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trajectographie 2D d'une fusée



  1. #1
    audemorel

    Question trajectographie 2D d'une fusée


    ------

    Bonjour

    Je fais partie d'un club qui construit de petites fusées expérimentales de 3m de haut et 10 cm de diamètre et je cherche cette année à connaitre la trajectoire 2D qu'aura eu ma fusée lors de son vol...
    Pour info, nous tirons à partir d'une rampe inclinée de 70° et après une courte phase propulsée, la fusée continue son vol parabolique jusqu'à l'ouvertue d'un parachute à l'apogée...
    Cette fusée, qui est naturellement animée d'un mouvement de roulis autour de son axe principal, est équipée de 3 gyromètres (mesurant la vitesse angulaire suivant ses 3 axes) et d'un accéléromètre (mesurant l'accélération suivant l'axe principal).
    Comment à partir de ces 4 données retransmises en temps réel durant le vol pourrais-je, après coup, dessinée la trajectoire 2D du vol de ma fusée (J'aurai besoin des équations mathématiques)...

    Si qqn est intéressé par mon problème et aurait une idée à me soumettre, je suis ouverte à toute proposition...

    merci d'avance

    Aude

    -----

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  3. #2
    Meumeul

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    SAlut,

    l'info que tu as est l'acceleration, qui est la derivee seconde de la position, il te suffit donc d'integrer deux fois tes donnees. Si tes donnees arrivent avec une frequence suffisamment elevee (desole, je n'ai pas d'idee sur la valeur requise...) il te suffit de faire une methode d'Euler : tu consideres que la fusee est animee de l'acceleration a(t) jusqu'a l'instant t+dt.

    En fait, j'ai aucune idee de ton niveau en math, donc si c'est pas clair et si tu veux des eclaircissements, n'hesites pas un instant.

    Au final, ca te donne la position (avec une approximation qui grandit avec le temps dt entre deux mesures) a t+dt a partir de la position a l'instant t (par position j'entends position et angle).

    Pour les formules, ca donne :





    ou est l'angle par rapport a l'horizontal de la fusee, a est l'acceleration selon son axe et pour y tu prends l'expression pour x en remplacant cos par sin et ca devrait marcher...
    enfin, je pense que d'autre vont jeter un oeil a ca et confirmer/corriger.

    Si tes mesures sont trop espacees, c'est la meme idee, mais l'algorithme de calcul est un poil plus long, et il est trop tard pour le decrire



  4. #3
    nicus

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Bonjour tout le monde,

    je n'ai pas trop le temps alors je fais une reponse tres rapide par rapport au message de Meumeul :
    La solution n'est pas aussi simple, car on ne dispose pas directement d'info sur l'angle theta... il faut le calculer à partir des gyrometres. (J'essayerai de trouver les equations si j'ai 5 minutes..., donc pas tout de suite...).
    Ensuite, petite remarque : un accelerometre mesure toutes les forces "non-gravitationnelles", c'est à dire tout (poussée moteur, frottement de l'air, choc à l'ouverture du parachute...), sauf la PESANTEUR. A ajouter donc dans les equations...

    J'essayerai de revenir au probleme quand j'aurai plus de temps...
    Nicus

  5. #4
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Merci à tous les 2 pour votre intervention... Effectivement si vous avez du temps, je veux bien que vous vous penchiez sur le problème...
    J'étais déjà arrivée plus ou moins aux premières équations et c'est justement là détermination de l'angle à partir des gyros qui me gène... L'un servant à mesurer là vitesse du roulis et permettant donc de savoir dans quelle mesure il faut utiliser les données fournies par l'un ou l'autre des gyros perpendiculaires... Ca semble assez logique physiquement mais quand il faut l'écrire mathématiquement, c'est une autre paire de manche...

  6. #5
    nicus

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Re-salut Aude,
    en reflechissant a ton probleme, je crois que ce n'est pas trop compliqué :

    Tu as 3 gyrometres :
    - l'un mesure la vitesse angulaire autour de l'axe de la fusée : celui la ne sert donc pas pour le calcul de la trajectoire 2D.
    - les 2 autres permettent de calculer la vitesse angulaire (la dérivée de theta) perpendiculairement à la trajectoire. Pour cela, tu les combines par la formule : (désolé, je ne sais pas ecrire des jolies formules en Tex comme Meumeul...) :
    vitesse angulaire perpendiculaire = theta prime = racine carrée de (somme des carrés des 2 vitesses angulaires)

    Avec ca, en modifiant un peu les equations de Meumeul (puisque tu n'as pas de mesure de l'acceleration angulaire mais seulement de la vitesse angulaire), tu devrais t'en sortir...
    N'oublie pas comme je disais plus haut de rajouter la pesanteur à la mesure de l'accelerometre.

    bons calculs !

    Nicus

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Meumeul

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Des que j'ai le temps, j'essaye de corriger...

    en fait j'etais parti du fait plutot optimiste qu'un des gyros donnait ( qui s'ecrit : [ TEX ] \ theta ' [ /TEX ] avec plein d'espaces en moins, c'est leger mais ca donne l'esprit de Tex)...on mettra ca sur le compte des 2h du mat locales...

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  10. #7
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Salut

    Je pense avoir à peu près compris pour : je fais la racine de + pour obtenir mon , ensuite après l'avoir dérivé (=> ), je peux obtenir le de la 1ère ligne (la 2ème est inutile). J'ai ainsi l'angle de ma fusée avec l'horizontale tout au long du vol avec =70°

    Par contre pour x, c'est moins clair. Dites moi si je me trompte mais a(t).cos() est la fonction à intégrer 2 fois pour retrouver x... Je peux prendre le point de départ comme étant (0;0)...

    Si j'ai bien tout suivi, ce n'est en fait pas si méchant...

    Par contre, si j'intègre pour le calcul de y, la fonction a(t).sin()+Poids, ca suffit ou pas pour prendre en compte la pesanteur?

    Aude

  11. #8
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Si ma fréquence est suffisamment élevée puis-je me contenter t'intégrer le obtenu à partir des 2 mesures des gyros puis en posant x"(t)=a(t).cos() et y"(t)=a(t).sin()+mg, et en les intégrant 2 fois, obtenir directement les coordonnées dans le plan cartésien...

  12. #9
    nicus

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Je pense avoir à peu près compris pour : je fais la racine de 1 + 2 pour obtenir mon
    C'est ca, a part que tes mesures ne te donnent pas et mais et ...

    Si ma fréquence est suffisamment élevée puis-je me contenter t'intégrer le obtenu à partir des 2 mesures des gyros
    Oui, c'est ca qu'il faut faire a mon avis : surtout ne pas repasser à (même si ta frequence est elevée) tu risquerais d'introduire inutilement de erreurs numériques.

    PS : Ca y'est, je maitrise les TEX !! (1h pour taper le message quand meme... )
    A propos, comment on fait pour copier coller des formules d'anciens messages ?

  13. #10
    Meumeul

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Citation Envoyé par nicus
    C'est ca, a part que tes mesures ne te donnent pas et mais et ...



    Oui, c'est ca qu'il faut faire a mon avis : surtout ne pas repasser à (même si ta frequence est elevée) tu risquerais d'introduire inutilement de erreurs numériques.
    C'est tout a fait ca.

    PS : Ca y'est, je maitrise les TEX !! (1h pour taper le message quand meme... )
    A propos, comment on fait pour copier coller des formules d'anciens messages ?
    il semblerait que le forum soit pas super bien configure (il ne renseigne pas les "alternate text" des images, ce qui est en general la facon de donner le code Tex...), donc en gros tu peux pas...

    Si la moderation pouvait jeter un oeil

  14. #11
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Salut

    Je vais encore vous embêter mais finalement ca me semble bizzare d'ajouter le poids qui est une force à une accélération... non?

  15. #12
    Meumeul

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    en fait non, car on a force = masse * acceleration.

    Tu t'en sors pour adapter les equations ou il faut qu'on y jette un oeil (sachant que de mon cote, tu as le plus de chance que j'y jette un oeil si tu proposes une version corrigee...)

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  17. #13
    nicus

    Post Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Citation Envoyé par audemorel
    Salut

    Je vais encore vous embêter mais finalement ca me semble bizzare d'ajouter le poids qui est une force à une accélération... non?
    tu as tout a fait raison, c'est ma faute d'ailleurs, je me suis mal exprimé : il faut que dans y'', tu tienne compte de "l'accélération de la pesanteur", donc g vers le bas) c'est pourquoi ta formule y''(t) plus haut est un peu fausse...
    c'est plutot :

    y''(t) = a(t)sin(theta) - g

    Nicus

  18. #14
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    Voilà donc mon interprétation finale. Si vous pouviez vérifier et me donner vos remarques...Merci d'avance


    Avec ' et ', les valeurs données par les 2 gyromètres perpendiculaires à l’axe de la fusée, on a '=racine('²+'²)… On intègre ce ' pour obtenir sachant que '(0)=70° ou 80°.
    On va ensuite calculer sa position. Prenons pour origine le point (0;0).
    Posons x"(t)=a(t).cos() et y"(t)=a(t).cos()-g avec a(t), la valeur donnée par l’accéléromètre placé suivant l’axe principal de la fusée. En intégrant 2 fois chacune de ces expressions, on obtient directement les coordonnées dans le plan cartésien…

    La mesure donnée par le gyromètre suivant l’axe de la fusée ne sert donc pas directement pour le trajectographie 2D mais donne une idée sur le comportant de la fusée.

  19. #15
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    PS : Erratum
    (0)=70° ou 80°

  20. #16
    nicus

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    C'est exactement ca ... en mettant un sinus au lieu d'un cosinus dans la formule du y''(t)...

  21. #17
    audemorel

    Re : trajectographie 2D d'une fusée

    exact...

    Et bien merci beaucoup à tous les deux pour votre aide précieuse...

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