules sont identiques puisque c'est la base du principe de Pauli. Mais je ne vois pas ce que ça change... (les considérations de symétrie ne marchent pas dans l'exemple qu'il donne puisque Re(λ* µ) = Re (µ*λ) est symétrique dans l'échange des deux particules)

Bref, j'ai besoin d'un coup de pouce ici... Et puis une deuxième question sera à suivre


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[lippow]

Dans la partie 2 Système de deux particules, opérateur d’échange tout est expliquer.

"La numérotation des particules introduite ci-dessus n’a pas de sens absolu
pour des particules identiques. Par conséquent, les prévisions des résultats de
mesure physiques doivent être indépendantes de cette numérotation de ces
particules." Pour cela, on utilise un opérateur permutation qui permutes à la fois
les positions et les spins des particules.
Il en arrive à la conclusion que l'on ne veut aucune modification lors de la mesure si les particules 1 et 2 sont intervertis.

Or si tu appliques ton opérateur de permutation sur certaines fonction d'onde comme : |1+,2-> tu te rends comptes que ce vecteur n'est pas vecteur
propre de ton opérateur de permutation. Il en donc nécessaire de réaliser des combinaisons linéaires de ces états qui elles seront vecteurs propres de l'opérateur permutation (tu peux utiliser
les opérateurs d'échelles pour les trouver et l'orthogonalité des vecteurs propres).

Du coups, il a réussit a construit 4 vecteurs propres de l'opérateurs de permutation : |S=1, M=1>, |S=1, M=0>, |S=1, M=-1>,|S=0, M=0> (dans la base couplée) et parmi ces états certains sont symétriques et d'autre antisymétriques sous l'effet de la permutation.

Et c'est là qu'il t'énonce le principe de Pauli et à travers différents exemples, il te montre que pour le cas des fermions il est nécessaire que la fonction d'onde soit antisymétrique donc en soit rien à voir avec la dégénérescence des niveaux ici.

[Coccinelleamoustaches]

Merci lippow d'être passé par ici.

Mais je pense qu'on ne s'est pas bien compris sur la teneur de ma question. J'ai bien compris ce qui est développé dans la partie 2, en particulier les considérations de symétrie et d'opérateurs d'échanges qui sont très claires et ne me posent pas de problème.
Vraiment, ma question est uniquement centrée sur le §1.2. et sur la pertinence en soi de l'argument qui y est avancé. C'est vrai que ce n'est pas un point fondamental à comprendre (ce n'est qu'un paragraphe introductif), mais je n'aime pas avoir de petites incompréhensions comme ça. Qu'il y ait d'autres façons d'introduire la nécessité d'une symétrie/antisymétrie, je suis bien d'accord. Simplement, j'aimerais me concentrer simplement sur ce qui est dit dans ce passage précis, et voir en quoi l'argument est valide en soi

Son argument dans ce paragraphe précis est centré autour de la valeur moyenne de <x1x2> qui est "ambiguë", ce qui ne lui plaît pas. Cependant, on a bien <x1x2> qui reste invariant par l'action de l'opérateur permutation puisque Re(λ* µ) = Re (µ*λ).
Donc ce n'est pas un argument de symétrie qui est avancé ici. Encore une fois, ce qui semble le chiffonner c'est qu'un niveau d'énergie ne corresponde pas à un état bien défini... Ce que je ne comprends pas puisque c'est finalement une situation très commune.

J'espère avoir été plus clair ! En gros, je ne demande pas à ce qu'on m'explique avec d'autres mots d'où "vient" le principe de Pauli, mais bien qu'on m'éclaire sur l'argument précis qui est donné en §1.2. Désolé si je suis chiant ^^

[Coccinelleamoustaches]

Up ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Bonjour. Je crois qu'il suppose (ou a démontré plus tôt dans le cours?) que les états propres du hamiltonien de l'oscillateur harmonique sont non dégénérés. Dans le cas de l'atome d'hydrogène, comme vous le remarquez, ce n'est pas le cas, mais cela est dû à la présence de la symétrie de rotation du potentiel, car on est à 3 dimension. Cela permet d'introduire des opérateurs qui commutent avec le hamiltonien, donc qui sont diagonalisables simultanément, et qui peuvent créer des états distincts de même énergie. Il s'agit bien sûr du moment angulaire. Je crois que l'oscillateur harmonique ne possède pas de telle symétrie, donc qu'il n'est pas possible de construire d'autres grandeurs qui commutent avec H. Autrement dit, pour un système à deux ou plusieurs particules dans un tel potentiel, les seules symétries qui subsistent sont celles des permutations.

[Coccinelleamoustaches]

Bonsoir ThM55 et merci pour votre intéressante réponse.
Effectivement, je crois qu'il exclut implicitement la possibilité de dégénérescence... Mais je ne vois pas bien sur quoi ça se base. On a bien démontré dans le cours que pour un OH 1D à une particule, les niveaux d'énergie n'étaient pas dégénérés. Mais la généralisation à 2 particules de cette conclusion ne me paraît pas triviale...

D'ailleurs elle ne doit pas l'être parce que, sauf erreur de ma part, si on pouvait appliquer le même raisonnement à 2 particules quelconques, le principe de Pauli ne serait plus l'argument salvateur, lui qui ne joue que sur des particules identiques... La notion d'identité des particules devrait donc bien intervenir dans la conclusion menant à la non-dégénerescence...

Votre raisonnement à la suite est intéressant ceci dit. Vous dîtes que c'est le fait de trouver des opérateurs qui commutent avec H qui induisent des dégénérescences ? Je ne connaissais pas cette idée, il faudra que je l'explore.

[Coccinelleamoustaches]

Quelqu'un pour rebondir ? Sinon ce n'es tpas un drame, je passerai à ma question suivante, celle-ci n'étant pas fondamentale.

[Nomeho]

Il exhibe ensuite une quantité mesurable qui dépendrait de λ et µ (paramètres que rien ne nous permet de fixer a priori). Sa conclusion est alors la suivante : la description de cet état est ambiguë et il faut un principe de plus pour la préciser. Paf.

Seulement je n'arrive pas à tomber d'accord... Pour moi, il décrit simplement une dégénérescence en énergie, ce qui ne me pose pas trop de problème conceptuel a priori.

L'idée est bonne mais la conclusion est fausse. Tout d'abord, il s'agit bien d'un phénomène de dégénérescence, souvent appelé dégénérescence d'échange. Cependant, il n'est pas semblable aux phénomènes de dégénérescences classiques que tu as précédemment rencontré. En effet, les prédictions physiques (mesure d'un observable) ne sont pas les même pour tout les états dégénérés.

Pour expliquer cela, je vais reprendre un exemple (C. Cohen-Tannoudji, p1369). Imagine deux particules de spin 1/2, les deux observables de spin et la base orthonormée de l'espace des états. Si l'on fait une mesure sur chacune des particules, il semble naturel de penser que l'on connait parfaitement l'état du système. Supposons par exemple, que l'on trouve et selon l'axe Z. On peut alors décrire mathématiquement le système par:

ou

Par le principe de superposition, toutes combinaison lin. de solutions est encore solution. Ces deux kets engendrent donc le sous-espaces:



avec

Tous ces kets sont donc susceptibles de représenté le même système que ou . On dit alors qu'il y a dégénérescence d'échange. On pourrait à priori se dire que ce n'est pas un problème mais lorsqu'on s’intéresse à des prévisions physiques on se rend que celles-ci dépendent du ket choisis. (a et b, fixé). Par exemple, la probabilité de mesurer et selon x est de:



Il n'est donc pas possible de décrire le système par l'ensemble de ces kets. Il va falloir lever cette dégénérescence et proposer un nouveau postulat qui fixe ses coefficients. Ainsi on lèvera toute ambiguïté.

[Coccinelleamoustaches]

Merci pour ton intervention Nomého, qui me donne un nouveau point de vue très intéressant sur la question.
Effectivement, ton exemple me parle beaucoup plus que celui que je citais. Dans ton cas où on ne s'intéresse qu'à la description de l'état de spin de ces deux particules, on n'a que deux "degrés de liberté", correspondant aux deux spins. Une mesure qui fixerait ces deux DDL, devrait alors effectivement correspondre à une situation physique unique et non ambiguë. Et le principe est bien introduit.
Ce qui me gênait dans le raisonnement précédent, c'était que se fixer un niveau d'énergie ne permettait pas à priori de fixer tous les degrés de libertés de manière aussi évidente que ta version à spins. Il n'était pas évident pour moi qu'on était forcément dans une situation physique bien définie.

Mais bon, je crois que vous m'avez déjà bien aidés à discuter du problème. Je vais passer à autre chose ^^ Je repasserai pour passer ma deuxième question !

Merci