Physique statistique: exprimer la fonction de parition comme une intégrale

[blisax]

Bonjour,

Je fais un cours de physique statistique, qui commence (qui il est de bon ton de le faire) par rappeler que:



Ensuite le cours propose une approximation de la distribution par une gaussienne (ce que j'accepte volontiers) et va proposer une ré-écriture de la fonction de partition (et c'est cela qui me pose problème). Le cours pose (sans plus de justification):



Ici Z est exprimé comme l'intégrale de la gausienne multiplié par l'exponentiel de l'état j. Je ne comprend pas comment passe-t-on de la première relation à la seconde. C'est peut être une expression usuelle de la fonction de partition mais je ne la connais pas, quelqu'un pourrait m'expliquer les étapes intermédiaires ?

Petite question additionnelle, dans le cours:

Et l'auteur donne comme solution de l'intégrale:

Une idée du chemin mathématique pour résoudre cette intégrale ?

Merci d'avance !
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[invite69d38f86]

que sont N a et F ?

[albanxiii]

Bonjour,

Il est classique de remplacer une somme discrète difficile à calculer par une intégrale, que l'on sait en général calculer. Cela implique une petite approximation.

Par exemple, si je prends , je peux remplacer la somme par une intégrale, sur l'énergie, par exemple. Mais on ne peut pas remplacer brutalement par , car à une énergie donnée il peut correspondre plusieurs états (états dégénérés). Il faut donc remplacer le par la fonction qui donne la densité des états en fonction de l'énergie, multipliée par ce . La densité des états en énergie indique combien il y a d'états différents dont les énergies sont comprises entre et . Si on appelle cette densité d'état en fonction de l'énergie on peur alors écrire

.

(ajout : maintenant qu'on a compris d'où cette intégrale sort, il faut se poser une question de physicien : dans quelles conditions a-t-on le droit de faire cette approximation sans que cela ne donne n'importe quoi ?)

Dans l'exemple sur vous avez, c'est exactement la même démarche, sauf que la variable d'intégration n'est pas l'énergie, mais la position. Il faut donc que vous trouviez la densité des états en fonction de la position, c'est à dire le nombre de particules qui se trouvent dans le volume élémentaire autour de la position . Je vous laisse remuer tout ça et essayer de retomber sur l'expression de votre prof.

Petite question additionnelle, dans le cours:

Et l'auteur donne comme solution de l'intégrale:

On ne résout pas une intégrale, on la calcule (et on résout une équation).
L'idée c'est de remplacer l’énergie par quelque chose qui dépend del a position pour pouvoir calculer explicitement l'intégrale. Il manque quelques étapes de calcul....
Sans savoir en savoir plus sur votre problème, en particulier ce que représente (plus tout le reste... système étudié, dans quelles conditions, etc.) pas possible d'en dire plus.
En tout état de cause, c'est une bête intégrale d'une exponentielle en 3D que tout le monde sait calculer quand on en arrive à parler de fonctions de partition.

[invite69d38f86]

il faut voir que dans le passage en continu, dans le calcul de la probabilité la gaussienne (en approximation) est au numérateur et
Z l'intégrale de la gaussienne est au dénominateur.
les résultat des intégrales de gaussiennes a une variable on les trouve aisément. ici on a un systeme a trois dimensions
si l'on fait une approximation gaussienne c'est que le numérateur est une exponentielle -rAr ou A est une matrice 3 sur 3 et r le vecteur position;
on trouvera ici les détails pour une telle intégrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Petite question additionnelle, dans le cours:

ca ne ressemble pas a une gaussienne.
tu es sur(e) de la notation?

[blisax]

Merci beaucoup pour vos réponses !

"que sont N a et F ?"
J'ai voulu aller un peu vite, et ne pas embrouiller la situation en détaillant le contexte physique. Mais il s'agit d'un cours de physique des polymères. Le polymère est décrit selon un modèle freely-jointed chain 3D (FJC-3D). Dans ce modèle FJC, le polymère est considéré comme étant fait de N segments de longueur a, ces segments sont en mouvement libre les uns par rapport aux autres mais sont parfaitement rigide et inétirable (segment de Kuhn). Chaque segment se déplace librement dans l'espace et donc nous avons une marche aléatoire en 3D. Le vecteur R repère la position de l'extrémité du dernier segment (l'origine étant le début du premier segment). Dans notre approximation gaussienne P(R) = Gausienne
Ensuite dans le cours on propose d'appliquer une force F (dont la nature ne sera pas précisée) à l'extrémité du dernier segment qui tire le polymère dans une direction donnée (c'est donc basiquement une force d'étirement). Je passe quelques détails de calculs mais on arrive à dire que la fonction de partition d'un seul segment Z1 est donnée par l'intégrale de surface d'une sphère de rayon a:



Theta étant l'angle entre la force F et le segment considéré. J'accepte volontiers cette expression.

L'explication d'Albanxiii me convint assez bien. La fonction de partition pour tout le polymère impose de réécrire un peu cette exponentielle (ce qui est justifié dans le cours) mais aussi de prendre en compte le point suivant: y a t'il pour un même R plusieurs états correspondants, et c'est ça que donne la gaussienne (justifiant ce terme dans l'intégrale sur R), c'est bien ça ?
"La densité des états en énergie indique combien il y a d'états différents" on est bien d'accord que ce "combien" est une densité de probabilité (j'ai toujours un peu de mal en phy stat avec le terme densité car je ne suis parfois pas sur de savoir sil fait référence à la densité des statisticiens (densité de propa) ou si c'est une densité dans le sens d'une mesure par unité de temps/masse/espace/etc).

"On ne résout pas une intégrale, on la calcule (et on résout une équation)" merci je me posais la question en l'écrivant

Merci Alovesupreme pour le pdf sur l'intégration gaussienne, je ne suis pas très à l'aise avec ce type d'intégration !

[invite69d38f86]

dans le cours:


!

est ce une prise de notes ou un cours polycopié?
pour avoir une approximation gaussienne il faut que ca ressemble un peu a un truc en cloche
qu'est qui permet de dire ca avec ce exp (f r)?

C'est un exemple comme ca d'un cours ou tu étudies les polymeres?

[invite69d38f86]

je n'avais pas lu que c'était dans le cadre d'un cours sur les polymeres.
tu as peut etre acces a un petit livre de philippe martin qui s'appelle
une initiation a l'intégrale fonctionnelle en physique quantique et statistique
le cas des polymeres considérés comme chemins browniens y est traité.
les intégrales gaussiennes y sont aussi traitées en détail dans un appendice

[invite69d38f86]

je n'ai pas été assez rapide pour éditer le message précédent.
j c'est bien le j eme monomere.
je viens de penser que ca ressemblerait effectivement a une courbe en cloche si f était une force de rappel proportionelle a r
dans ce cas on aurait f = - k r et on aurait une exponentielle de - k r^2
le k r est en fait un vecteur et c'est une exponentielle de - a x^2 - b y^2 - c z^2
je t ai donné un lien pour le calcul des intégrales gaussiennes en dimension 3
ici la matrice A qui y est utilisée est la matrice avec a b et c sur la diagonale

[albanxiii]

ca ne ressemble pas a une gaussienne.
tu es sur(e) de la notation?

Vous n'avez pas lu ce que j'ai posté. La gaussienne elle intervient dans .

[albanxiii]

Re,

D'accord, je comprends mieux, merci pour les explications sur le contexte.

L'explication d'Albanxiii me convint assez bien.

En fait, elle n'est pas de moi. Le cours d'Alain Laverne comporte un passage qui explique ça aussi, dans le cadre de la théorie (quantique) des champs. Si je le retrouve, je le poste.
La fonction de densité d'état intervient car dans la somme discrète on considère tous les états. Et certains peuvent être dégénérés : ils ont la même énergie, mais ces états sont différents. Si on passe à une intégrale brutalement, on perd cette information sur la dégénérescence.

La fonction de partition pour tout le polymère impose de réécrire un peu cette exponentielle (ce qui est justifié dans le cours) mais aussi de prendre en compte le point suivant: y a t'il pour un même R plusieurs états correspondants, et c'est ça que donne la gaussienne (justifiant ce terme dans l'intégrale sur R), c'est bien ça ?

Oui, la gaussienne / distribution de Boltzmann donne la proportion d'états se trouvant dans une conformation (qui correspond à une énergie) donnée.

"La densité des états en énergie indique combien il y a d'états différents" on est bien d'accord que ce "combien" est une densité de probabilité (j'ai toujours un peu de mal en phy stat avec le terme densité car je ne suis parfois pas sur de savoir sil fait référence à la densité des statisticiens (densité de propa) ou si c'est une densité dans le sens d'une mesure par unité de temps/masse/espace/etc).

Là, on va vite dépasser mes compétences je le prends comme une densité de probabilité, puisqu'il s'agit de distribution statistique.
Vous avez certainement du entendre parler de statistique de Boltzmann ? C'est exactement ce dont il s'agit dans votre problème de polymères. La forme est juste différente de celle qu'on rencontre habituellement dans le cas de la distribution des vitesses d'un gaz parfait ou encore dans le cas du paramagnétisme de Langevin (vous pouvez googler ces termes, vous trouverez surement des exemples plus ou moins détaillés, si jamais ça peut vous aider à avoir une vision plus large de ces histoires de fonctions de partition et de probabilités d'états différents).

Je pense que alovesupreme s'est un peu perdu et qu'il répond plus pour montrer qu'il connait des choses que pour répondre à votre question... travers malheureux, mais courant sur les forums.

[invite69d38f86]

bonjour Albanxiii ce que tu écris est parfaitement argumenté et utile.
saur en un point.
quand je me posais la question de la ressemblance avec une gaussienne tu me reproche dans le post 10 de n'avoir pas lu ce dont
tu parles dans le post 11.

Oui, la gaussienne / distribution de Boltzmann donne la proportion d'états se trouvant dans une conformation (qui correspond à une énergie) donnée.

tu ne parlais pas avant de gaussienne dans G(E)

c'est trop injuste

[invite69d38f86]

dans le lien que j'ai donné sur l'intégration des gaussiennes a plusieurs variables
regarde la 3 eme forme page 2 (celle avec un terme linéaire bx en plus du terme quadratique)
F semble etre le terme correspondant a b
dans le terme serait le terme dont parle
albanxiii dans g(E)

petit hic la formule indique un terme multiplicatif devant l'exponentielle dans le résultat final
terme que je ne vois pas dans le résultat de ton prof