Problème application théorème de Bernoulli

[invite91c126bc]

Bonjour à tous,

J'ai un problème enfantin, mais que je n'arrive pas à comprendre. Prenons l'écoulement d'une rivière, de profondeur constante sur un plan incliné. L'eau est à surface libre tel que la pression de l'interface est égale à la pression atmosphérique partout. Et la condition d'incompressibilité implique (puisque la section de la rivière est constante) que la vitesse en amont est égale à la vitesse en aval.
Mais si on applique Bernoulli entre 2 points A et B de la surface libre : on se retrouve avec
, soit ce qui est faux. D'où vient l'erreur, je ne comprend pas...

Merci pour votre aide.
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[petitmousse49]

Bonsoir
La conservation du débit massique en régime permanent, combiné au fait que le liquide est incompressible conduit à :
S_AU_A=S_BU_B
Rien n'indique que la section droite de ta rivière est d'aire S fixe !

[velosiraptor]

Salut.

Bonsoir
La conservation du débit massique en régime permanent, combiné au fait que le liquide est incompressible conduit à :
S_AU_A=S_BU_B
Rien n'indique que la section droite de ta rivière est d'aire S fixe !

L'hypothèse de skubs est justement que SA = SB, d'où sa question ...

Si on a zA différent de zB, les pressions en A et B doivent être différentes ...
D'accord pour la vitesse vA = vB par conservation du débit volumique (fluide incompressible) mais pas pour les pressions, puisqu'on prend certes 2 points affleurant la surface, mais malgré tout immergés. Il y a bien une différence d'altitude entre ces 2 points au sein d'un fluide, donc des pressions différentes ... Ce qu'indique bien le théorème de Bernoulli.

[FC05]

Bernoulli ne fonctionne pas très bien quand on n'est avec des fluides en écoulement à surface libre.
Trop de choses qui bougent ... une équation, six inconnues ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite91c126bc]

Oui tout à fait velosiraptor, je fais l'hypothèse que la section de ma rivière est constante.

Mais on peut prendre 2 points à la surface libre. La surface libre correspondant bien à une ligne de courant et la continuité des contraintes à l'interface impose que . Après je reconnais que ça amène à une contradiction, d'où mon interrogation.

De même, si je tiens compte de la variation de la pression atmosphérique avec l'altitude, j'applique la conservation de l'énergie (Bernoulli) entre 2 points A et B, on a



On arrive à une nouvelle contradiction , soit ce qui est complètement faux. C'est quand même étrange tout ça. Ce problème ressemble pourtant étrangement à une trompe à eau ou à la vidange d'un réservoir, dans lesquelles il y a un écoulement de surface libre qui s'écoule pour ressortir à la pression atmosphérique. Du coup je ne vois pas bien pourquoi Bernoulli ne marcherait pas bien avec une surface libre comme tu le dis FC05. D'ailleurs Bernoulli permet d'expliquer comment la surface libre d'un fluide se déforme au dessus d'un obstacle immergé.

Après, il y a forcément une erreur dans mon raisonnement...

[FC05]

Tu fais l'hypothèse que la section est identique, donc les vitesses sont identiques, la pression étant identique alors ... l'altitude est identique ...

Revois tes hypothèses, il y a forcement des trucs qui bougent !
Pour que ça s'écoule il faut une différence d'altitude.
Si la pression ne bouge pas (ou peu) alors c'est que la vitesse augmente et donc que la section diminue.

Si la vitesse n'augmente pas c'est qu'il y a des pertes de charge, mais là il faut rajouter un terme à l'équation.

Et pour la vidange d'un réservoir, l'écoulement n'est pas à proprement parler à l'air libre, ce sont juste les surfaces de départ et d'arrivée qui le sont. Et là ça donne de bons résultats, à condition que le trou du bas soit bien profilé, justement pour minimiser les pertes de charge.

[invite91c126bc]

Tu fais l'hypothèse que la section est identique, donc les vitesses sont identiques, la pression étant identique alors ... l'altitude est identique ...

Revois tes hypothèses, il y a forcement des trucs qui bougent !
Pour que ça s'écoule il faut une différence d'altitude.

Mais mes hypothèses sont -section constante et pression constante à l'interface. Par contre différence d'altitude entre 2 points de la surface libre de la rivière.
Je comprend ta remarque sur le fait que mes hypothèses ne sont pas justes et que je dois les revoir. Il s'agit cependant des mêmes hypothèses que l'on fait lorsqu'on résoud l'équation de stokes dans le même problème : écoulement d'une nappe d'eau de section constante sur un plan incliné. Et en injectant ces conditions aux limites dynamiques (égalité des pressions à l'interface) et conservation du débit, on trouve un profil de vitesse parabolique qui correspond à un demi poiseuille. Et ce résultat est juste.

Je réitère donc ma question. Pourquoi dans un cas on résoud l'équation de Stokes on trouve un demi-poiseuille et un résultat correct, dans l'autre cas, j'utilise les mêmes hypothèses, j'utilise Bernoulli mais je tombe sur une contradiction. La seule différence entre ces deux approches (l'une qui vient de la conservation de la quantité de mouvement, l'autre Bernoulli qui est une approche énergétique) c'est que pour utiliser Bernoulli j'ai supposé le fluide comme un fluide parfait. Mais le problème ne vient pas de là. D'ailleurs si je fais le même raisonnement de Bernoulli avec perte de charge (loi de poiseuille), je tombe sur la même contradiction...

[FC05]

Avec Stockes tu as de la viscosité donc une perte de charge ou une perte d'énergie, donc ce n'est pas équivalent à Bernoulli.

A la rigueur tu peux prendre Bernoulli avec pertes de charge. Mais il faut comprendre que l'on est plus dans le bricolage que la science dure.
En gros on rajoute un terme principalement empirique pour sauver le "soldat Bernoulli".
De plus avec Bernoulli on considère des vitesses moyennes.
Tes hypothèses de départ ne collent pas du tout, avec Stockes tu pourras avoir un profil de vitesse par exemple.

D'expérience, je répète que quand l'écoulement est à l'air libre, Bernoulli n'est pas évident, à la limite on retrouve le résultat quand on le connaît (ou je ne suis pas assez fort, ce qui est possible).
Pour moi :
Tuyaux -> Bernoulli
Canal, rivière -> Une formule empirique, il y en a plein, il faut trouver celle qui va bien.

[soliris]

, soit ce qui est faux. D'où vient l'erreur, je ne comprend pas...

Merci pour votre aide.

Si je lis mon manuel "Harris Benson, physique 1 : Mécanique, p.291: L'équation suivante fut établie en 1738 par Daniel Bernoulli; elle est valable pour tous les points d'une ligne de courant dans un fluide incompressible et non visqueux "

Il est très probable que l'on ne peut plus faire varier rho.g.z, car à la limite la charge g.z est systématiquement compensée par les différents frottements et obstacles qui amènent à considérer que l'écoulement est horizontal.
Peut-on voir les choses comme cela ?

[invite91c126bc]

Bon j'ai la réponse à mon problème. C'est ce que tu disais FC05. Je poste au cas où qqun se pose la question et tombe dessus un jour.

Mon erreur vient du fait que j'ai supposé l'épaisseur de ma rivière constante. Elle est là mon erreur. C'est une hypothèse qu'on ne peut pas faire. Le fluide est incompressible, alors la conservation du débit impose que par unité de profondeur. Si je suppose mon fluide parfait, comme je le fais, alors la rivière accélère car pas de dissipation visqueuse. Si U augmente, alors h diminue forcément. Donc la section de ma rivière ne pouvait pas rester constante, à moins d'y mettre une paroi à sa surface libre, mais dans ce cas, ce sont les conditions aux limites de pression qu'on modifient.

Pour pouvoir considérer une rivière d'épaisseur constante, et donc une vitesse constante, il faut tenir compte de la viscosité et introduire un coefficient de perte de charge. Dans ce cas, Bernoulli devient , où est le coefficient de perte de charge extrait de la loi de poiseuille (dans une conduite cylindrique). Bref ce coefficient de perte de charge est proportionnel au débit volumique Qv. Du coup Bernoulli devient



C'est donc la différence de hauteur qui fixe le débit de notre rivière. C'est bon j'ai compris. Merci à tous.

[invite91c126bc]

Et pour conclure, si je tiens vraiment à mon hypothèse de fluide parfait, dans ce cas on a toujours par conservation du débit et par Bernoulli. Et on trouve finalement que

et , ce qui revient à ssi .