Une explication du principe d'Heisenberg

[Deedee81]

Salut,

Le dual du moment cinétique est particulier du point de vu dimension physique : un angle.
C'est peut-être ce qui gène Paradigm?
En tout cas, c'est ce qui me perturbe un peu; cette grandeur physique bizarre qu'est l'angle...

Attention, classiquement il y a un angle. Et pour le spin on le mesure selon une direction donnée (donc forcément il y a des angles). Mais il n'y a pas d'équivalent classique du spin. C'est une grandeur strictement quantique (et quantifiée) et qui n'a absolument rien à voir avec un angle (*). Et voilà pourquoi l'approche ondulatoire ne permet pas (ici) de comprendre pourquoi il y a indétermination à la Heisenberg.

De plus, la non commutativité à l'origine de l'indétermination est liée à la conjugaison et non à la dualité. Ne pas confondre. Les variables conjuguées le sont au sens de la mécanique analytique (même si pour le spin ce n'est pas aussi "trivial" à cause justement de l'absence d'équivalent classique. Pas de crochet de Poisson à remplacer ici, sauf peut-être pour le spin 1 bien que je ne l'aie pas étudié sous cet angle (sans jeu de mot ), mais par passage rapidement au cas général à travers les groupes)

Il ne faut pas se fixer sur l'angle, ce n'est pas ça qui est concerné par la problématique soulevée ici.

Voilà pourquoi l'explication plus générale, indépendante de toute interprétation et plus technique, est importante. L'article est vraiment à lire sur ce point.

(*) Petite précision en rapport avec l'explication de Amanuensis. Dans le cas vectoriel, il y a un lien avec les rotations classiques et leur non commutativité. Mais le spin est une notion plus générale qui n'a pas toujours ce lien (par exemple le spin 1/2). Il y a par contre un lien à travers les représentations du groupe des rotations (la signification physique en reste non évidente, mais bon, c'est pas le sujet, pas directement en tout cas)
Et petite précision en rapport avec le dernier message de Paradigm, le moment cinétique vertical correspond toujours au spin 1.
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[Deedee81]

l'"inégalité d'Heisenberg" (en fait on ne sais plus trop comment l'appeler).

Ce nom est bien. J'aime beaucoup "relation d'indétermination" (v.s. incertitude) car il traduit réellement une indétermination (qu'on peut constater par la mesure mais cette dernière n'est est pas la cause), c'est-à-dire que pour un état donné, cet état ne peut pas être état propre (une valeur propre bien définie) de chacun des deux observables.

[stefjm]

C'est de la géométrie bien avant être une grandeur physique. Et la trigonométrie sphérique (qui est de la géométrie sur la sphère), entièrement à base d'angles, est étudiée depuis au moins 2500 ans. Si l'idée d'angle est vue comme «bizarre» ça doit être récent...

C'est mon coté bizarre.

[Au passage la non-commutativité des rotations est, de même, connue depuis des siècles ; cela ne vient pas de la physique quantique, contrairement à d'autres non-commutativités. Je sais bien qu'on ne prête qu'aux riches, mais quand même.]

C'est devenu un principe de base de la PQ : le commutateur AB-BA.

J'ai rien compris?

[Deedee81]

C'est devenu un principe de base de la PQ : le commutateur AB-BA.
J'ai rien compris?

Ce que veux dire Amanuensis c'est que, oui, on a bien cette non commutativité en MQ et qu'elle est à la base de beaucoup de chose. Mais en ce qui concerne les rotations (et donc les moments angulaires, spins), à l'origine ça vient de la non commutativité des rotations classiques (et qui se retrouve donc itou en MQ quand on remplace par des opérateurs, le changement est même presque trivial si on travaille avec les matrices) (le presque car c'est immédiat dans le cas orbital, et presque immédiat dans le cas des particules vectoriels). Et celle-là est connue de longue date.
C'est un classique dans les cours de MQ, on étudie les opérateurs rotations classiques et on voit que c'est commutatif en 2D et non commutatif en 3D et ça reste après quantification.

Notons d'ailleurs qu'on a ça aussi pour les grandeurs comme x, p, mais là c'est les crochets de Poisson qui sont non nuls. Ca ne se présente pas de manière aussi "évidente".

[0577]

Bonjour,

dans tous les cas, pour les systèmes quantiques obtenus par "quantification" d'un système classique, la non-commutativité des observables quantiques est reliée (du moins à l'ordre linéaire en la constante de Planck) à la non-annulation du crochet de Poisson entre les observables classiques correspondantes. Cela s'applique à toutes les observables: position, impulsion, composantes du moment angulaire...

Il se trouve que pour les observables qui sont les quantités conservées associées à un groupe continu de symétries, le crochet de Poisson est donné par le crochet de l'algèbre de Lie du groupe et donc la non-commutativité des observables dans ce cas est reliée à la non-commutativité du groupe de symétries. C'est ce qui se produit pour les composantes du moment angulaire et le groupe des rotations.

Il ne faut pas confondre rotations (qui sont des symétries et non des observables) et les composantes du moment angulaire (qui sont des observables).

[Amanuensis]

Il ne faut pas confondre rotations (qui sont des symétries et non des observables)

La position angulaire est une observable, non? Et peut être représentée par des coordonnées, par exemple par des rotations par rapport à une ligne (pôles) et par rapport à une origine, non? Du coup, ces rotations peuvent vues comme des observables, comparables aux translations définissant la position, non? (Ces translations sont d'ailleurs des symétries aussi...)

[0577]

La position angulaire est une observable, non? Et peut être représentée par des coordonnées, par exemple par des rotations par rapport à une ligne (pôles) et par rapport à une origine, non?

J'imagine que le sujet est le système classique donné par un solide rigide libre avec un point fixe, dont l'espace des phases est le fibré cotangent du groupe des rotations.

Si on fixe une position angulaire de référence, alors la position angulaire peut être identifiée à une rotation et une coordonnée sur le groupe des rotations définit alors une observable. Ces coordonnées, vues comme observables classiques, en tant que fonctions sur le groupe des rotations, commutent (comme toutes obervables classiques) mais aussi Poisson-commutent. En particulier, ces coordonnées, vues comme observables quantiques, commutent. Ces faits sont indépendants de la structure de groupe des rotations, et en particulier de la commutativité ou non du groupe des rotations.

En revanche, les composantes du moment angulaire, qui sont aussi des observables classiques et donc des fonctions sur le fibré cotangent de l'espace des rotations, ne Poisson-commutent pas. Ce fait est une traduction directe du fait que le groupe des rotations est non-commutatif, agit par symétries sur le système, et que les composantes du moment angulaire sont les quantités conservées associées.

Du coup, ces rotations peuvent vues comme des observables, comparables aux translations définissant la position, non? (Ces translations sont d'ailleurs des symétries aussi...)

Il me semble que le "du coup" est un raccourci rapide qui peut prêter à confusion. Je suis d'accord sur l'analogie rotations/translations. Une translation est une symétrie et non une observable (représentée par un opérateur unitaire et non hermitien en quantique). Comme pour les rotations, si on fixe une position de référence, alors on peut identifier l'espace des positions à l'espace des translations et une coordonnée sur cet espace est une observable, ...

La seule différence entre le cas des translations et le cas des rotations est que le groupe des translations a une structure linéaire et a donc un choix de coordonnées privilégié (à transformations linéaires près), ce qui n'est pas le cas du groupe des rotations.

Le fibré cotangent du groupe des tanslations est naturellement le produit d'un espace vectoriel par son dual: la base et la fibre jouent des rôles symétriques, ce qui est exprimé au niveau quantique par la transformée de Fourier: l'ensemble des représentations unitaires d'un groupe abélien est encore un groupe abélien. Cette symétrie disparaît pour les groupes non-abéliens tels que le groupe des rotations: l'espace de Hilbert est encore l'espace des fonctions L^2 sur le groupe, on a encore une version non-abélienne de la transformée de Fourier au sens où l'espace de Hilbert se décompose suivant les représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations ("spin entier"), mais ce sens est seulement partiel: l'ensemble des représentations unitaires irréductibles n'a pas de structure naturelle de groupe et il n'y a pas de "transformée de Fourier réciproque".

[Amanuensis]

l'espace de Hilbert est encore l'espace des fonctions L^2 sur le groupe, on a encore une version non-abélienne de la transformée de Fourier au sens où l'espace de Hilbert se décompose suivant les représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations ("spin entier"), mais ce sens est seulement partiel: l'ensemble des représentations unitaires irréductibles n'a pas de structure naturelle de groupe et il n'y a pas de "transformée de Fourier réciproque".

Cette décomposition est celle en «harmoniques sphériques», et elle apparaît pour la description des orbitales atomiques?

[0577]

Cette décomposition est celle en «harmoniques sphériques», et elle apparaît pour la description des orbitales atomiques?

Dans ma réponse (motivée par le cas du spin), je considère le système classique d'un corps rigide, pour lequel l'espace des configurations est le groupe des rotations SO(3) (et l'espace des phases est le fibré cotangent). Dans ce cas, l'espace de Hilbert est L^2(SO(3)), qui en tant que représentation de SO(3) pour l'action de SO(3) sur lui-même par multiplication (disons à droite), se décompose en une somme indexée par j entier positif ou nul de (2j+1) copies de la représentation de spin j.

Pour le cas du système classique donné par une particule dans un potentiel central à symétrie sphérique, ce qui apparaît dans la description des orbitales atomiques, l'espace des configurations est, après factorisation de la direction radiale, la sphère S^2. L'espace de Hilbert est L^2(S^2), qui en tant que représentations de SO(3) pour l'action de SO(3) sur S^2, se décompose en une somme indexée par j entier positif ou nul d'une copie de la représentation de spin j. Cette décomposition est la décomposition en harmoniques sphériques (et en effet, les harmoniques sphériques sont des fonctions sur S^2).

Ces deux cas sont donc différents mais similaires. En fait, ils sont reliés: le stabilisateur d'un point dans SO(3) agissant sur S^2 est SO(2) et on a donc une identification S^2=SO(3)/SO(2). Les éléments de L^2(S^2) sont les éléments de L^2(SO(3)) invariants sous SO(2): la décomposition pour L^2(S^2) est donc une sous-décomposition de la décomposition pour L^2(SO(3)).