Force de Lorentz qui change en fonction du référentiel.

[invite4db7dba1]

Bonjour.

Je me pose la question suivante :

Une charge en mouvement dans un champ magnétique dont la source est immobile subit une force F= qv x B

Si maintenant je me place dans le référentiel de la charge, je peux calculer cette force avec F = q dA/dt. C'est la force de Neumann je crois.

Mais si le champ émit par la source est uniforme, même si je déplace la source (en gardant la même distance à la charge, et la même direction pour le champ) , la charge ne voit aucun changement du champ magnétique. Donc je trouverai que la force est nulle.

C'est contradictoire. Pouvez vous m'aider à trouver là où ça coince ?
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[mach3]

En changeant de référentiel, les champ électriques et magnétiques changent. Si dans un référentiel donné, une charge en mouvement subit un champ magnétique, alors dans le référentiel où la charge est immobile, elle subit à la fois un champ magnétique, différent du précédent (il peut être nul dans certains cas particuliers) et sans effet sur la charge parce que sa vitesse est alors nulle, et un champ électrique.
De manière similaire, dans un référentiel où elle est immobile, une charge ne produit qu'un champ électrique, alors que dans un référentiel où elle est en mouvement, cette même charge produit un champ magnétique en plus du champ électrique.

Champ électrique et champ magnétique sont en fait des facettes d'un seul objet, le champ électromagnétique. La décomposition en champ électrique et champ magnétique dépend du référentiel, et pas d'une manière simple.

m@ch3

[jacknicklaus]

Pour détailler un peu :
La transformation qui pilote les conséquences d'un changement de repère sur le champ électromagnétique est la transformation de Lorentz. Dans la situation que tu décris, elle conduit à une transformation différente des composantes de ce champ, selon qu'elle sont perpendiculaires ou colinéaires à la vitesse V. J'appelle Bp Ep les composantes perpendiculaires, Bc Ec les colinéaires. le nouveau repère est noté avec des "prime"

On a alors, dans le formalisme de la relativité restreinte :





avec


Ici E = 0 et seul Bp existe. On a alors simplement



Dans le référentiel primé, une composante E'p apparaît, précisement celle qui va donner lieu à une force F' dans ce référentiel :

on retrouve la même valeur que la force F dans le référenciel non primé

(remarque : à des vitesses non relativistes, gamma = 1)

[jacknicklaus]

il fallait lire bien sûr ce qui ne change rien au reste.
En deux mots, dans la configuration citée, la force est tantôt du côté du B (référentiel initial) tantôt du côté du E (référentiel mobile avec la charge). Comme déjà dit par mach3 :

"Champ électrique et champ magnétique sont en fait des facettes d'un seul objet, le champ électromagnétique"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nicophil]

Bonjour,
Je me demande si la question n'est pas en rapport avec :

https://en.wikipedia.org/wiki/Aharon...t#Significance

Similarly, the Aharonov–Bohm effect illustrates that the Lagrangian approach to dynamics, based on energies, is not just a computational aid to the Newtonian approach, based on forces. Thus the Aharonov–Bohm effect validates the view that forces are an incomplete way to formulate physics, and potential energies must be used instead. In fact Richard Feynman complained^{[citation needed]} that he had been taught electromagnetism from the perspective of electromagnetic fields, and he wished later in life he had been taught to think in terms of the electromagnetic potential instead, as this would be more fundamental.

The Aharonov–Bohm effect shows that the local E and B fields do not contain full information about the electromagnetic field, and the electromagnetic four-potential, (Φ, A), must be used instead.
By Stokes' theorem, the magnitude of the Aharonov–Bohm effect can be calculated using the electromagnetic fields alone, or using the four-potential alone.

But when using just the electromagnetic fields, the effect depends on the field values in a region from which the test particle is excluded. In contrast, when using just the electromagnetic four-potential, the effect only depends on the potential in the region where the test particle is allowed. Therefore, one must either abandon the principle of locality, which most physicists are reluctant to do, or accept that the electromagnetic four-potential offers a more complete description of electromagnetism than the electric and magnetic fields can.

Ainsi, l'effet Aharonov-Bohm valide l'opinion selon laquelle les forces sont un moyen incomplet de formuler la physique et que les énergies potentielles doivent être utilisées à la place. En fait, Richard Feynman se plaignait d’avoir appris l’électromagnétisme du point de vue des champs électromagnétiques, et il regrettait de ne pas l'avoir appris du point de vue du potentiel électromagnétique, ce qui serait plus fondamental.

L'effet Aharonov-Bohm montre que les champs E et B locaux ne contiennent pas l'information complète sur le champ électromagnétique, et que les quadri-potentiels électromagnétiques (Φ, A) doivent être utilisés à la place.
Selon le théorème de Stokes, la magnitude de l'effet Aharonov-Bohm peut être calculée en utilisant uniquement les champs électromagnétiques ou en utilisant le seul quadri-potentiel.

Mais en utilisant uniquement les champs électromagnétiques, l'effet dépend des valeurs de champ dans une région à partir de laquelle la particule de test est exclue. En revanche, en utilisant uniquement les quadri-potentiels électromagnétiques, l'effet ne dépend que du potentiel dans la région où la particule d'essai est autorisée. Il faut donc soit abandonner le principe de la localité, ce que la plupart des physiciens sont réticents à faire, soit accepter que le potentiel électromagnétique offre une description plus complète de l’électromagnétisme que les champs électriques et magnétiques.

[invite4db7dba1]

Merci beaucoup à tous pour la rapidité de vos réponses!

Merci aussi d’avoir appliqué la transformée de Lorentz à mon cas précis. Cette opération me rebutait mais de la voir appliquée comme ça à un cas concret avec les composantes perpendiculaires et colinéaire, je la comprend nickel.

J'ai bien progressé dans la compréhension de ces phénomènes grâce à votre aide.

En fait les cours de prépa que je lis en ce moment sur l’induction n’abordent que des boucles de conducteurs, jamais de charges seules. Je pense que la circulation du champ E’ (la composante v x B, pas la composante E) est nulle. Et que c’est pour ça qu’ils n’en parlent pas.

Pour le poste de Nicophil, c’est au dessus de mon niveau.

[invite4db7dba1]

Il reste un cas que je ne comprend toujours pas.

Dans un repère fixe, un conducteur linéaire rectiligne est parcouru par un courant. Il génère autour de lui un champ magnétique.
Une charge se déplace le long du fil. Elle subit donc les effets du champ magnétique.

Maintenant si je me place dans le repère de la charge, et que la vitesse de cette dernière est égale à celle des électrons dans le fil, le fil ne génère plus de champs magnétique car il n'y a plus de vitesse relative entre la charge et les électrons dans le fil. J'essaie d'appliquer la transformée mais je n'arrive pas à trouver la solution.

[invite741b54dd]

Bonsoir,

Si votre fil ne génère qu'un champ magnétique et pas de champ électrique, c'est que la densité de charge est nulle. Il comporte donc, en plus des électrons qui véhiculent le courant, des protons supposés au repos. Quand vous changez de référentiel, ces protons bougent.

[invite4db7dba1]

Ah oui bien vu.
Prenons alors à la place une file d'électrons qui se déplacent dans le vide et pas dans un conducteur.

[invite741b54dd]

Dans ce cas-là, dans le référentiel où vos électrons bougent, ils créent un E et un B, et dans celui où ils ne bougent pas, ils ne créent qu'un E', les deux champs électriques étant distincts car la densité linéique n'est pas la même dans les deux référentiels : il y a une sorte de contraction de Lorentz des longueurs quand ils bougent. Ces champs (E, B) et (E', B'=0) sont reliés par les transformations dont on vous a parlé plus tôt.

Remarque : ces relations sont nettement plus simples si vous les écrivez en terme tensoriel. Pour parler un langage de taupin : le champ électromagnétique est décrit par une matrice 4x4 antisymétrique (3 composantes pour E, 3 pour B), et les relations qui vous ont été citées ne sont rien d'autre que celles que vous obtenez en considérant que le changement de référentiel est mathématiquement un changement de base. Ainsi, pour y arriver, il suffit d'appliquer la loi qui dicte comment sont modifiées les composantes d'une matrice lors d'un changement de base : la célèbre relation qui implique la matrice de passage d'un côté et sa transposée de l'autre.

[invite4db7dba1]

Ça m'a fait réfléchir plus loin.

Les équations de Maxwell impliquent un champ magnétique dès qu'il y a des charges en mouvement.

Mais avec la transformée de Fourrier, à des vitesse faibles devant c, un objet (dans notre cas un électron) qui n'a pas de champ magnétique dans un référentiel où il est à l'arrêt, n'en n'aura pas non plus dans un référentiel où il est en mouvement.

[invite4db7dba1]

Transformation de Lorentz pas de Fourrier...

[invite741b54dd]

Bonjour

Je ne suis pas certain de comprendre votre question. Il faut bien distinguer le cas où on s'intéresse au champ EM créé par une charge (ou une distribution de charges, ce qui inclut des courants), et celui dans lequel on considère le champ auquel est soumise une charge test, immobile ou en mouvement. Là, j'ai l'impression que vous parlez un peu des deux situations à la fois.

Néanmoins, la limite newtonienne est en effet problématique car les équations de Maxwell ne sont pas invariantes sous les transformations de Galilée.

En ignorant tout de la relativité restreinte, on peut quand même déterminer comment doivent varier E et B quand on change de référentiel galiléen : on impose le fait qu'une force garde la même valeur dans tous les référentiels inertiels, on utilise la loi de composition des vitesses, et on en déduit que B doit être invariant alors que E est modifié selon les formules obtenues en prenant les limites à faible vitesse des lois relativistes. Dans ce raisonnement, on se fiche totalement de la source du champ EM.

[Nicophil]

à des vitesse faibles devant c, un objet (dans notre cas un électron) qui n'a pas de champ magnétique dans un référentiel où il est à l'arrêt, n'en n'aura pas non plus dans un référentiel où il est en mouvement.

Bien sûr que si !
Ce champ magnétique sera peut-être négligeable par contre...

[invite4db7dba1]

J'ai calculé le champs B généré par le courant avec le th d'Ampère, donc indirectement les équations de Maxwell;
puis avec la transformée de Lorentz (en partant du repère où les charges sont immobiles vers celui où il y a un courant) et effectivement les résultats pour le champs sont les mêmes.

Le facteur v/c² dans la formule pour trouver B' m'a fait croire que le résultat serai bien trop petit par rapport à celui trouvé avec le théorème d'Ampère. Mais je ne réalisait pas comment B et petit par rapport à E.

Franchement quand je suis venu poster mes interrogations ici, je ne m'attendais pas à autant de réactivité et à une telle qualité dans les réponses. Il m'aurait fallu longtemps pour trouver seul les informations que vous m'avez apportées.

Merci à tous !!!

[invite4db7dba1]

Oyé Oyé ! Me revoilà !

En fait je n'ai pas de réponse à mon problème avec la file d'électrons. Je vais essayer de l'expliquer plus clairement.

Dans un premier repère, j'ai une file d'électrons immobiles et alignés suivant l'axe des x.
J'ai aussi un électron solitaire, il possède une vitesse suivant y. Il servira de charge test.

Les électrons appartiennent tous au plan (x y).

La charge test subit une force, suivant y uniquement, due au champ électrostatique.

Maintenant je me place dans un deuxième repère en mouvement par rapport au premier suivant x.

Dans ce repère, la file d'électrons, de par sa vitesse suivant x, génère un courant et donc un champ magnétique autour d'elle.

Ma charge test, du fait de la composant de sa vitesse suivant y (sa vitesse suivant y est la même dans les deux repères ) va subire une force suivant x due au champ magnétique. En plus de celle suivant y, due au champ électrostatique, qui reste elle inchangée.

Je me retrouve donc avec une force suivant x que je n'avais pas dans mon premier repère.

[coussin]

Oui, un mouvement "vertical" (vitesse purement suivant y) dans un ref fixe apparaît oblique (vitesse suivant x et y) dans un repère qui bouge. Ça me semble normal, non ?

[invite4db7dba1]

Oui ça c'est normal. Ce qui m'embête c'est pas vitesse, c'est la force suivant x qui apparaît dans le deuxième repère, alors qu'elle n'existait pas dans le premier.

[invite741b54dd]

Bonjour

C'est normal aussi : en relativité restreinte, si le mouvement ne se fait pas avec une vitesse de norme constante, force et accélération ne sont pas colinéaires. On peut même considérer qu'une partie de la force est colinéaire à a et l'autre à v (tout ceci étant bien moins étrange si on l'exprime en termes de 4-vecteurs). L'autre point important est qu'une force n'est pas un invariant sous les transformations de Lorentz, même si ça en est un sous celles de Galilée.

[invite4db7dba1]

J'aurai préféré que mon exemple soit faux. Parce-que là je comprend pas la logique. Je pense que faut que j'aille voir des cours sur les 4-vecteurs et sur les tenseurs électromagnétiques.