Bonjour,
Pour le moment juste par convention, on va partir du principe qu'on met les indices de coordonnées de vecteur en haut et de dérivation en bas (on pourra tout inverser à la fin si jamais).
Peut-on écrire sans décomposition en somme un élément du tenseur des déformations 1/2 (djvi+divj) qui est une matrice 3x3 usuellement? Où v est le vecteur vitesse, et di (respectivement dj) l'opérateur de dérivation par rapport à xi (coordonnée de position) (respectivement xj).
D'ailleurs j'ai déjà un doute si on écrit complètement la dérivée par exemple d'une i-ème composante d'un vecteur (en voulant le dériver "entièrement") par rapport à une j-ième coordonnée : dxi/dxj ou dxi/dxj?
Ensuite est-ce qu'on écrit Dij = Dji (symétrie), ou Dij = Dji ou Dij = Dji? Ou est-ce qu'on ne peut pas le décrire élément par élément à cause de la somme de termes dont l'un est le transposé de l'autre et on doit garder D?
Peut-on tout écrire en "indices en bas"? C'est pour le moment ce que je fais à mon niveau, mais je crains que cela créée des ambiguïtés quand il y a des sommes, je cherche donc à voir si on ne peut pas faire quelque chose de plus carré, respectant le formalisme le plus efficace
Si on le décompose en un D = G(i,j)+G(j,i) avec G(i,j)=djvi : Est-ce que Gij=djvi? Ou Gij=djvi? Ou Gij=djvi? Ou Gij=djvi? (Ici G n'est pas forcément symétrique.)
J'ai du mal à faire le lien avec les "mathématiques pures" (quasiment pas eu de cours de calcul différentiel et rien sur la relativité). Après appliquer D à un vecteur dx par exemple ressemble beaucoup à un changement de base (sauf que là c'est une déformation), et je me demande si un parallèle n'est pas possible (par exemple si on écrit une matrice de passage de la base B à B' comme PBB', cela peut donner peut-être une idée quant à la position des indices, en haut ou en bas).
Par exemple pour démontrer un résultat utilisé en mécanique des fluides avec les coordonnées (tout mon questionnement part de là), à savoir dt(dx.dx')=2dx.D dx', (dérivée temporelle du produit scalaire de dx par dx') (je pense que c'est la transposée de dx même si ce n'était pas écrit dans le document) j'écrirais bien le i-ème terme de la somme (avec notation d'Einstein) :
(dx.D dx')i = dxiDijdx'j.
Cela me paraîtrait logique, d'autant plus que prendre la transposée de dx en mettant l'indice en bas, évoque le "bra" du formalisme de la mécanique quantique (et laisser l'indice en haut, le "ket"), que D est une matrice, dont le produit par dx' donne un autre vecteur, qui sera donc le "ket" pour faire le produit scalaire.
Ensuite j'ai écrit des vitesses en dérivées temporelles de positions, échangé des dérivées, ce qui a fait apparaître des symboles de Kroenecker - là aussi la question de haut ou bas se pose, je serais tenté d'écrire dxi/dxj = δij ... Mais bon je voulais savoir déjà si la première ligne est juste, si elle décrit bien les bonnes sommes quand on fait le produit de la matrice par le vecteur, puis le produit scalaire.
Pouvez-vous corriger si jamais?
Merci d'avance pour vos réponses.
-----
