Formule de la portance

[invite664f3cb1]

bonjour
Comment démontretons que la force de portance subie par l'aile d'un avion vaut : F=1/2*rho*S*v²*Cz ?
Merci d'avance
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[invitea29d1598]

bonjour

as-tu pensé à regarder ça ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Portance

[invite899dc035]

J'ai finalement trouvé une démonstration satisfaisante, ça se base sur une équation fondamentale de la mécanique des fluides :

L'équation de Bernoulli :

P + 1/2*rho*v^2 = constante
Ou P est la pression du fluide sur un corps (force exercée / surface ou elle s'exerce)
rho la masse volumique de ce fluide
v la vitesse du corps considéré par rapport au fluide

Appelons P₁ la pression de l'air sur l'intrados (sous l'aile) et P₂ la pression de l'air sur l'extrados de l'aile. On aura donc deux vitesses V₁ et V₂ qui sont respectivement les vitesses d'écoulement de l'aile sur l'intrados et sur l'extrados.
Par l'équation de Bernoulli on a donc :

P₁ + 1/2*rho*V₁² = P₂ + 1/2*rho*V₂²

On peut maintenant obtenir l'équation de la portance en partant de cette équation, on sait que les pressions P₁ et P₂ ont des sens opposés (ils "poussent" respectivement vers le haut et vers le bas), on va donc s'intéresser à la pression "nette" ressentie par l'aile pour en déduire la force appliqué par l'air sur celle-ci, donc on va exprimer la différence P₁ - P₂ avec l'équation vue plus haut, ce qui nous donne :

P₁ - P₂ = 1/2*rho*V₂² - 1/2*rho*V₁²

En arrangeant un peu :


P₁ - P₂ = 1/2*rho*(V₂² - V₁²)

V₁ et V₂ sont deux vitesses non nulles donc il existe des coefficients a et b (dépendants du profil de l'aile) tel que :

V₁ = V*a
et V₂ = V*b

ou V est la vitesse de l'aéronef par rapport à l'air.

Donc on peut réécrire notre équation :

P₁ - P₂ = 1/2*rho*(V²*a² - V²*b²)
<=> P₁ - P₂ = 1/2*rho*V²*(a² - b²)

Appelons P la différence P₁ - P₂ qui correspond à la pression "nette" sur l'aile de l'avion donc :
P = 1/2*rho*V²*(a² - b²)
Rappelons nous qu'une pression est la magnitude de la force exercée sur une surface, divisée par l'aire de cette surface (Pa= N.m^-2) donc (vous sentez l'odeur du résultat final la ? )
Donc si on appelle F la force exercée sur les ailes de l'avion et S leur surface on a :
F/S = 1/2*rho*V²*(a² - b²)
<=> F = 1/2*rho*V²*S*(a² - b²)

a et b dépendent du profil d'aile et de l'angle d'attaque et permettent (en quelque sorte) de le définir, ça me rappelle étrangement Cz , le coefficient de portance, (bien sur Cz comprend aussi d'autres éléments qui viennent corriger les imperfections de notre modèle) donc si on remplace on a finalement :

F = 1/2*rho*V²*S*Cz

Et voila ! J'ai aussi vu d'autres preuves plus ou moins fumeuses de la formule de portance mais aucune ne me satisfaisait vraiment, ça reste tout de même intéressant de voir les différentes approches de cette formule finalement assez expérimentale.
Je me suis basé sur ce super article du MIT pour cette démonstration :
http://web.mit.edu/16.00/www/aec/flight.html

Si vous voulez voir une approche (un peu plus compliquée), considérant la force portante comme la réaction de l'avion par rapport à la masse d'air envoyé vers le bas par les ailes (3eme loi de Newton), je vous conseille l'article :
http://www.dinosaurtheory.com/flight_eq.html

[invite9d9b5e3f]

Oui mais ça ne m'avais pas permis de trouver une démonstration satisfaisante merci quand même

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9d9b5e3f]

Merci beaucoup Nigrarum c'est tout ce que je voulais
C'est très bien expliqué en tout cas