Quelques questions de physique théorique

[mtheory]

c'est pas un outil fondamental : !

Si,si c'est relié à l'évaluation des vecteurs de Killing et sous une forme caché ça se retrouve dans toute la théorie quantique des champs (supersymétrie,formalisme BRST etc...).

Tu peux effectivement contourner son utilisation mais en fait tu t'en passes pas vraiment.


Les vecteurs de Killing sont centraux dans toute la théorie des trous noirs et dans les modèles cosmologiques avancés.

Pas d'affolement si tu maitrise pas trop bien la bestiole mais il est indispensable de la connaître et de voir ce qui tourne autour.
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[BioBen]

I Killing vector field

Si,si c'est relié à l'évaluation des vecteurs de Killing[...]Les vecteurs de Killing sont centraux dans toute la théorie des trous noirs et dans les modèles cosmologiques avancés.

Justement, une partie de mon exam portera peut-etre là dessus, et j'ai un peu de mal à visualiser ce que c'est.
Bon alors Killing, c'est qui tue la metrique c'est ca ?
En gros c'est tout champ vectoriel tel que , tout champ de vecteur qui "annule la dérivée de Lie de la metrique"
Pour l'image j'ai trouve " the metric is 'dragged into itself' by the vector field " ...

Mais c'est bien ça la defintion d'un vecteur de Killing...rien de plus, juste ca tue la metrique ?

II Crochet de Poisson et formalisme canonique
Quelqu'un sait où je peux trouve quelques exos corrigés où ils utilisent le formalisme canonique... et le crochet de Poisson ? Théoriquement j'ai compris, mais j'ai aucune "mise en application" sous la main


Merci !
Benjamin

[nissart7831]

Mais c'est bien ça la defintion d'un vecteur de Killing...rien de plus, juste ca tue la metrique ?

Salut,

je te cite mot pour mot (car je ne maitrise pas) un passage de "Cosmologie primordiale" de Peter et Uzan (p.42):

"Un vecteur satisfaisant est appellé vecteur de Killing. Il laisse la métrique invariante et représente donc une symétrie de l'espace-temps.
[...]
Il y a N(N+1)/2 vecteurs de Killing indépendants. Pour N=4, cela fait 10 vecteurs de Killing indépendants, ce qui est exactement la dimension du groupe de Poincaré si bien que l'espace de Minkowski est un espace à symétrie maximale."

J'espère que cela t'éclaire un peu plus.

[BioBen]

Ok ca confirme ce que j'avais compris...
Bon je tente un suggestion j'aurai l'excuse de la fatigue... mais le lien a l'air trop flagrant pour ne pas poser la question : il y a un lien entre vecteurs de Killing et isometrie Désoléééé si c'est une grosse connerie mais je suis en train de tout bosser à fond (je m'y suis pris tard j'avais des trucs persos à regler avant) donc je prefere demander pour ne pas faire l'erreur en exam
Disons que... il y a n(n+1)/2 vecteurs de Killing et n(n+1)/2 isémotries pour un espace R^n alors c'est tentant, surtout vu la fonction du vecteur de Killing !
Ca me laisse dubitatif quand meme, mais bon, autant demander (j'ai trouvé l'allusion nulle part alors ).

III Crochet de Poisson
Euh... le crochet de Poisson, ca sert principalement à verifier qu'on a bien une transformation canonique ?
Par exemple pour deux variables canoniques on doit avoir {Q^j,Pk}=

[mtheory]

Bien imaginé mais c'est pas ça

Killing c'est lui
http://www.gap-system.org/~history/B...s/Killing.html


En fait ce sont les champs de vecteurs définissant des courbes intégrales invariantes par un groupe de symétrie sur une variété donné (en gros).
Prends un tore et trace les petits et grands cercles perpendiculaire sur ce tore.
Les vecteurs de Killings y sont tangents et te définissent donc des propriétés d'invariance par 'translation', selon leur courbes intégrales, de la métrique d'une variété dans un système de coordonnée donnés.
Si tu veux cela te permet de généraliser les invariances par translations/rotations de l'espace plat sur des variétés arbitraire.
Combinés au théorème de Noether tu as donc une procédure pour trouver des lois de conservations géométriques et mécaniques des champs de vecteurs et systèmes physique sur une variété de géométrie/topologie donnée.
Les commutateurs de vecteurs de Killing sont donc liés à la théorie des crochets de Poisson ,à la détermination de la séparation des variables des équations en fonction d'un système de coordonnées exploitant les symétries sur une variété/champs de vecteurs.
Bon,c'est une description plus intuitive que rigoureuse mais l'idée est là.

[BioBen]

Si tu veux cela te permet de généraliser les invariances par translations/rotations de l'espace plat sur des variétés arbitraire.

Cette phrase est un peu contradictoire avec ta première phrase... elle semble me donner raison (lien entre Killing et isometrie) pour les cas où l'espace est plat
//Ne crois pas que je tienne absolument à vouloir avoir raison (j'ai sans doute tort d'ailleurs)... mais c'était tentant alors j'essaie de creuser voir si y'a vraiment aucun lien, ce qui serait dommage //

Combinés au théorème de Noether tu as donc une procédure pour trouver des lois de conservations géométriques et mécaniques des champs de vecteurs et systèmes physique sur une variété de géométrie/topologie donnée.

Okii je vois très bien ce que ca apporte alors... donc si je comprends bien Killing c'est une source enorme d'information sur l'espace et la metrique en faisant apparaitre les symétries/invariances...donc comment simplifier les exos (bon là c'est que des mots, en maths c'est plus chaud mais faut pas le dire ).
Combiner ca à Noether et on a le lien entre la structure (symétries, invariance,...) de l'espace et la mécanique (lois de conservation notamment !).
C'est bien ça ? En tout cas ca me parait "logique"

Merci !

[nissart7831]

Pour les vecteurs de Killing, j'ai trouvé cette définition ici (p.79):

"Champ de vecteurs sur la variété qui caractérisent les isométries de la variété.Pour la métrique, ils caractérisent son invariance par transformation par ce champ de vecteurs.

Ils impliquent la conservation de quantités comme l’impulsion sur les géodésiques de particules en mouvement « libre ».. Le vecteur tangent à la géodésique est un vecteur de Killing.

Un espace de symétrie maximum est celui qui contient le maximum de vecteurs de Killing =< n(n+1)/2"

C'est cohérent avec ce que tu dis, mtheory ?

[BioBen]

Champ de vecteurs sur la variété qui caractérisent les isométries de la variété.

Youhou ... ils parlent bien des isométries dans le definition des vecteurs de Killing... reste plus qu'à combiner ça avec ce que dit mtheory
Merci pour ton aide nissart !

C'est cohérent avec ce que tu dis, mtheory ?

Grosso modo oui ca a l'air cohérent, mais en fait faut savoir ce qu'il voualit dire en disant "Bien imaginé mais c'est pas ça"... parce que effectivement il y a un lien entre isometrie et Killing, mais peut etre pas du meme type que je le laissais entendre dans mon premier message Bref, au moins c'est lié

[mtheory]

Cette phrase est un peu contradictoire avec ta première phrase... elle semble me donner raison (lien entre Killing et isometrie) pour les cas où l'espace est plat

Mais exactement,c'est ça!
Un moyen d'exploiter et de déterminer les isométries d'une variété de métrique donnée.
Dans le plan l'invariance par translation/rotation te donne la conservation de l'impulsion et du moment cinétique et bien sur un espace-temps courbe il faut pouvoir transposer ces lois

[mtheory]

Killing est un nom de mathématicien,pas que ça tue la métrique c'est ce que je voulais dire

[BioBen]

OKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Mais alors pourquoi m'avoir dit que j'avais mal imaginé
//

Killing est un nom de mathématicien,pas que ça tue la métrique c'est ce que je voulais dire

Ahhhhhhh mais ca je savais, c'est le moyen mnémotechnique des anglophones*... disons qu'il porte bien son nom pas comme Poisson ! //

En tout cas marci à tous les deux j'ai parfaitement compris !!

Reste plus qu'à attaquer le poisson, euh... le crochet de Poisson bien sûr ! Et le formalisme hamiltonien
Mais euh c'était super cool les équations d'EL quelle idée de vouloir en changer L'ordre 2 c'est super top cool d'abord ! Hamilton il nous a tous compliqué la vie !

*Ptit trou de mémoire mais je crois qu'il en a 2 ou 3 autres qui portent bien leurs noms... si ca me revient je ferai une update

[mtheory]

III Crochet de Poisson
Euh... le crochet de Poisson, ca sert principalement à verifier qu'on a bien une transformation canonique ?
Par exemple pour deux variables canoniques on doit avoir {Q^j,Pk}=

Pas seulement,surtout déterminer des lois de conservation pour un système mécanique donné.

Soit A(q,p) une fonction des coordonnées canoniques et H(p,q) l'Hamiltonien alors


Si et alors A est une quantité conservée.

[mtheory]

Soit A et B deux quantités conservées alors il arrive que

{A,B}=C est encore une intégrale première.
Quand tu cherches à trouver des lois de conservations en mécanique céleste c'est et c'était une voie royale!

Regarde le Landau et le Goldstein

[Gwyddon]

Hamilton c'est quand même super pratique pour la méca quantique, mais ça tu verras l'an prochain ben

[BioBen]

Comment sait-on ce que l'on met dans le crochet de Poisson ? On teste toutes les combinaisons des fonctions dépendant des variables canoniques ?

{A,B}=C est encore une intégrale première.
Quand tu cherches à trouver des lois de conservations en mécanique céleste c'est et c'était une voie royale!

Ca permet de retrouver le vecteur de Runge-Lenz ou meme pas ? Comment ca ca a aucune rapport

Hamilton c'est quand même super pratique pour la méca quantique, mais ça tu verras l'an prochain ben

Cette année j'aurai pas eu le temps, encore moins ces deux dernieres semaines.
D'après ce que j'ai vu le crochet de Poisson est super pratique en MQ car on passe imméidatement du cas classique au cas quantique à un facteur -i/h pres je crois style : {A,B}=-i/h {A,B}

[mtheory]

, encore moins ces deux dernieres semaines.
D'après ce que j'ai vu le crochet de Poisson est super pratique en MQ car on passe imméidatement du cas classique au cas quantique à un facteur -i/h pres je crois style : {A,B}=-i/h {A,B}

Tout à fait,comme c'est un invariant canonique ça veut dire que ça sélectionne une équation ou h est une constante et que donc l'évolution d'un système ne peut se faire qu'en respectant la quantification.
C'est la transposition/généralisation de la quantification par invariant adiabatique d'Erenfest

[BioBen]

A propos du tenseur totalement antisymétrique ... on m'a beaucoup rabaché en TD qu'il était super important, mais j'ai pas vraiment compris pourquoi . Alors ok il permet de définir le produit vectoriel : qui veut dire X, mais à part ça

Par exemple pourquoi intervient-il dans l'expression liant le champ magnétique au potentiel vecteur ??
Je pense avoir compris, d'après l'allure de l'équation, qu'un rotationnel se cachait là dessous, donc un pseudo-vecteur (espace dual)...donc le tenseur antisymétrique ?

En gros il sert dès qu'on parle de pseudo vecteur (donc d'espace dual) ? Mais plus concrètement ... physiquement il indique quoi ?

Merci !
Benjamin

[invité576543]

A propos du tenseur totalement antisymétrique ... on m'a beaucoup rabaché en TD qu'il était super important, mais j'ai pas vraiment compris pourquoi . Alors ok il permet de définir le produit vectoriel : qui veut dire X, mais à part ça

Par exemple pourquoi intervient-il dans l'expression liant le champ magnétique au potentiel vecteur ??
Je pense avoir compris, d'après l'allure de l'équation, qu'un rotationnel se cachait là dessous, donc un pseudo-vecteur (espace dual)...donc le tenseur antisymétrique ?

En gros il sert dès qu'on parle de pseudo vecteur (donc d'espace dual) ? Mais plus concrètement ... physiquement il indique quoi ?

Merci !
Benjamin

Je tente une réponse. Il est important parce que contrairement à ce qu'on son nom peut faire croire, le tenseur manifeste la symétrie de l'espace (son isotropie pour être précis). On l'utilise pour moyenner selon toutes les directions.

Sa fonction de base est d'être une densité spatiale (ou spatio-temporelle si tu prend l'équivalent 4D).

Il me semble que la meilleure approche pour percevoir tout cela est le formalisme des n-formes. Physiquement cela correspond aux flux, aux densités, à tous ces machins qui à une longueur, à une surface ou à un volume associent ce qui "est dedans" (densité) ou "ce qui passe à travers" (flux). L'isotropie de l'espace permet d'en faire des modèles linéaires, dans lesquels une rotation de l'orientation d'une surface (pour un flux) se traduit par une combinaison linéaire d'autres orientations de surface. Et c'est lié à l'antisymétrie (le anti-, qui n'est finalement qu'un chanegement de signe par rapport à la symétrie, peut se comprendre en réalisant que la notion de flux à travers une surface demande une convention de signe, qui doit changer quand on regarde "de l'autre côté". Pour un volume, c'est moins évident, mais il y a en fait un intérieur et un extérieur...)

Un exemple classique et simple est la notion de "vecteur" courant électrique (J). En fait, ce qui a un sens c'est le flux de charge, ce qui passe à travers un élément de surface pendant un certain temps. Si tu réfléchis un peu à ce sujet, tu te rends compte que la notion de flux à travers une surface est plus "physique" que la notion de vecteur vitesse. Le tenseur permet de traduire un flux (un tenseur d'ordre 2) en un vecteur plus facile à manipuler. De même une densité est plus facile à manipuler qu'un tenseur d'ordre 3, ce qui est pourtant plus "physique" pour une densité (dimensionnellement, par exemple, le L^-3 est cohérent avec une application à 3 vecteurs). Là aussi, c'est l'isotropie et le tenseur anti-symétrique qui fait le passage.

Je ne sais pas si c'est bien clair, mais en gros l'information est que, m'étant posé le même genre de question, j'ai trouvé mon bonheur avec les n-formes...

Cordialement,

[mtheory]

Si .

Ouais...si je pose A(q,p),ça va sans dire

[BioBen]

Pas compris...
Tu voulais écrire A(q,p,t) ? C'est vrai que si on a A(q,p), on a trivialement (pas besoin du "Si").

mmy j'ai pas encore vu les n-formes... j'en ai entendu parler bien sûr mais j'ai vraiment pas encore étudier ca concrètement, donc ce que tu me dis reste plutot abstrait pour moi, mais après mes exams j'essaierai de me renseigner là dessus

[Gwyddon]

Plus concret (et sans doute en lien avec ce que mmy a dit) : ce tenseur permet de définir, si je me souviens bien, l'élément d'intégration sur une variété (après quelques petites opération avec bien sûr). Je l'avais rencontré dans le cours de relativité générale de Laurent Baulieu.

[BioBen]

Plus concret (et sans doute en lien avec ce que mmy a dit) : ce tenseur permet de définir, si je me souviens bien, l'élément d'intégration sur une variété (après quelques petites opération avec bien sûr).

Mmmmhhhh ... Je ne pense pas avoir rencontré ce cas de figure Je l'ai utilisé pour faire passer en tenseur de rang 2 en vecteur, pour faire du produit vectoriel (donc elements de surfaces/volumes/...) et voila.
Peut etre que te referais au calcul de surface/volumes... aucune idée. Enfin bon je verrais ca après les exams

Merci pour votre aide !

[mtheory]

Pas compris...
Tu voulais écrire A(q,p,t) ? C'est vrai que si on a A(q,p), on a trivialement (pas besoin du "Si")

Ben oui

[BioBen]

Ben oui

Je n'utilise plus le "ben oui" ou le "bah c'est super simple" depuis que j'ai vu que je savais pas recopier mon brouillon (bon finalement je l'ai pas payé trop cher mais bon....ca m'a servi de leçon)

[invite43537534]

Une utilité pratique du tenseur anti-symétrique:
Le tenseur "ei,j,k" unité d'ordre 3 est le tenseur axial qui permet de définir un produit vectoriel: C=AxB
Il se définit comme tenseur par rapport à ses trois indices, i, j, k. Il posséde 27 composantes. Mais seule 6 ne sont pas nulles. elles correspondent à une permutation quelconque des indices i, j ,k. dans le cas où une permutation paire de deux indices de i,j,k revient à 1,2,3 par permutation paire alors e(1,2,3)=+1, dans le cas ou c'est impaire e(1,2,3)=-1.
on a de plus les relations suivantes:
eikl eikm=2delta lm (entre autre)