Pression exercée sur un dôme

[juju8595]

Bonjour à tous!
Alors voila, je me posais une question : Y a t-il une formule ou des données correspondant à la valeur de la pression exercée sur un dôme/une demi sphère ?
Je vous situe le contexte : nous avons pensé le projet totalement utopique de construire une cité sous l'eau, et pour cela nous avons pensé à un dôme transparent (en verre, lexan etc...) Mais j'ai besoin de trouver une formule qui nous permettrait de calculer nous-même sur toutes formes de structures (carré, triangulaire, sphérique...) la pression exercée (je ne sais pas si je m'exprime très bien)
Si vous avez la moindre source ou la moindre information ce serait très aimable à vous de nous la partager, et cela nous aiderait beaucoup également
merci!
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[ilovir]

Bonjour

Ce sera pas trop compliqué si c'est une demi-sphère.

[antek]

Mais j'ai besoin de trouver une formule qui nous permettrait de calculer nous-même sur toutes formes de structures (carré, triangulaire, sphérique...) la pression exercée (je ne sais pas si je m'exprime très bien)

Elle sera directement liée à la profondeur d'immersion : "environ 1 bar tous les dix mètres"

[phys4]

Bonsoir,
Pour un dôme hémisphérique de 1m de rayon immergé à 1m de profondeur, la pression sur le dôme rempli d'air à 1 bar, soit la pression atmosphérique extérieure, la pression de l'eau serait de 314 000 N.
L'équivalent d'un poids de 32 tonnes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

@ phys 4,

Bonjour,

En-es-tu bien sûr ?

Même si toute l'aire du dôme semi hémisphérique, soit S = 2.Pi*R² = 6,3 m² était à 2 m de profondeur.

La pression hydrostatique à 2 m de profondeur est P = 1000 * 9,81 * 2 = 19620 Pa

On aurait, F = P * S = 123606 N (12600 kgf , soit 12,6 Tonnes force) ... en tenant compte évidemment qu'il y a une pression de 1 bar d'air à l'intérieur

Et comme toute la coupole n'est pas à 2 m de profondeur (seulement le bas si le sommet est à 1 m de profondeur), la force due à la différence pression extérieur - intérieur sur la coupole est bien plus petite.

Il me semble qu'on devrait trouver environ F = 10,7 Tonnes Force.

Toutes erreurs incluses.

Me trompe-je ?

[Dynamix]

Salut

la pression de l'eau serait de 314 000 N.

Une pression en newton

[Dynamix]

S = 2.Pi*R² = 6,3 m²

Les nouvelles mathématiques ?

[phys4]

Même si toute l'aire du dôme semi hémisphérique, soit S = 2.Pi*R² = 6,3 m² était à 2 m de profondeur.

Sur un hémisphère, les forces ont des directions différentes, par exemple celles du bord s'annulent entre elles, la composante totale est celle qui correspond à la surface plane de la base, donc il faut prendre la formule du cercle.
C'est valable pour n'importe quel angle d'ouverture du dôme, il faut considérer seulement le cercle formant le bord.

[Dynamix]

la composante totale est celle qui correspond à la surface plane de la base, donc il faut prendre la formule du cercle.

La formule du disque , je suppose .
Et ce ne serait vrai que si la pression était uniforme .
Mais ce n' est pas le cas : elle varie en fonction de la profondeur .
Mais même dans le cas d' une pression uniforme , la force ne serait pas de 32t
La force , c' est le poids de la colonne d' eau .

C'est valable pour n'importe quel angle d'ouverture du dôme, il faut considérer seulement le cercle formant le bord.

"angle d' ouverture" ???

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Ben oui, la surface de la demi sphère est S = 2PiR² avec R = 1 m comme indiqué donne S = 2*Pi*1² = 6,3 m² (arrondi), je ne vois pas en quoi ce serait les nouvelles mathématiques.
A ne pas confondre avec l'aire de la "base" circulaire qui elle vaut évidemment Pi*R².

Je persiste et signe, la force totale due à la pression avec le sommet de l'hémisphère à 1 m de profondeur n'est pas de 32 tonnes force (qui est bien une unité de force hors SI ... à condition bien entendu d'utiliser la "tonne force" et pas la tonne)

Il y a plusieurs manières de mener les calculs de la force totale sur le dôme, mais on ne peut pas trouver 32 tonnes force.

La pression varie avec la profondeur évidemment et je suis arrivé en en tenant compte à une force totale de 10,7 tonnes force (ou si on veut à 105 kN) sur le dôme hémisphérique de rayon 1 m avec le sommet à 1 m de profondeur dans l'eau et l'intérieur mis à pression atmosphérique. Calculs non vérifiés et donc peut être à corriger.

Cette force à 2 "composantes", une verticale vers le bas et l'autre est une force "d'écrasement"

La composante verticale vaut : Pi*R² * rho*g*h = Pi * 1² * 1000 * 9,81 * 2 = 61,6 kN

Mais il y a aussi la force "d'écrasement", si on considère la résultante de ces forces d'écrasement, on trouve 0 évidemment par symétrie, mais cette approche est inadmissible, même si la résultante sur l'ensemble du dôme est nulle, ces forces pourraient néanmoins écraser le dôme et donc pas question de les ignorer.

F2 = 2*Pi*R * 1 * 1000 * 9,81 * (2+1)/2 = 92,5 kN

Je ne sais pas trop si on peut les combiner ? Je l'ai fait (à tort ?) pour trouver F = 10,7 tonnes forces (environ) dans mon message précédent.

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Il y a des erreurs dans mon message précédent.

Il n'empêche que 32 tonne-force est impossible et que d'une manière ou d'une autre, on doit tenir compte de la force d'écrasement (qui a un effet bien réel sur la structure) et pas uniquement de la composante verticale de la force.

[Dynamix]

Cette force à 2 "composantes", une verticale vers le bas et l'autre est une force "d'écrasement"

La résultante des forces de pression est une force verticale .
Il n' y a pas de "force d' écrasement" , c' est du charabia .

[XK150]

Bonjour ,

La relation est donnée et démontrée ici de 2 façons dans le corrigé :

https://books.google.fr/books?id=q_o...%C3%A9&f=false

[Dynamix]

Soyons clairs .

Mais j'ai besoin de trouver une formule qui nous permettrait de calculer nous-même sur toutes formes de structures (carré, triangulaire, sphérique...) la pression exercée (je ne sais pas si je m'exprime très bien)

Il n' y a pas de formule "ready to fly" et les calculs sont du niveau ingénieur , comme tu peux le voir dans le lien de XK150
Mais je suppose que tu es lycéen ...

[Black Jack 2]

Bonjour,


Supposons une structure cubique remplie d'air à 1 bar fermée, posée sur un fond horizontal et immergée dont le sommet affleure l'eau.

Pas de force verticale due à l'eau et résultante des forces horizontales de pression due à l'eau sur le cube nulle.

Celui qui pense que cette structure ne risque pas d'être écrasée devrait revoir son charabia .

[Black Jack 2]

Complément à ma réponse précédente.

Piqué sur le net pour le sous-marin (immobile en profondeur) :

Pourrait paraître hors sujet ... mais ce n'est pas le cas.

"Ainsi, à l'immersion de 100 mètres s'exerce une pression de 10 bars. Toute augmentation de 10 mètres de profondeur s'accompagne d'une augmentation de pression de 1 bar.
Appliqué au sous-marin, ce principe permet de comprendre que les forces croissantes qui s'exercent sur la coque, tendent à l'écraser. La "coque épaisse" abrite le personnel et le matériel. Elle est construite en acier très résistant.
Son épaisseur est calculée en fonction de l'immersion maximum prévue par le programme militaire du bâtiment."
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La force d'écrasement (bien que son appellation soit discutable) peut détruire le sous-marin, bien que la résultante des forces sur le sous-marin est nulle (puisque le sous-marin est immobile).

Mais évidemment si la force d'écrasement n'est que du charabia, alors pas de danger, le sous-marin ne risque rien.

[Dynamix]

Mais évidemment si la force d'écrasement n'est que du charabia, alors pas de danger, le sous-marin ne risque rien.

Le sort du sous-marin ne dépend pas (heureusement) de la terminologie .
Mais ceux qui ont calculé sa structure n' ont pas fait appel à une soit disant "force d' écrasement".
Je n' ais jamais vu ce terme en RDM

[harmoniciste]

Bonjour juju8595
En supposant que la pression interne est égale à la pression atmosphérique, la poussée verticale du dôme sur ses assises sera tout simplement le poids de la masse de l'eau qui le surplombe.

[Jaunin]

Bonjour,
C'est juste pour information.
Cordialement.
Jaunin__


https://forums.futura-sciences.com/physique/399959-epaisseur-dune-sphere.html
http://espace2christophe.chez.com/formules_chaudronnier.pdf

https://www.letemps.ch/sciences/bathyscaphe-dauguste-piccard-un-personnage-roman

https://www.rolex.com/fr/world-of-rolex/exploration-underwater/trieste.html

[Black Jack 2]

Bonjour,

Qu'on l'appelle comme on veut est sans importance.

Oser prétendre que la seule force à prendre en considération sur une structure fermée immergée est la composante verticale est pour le moins discutable.

On voit bien qu'on peut trouver une multitude d'exemples (comme le sous-marin ou le cube immergé affleurant ou ...) où la force résultante verticale (due à l'eau) sur la structure immergée est nulle et que le risque d'écrasement est bel et bien présent.

C'est pareil d'ailleurs si il y a une résultante verticale non nulle (par exemple un cube complètement immergé), on ne peut pas faire fi des autres forces qui tentent à écraser la structure si on veut savoir si la structure convient ou non.

Et bien entendu quel que soit le nom qu'on donne à ces "forces d'écrasement".

La composante verticale de la force est facile à calculer ... mais c'est très loin d'être suffisant pour savoir si la structure va ou non tenir le coup.

[harmoniciste]

Bonjour juju8595
En supposant que la pression interne est égale à la pression atmosphérique, la poussée verticale du dôme sur ses assises sera tout simplement le poids de la masse de l'eau qui le surplombe.

Et pour reprendre les données de phys4 dans son message#4, le volume d'eau qui surplombe le dôme hémisphérique de 1m de rayon posé à 2 m de profondeur est de 6.28 m3 (cylindre depuis la surface jusqu'au fond - 2.09 m3 (volume du dôme) = 4.2 m3
Le poids de l'au à supporter vaut alors 4200 daN, qui est aussi la force verticale du dôme.

[Dynamix]

Oser prétendre que la seule force à prendre en considération sur une structure fermée immergée est la composante verticale est pour le moins discutable.

La vraie question est de savoir ce qui est utile à la détermination du tenseur des contraintes .
La "forces d'écrasement" n' apparaît pas dans ces calculs .

[harmoniciste]

La contrainte de compression dans le matériau est simplement maximum à l'endroit de l'appui au fond, et elle vaut 4200 daN/ Pi. D. e (e étant l'épaisseur de la paroi et D le diamètre du dôme) soit 0.67 daN / mm2 pour une épaisseur de 1 mm

Pour 100 m de profondeur, on trouverait 628000 daN et 50 daN /mm2 pour la demi-sphère de 2 mm d'épaisseur et elle sera écrasée, sauf acier spécial .

[Black Jack 2]

Bonjour,

Et pour un cube fermé de par exemple 100 m d'arêtes, immergé fixé au fond et avec la face supérieure affleurant l'eau ? (pression de 1 bar à l'intérieur du cube)

Pour ce cube, chaque paroi latérale subit une force résultante "d'écrasement" d'environ 40.10^6 N avec le centre de poussée à 33 m au dessus du fond.

Mais pas de risque, d'après certains, puisque le poids de la colonne d'eau sur le cube est nul.

Ca fait froid dans le dos.

[Dynamix]

Et pour un cube fermé de par exemple 100 m d'arêtes, immergé fixé au fond et avec la face supérieure affleurant l'eau ? (pression de 1 bar à l'intérieur du cube)

Aucun rapport avec le sujet qui concerne une coupole hémisphérique , qui n' a donc pas de parois verticales .

Pour ce cube, chaque paroi latérale subit une force "d'écrasement"

Tu y tiens vraiment à ton "d'écrasement" !
Tu peux l' enlever de la phrase , ça ne change rien :
"chaque paroi latérale subit une force"

[Black Jack 2]

Rererebonjour,

C'est risible.

"Aucun rapport avec le sujet qui concerne une coupole hémisphérique , qui n' a donc pas de parois verticales"

Et alors, c'est vrai aussi pour les parois obliques et la coupole n'est pas composée que "d'éléments" de parois horizontales.

Il y a donc des efforts dont la résultante verticale correspond au poids de l'eau au dessus de la structure et bien que la résultante des composantes horizontales de ces efforts soit nulle, l'ensemble de ces forces tentent à écraser la structure.


"Tu y tiens vraiment à ton "d'écrasement" !

On se fout de comment on l'appelle, l'exemple du cube est clair, on voit bien que les forces sur les parois latérales sont dans le sens d'écraser le cube et sont donc dangereuses ... et qu'elles ne peuvent pas être déduites du poids de la colonne d'eau sur la structure.

Ces effets existent aussi sur le dôme, sauf que c'est plus difficile de les "sentir" si on n'est déjà pas capable de comprendre l'exemple simpliste du cube.

Et ce n'est pas du tout hors sujet puisque l'énoncé précise "nous avons pensé le projet totalement utopique de construire une cité sous l'eau, ..."

Et donc les forces sur les parois qui pourraient bien écraser le bazar ne peuvent pas être ignorées ... même mais pas seulement si la composante verticale de la résultante des forces de pression est nulle. (les forces de pression sont normales à la paroi et donc pas verticales)

En annexe, pour terminer :

Je propose à ceux qui ne veulent pas comprendre de mettre leur crâne entre les mâchoires d'un étau ... et de faire serrer l'étau.
D'après eux, ils ne risquent rien puisque les forces qu'exercent les 2 mâchoires de l'étau sur le crâne sont de même amplitude, ont la même direction et sont de sens opposés ... et donc leur résultante est nulle.

Et tant pis si il y en a qui ne voient pas le rapport avec le sujet, il est pourtant plus qu'évident.

[ilovir]

Si on simplifie le problème, c'est-à-dire :

Dôme hémisphérique de rayon R
Profondeur h grande devant le rayon du dôme
Poids propre du dôme négligé
Faible épaisseur e de paroi devant le rayon, (mais suffisante pour éviter les instabilités élastiques)
Effet nul de la pression atmosphérique car identique à la surface de l’eau et à l’intérieur du dôme.

On a :

La pression p à l’extérieur du dôme est constante partout
La force résultante sur la circonférence est : p x pi x R², et elle s’exerce sur une section de paroi de 2 x Pi x R x e
D’où la contrainte de compression dans la paroi : sigma = p x Pi x R² / (2 x Pi x R x e) = pR/2e. Et cela partout dans la paroi.

Exemple R = 100 cm - h = 20 m (p = 1 kg/cm²) - e = 1 cm,
Sigma = 2 x 100/2 = 100 kg/cm²

Si on ne simplifie pas, c'est-à-dire si on fait intervenir la différence de pression selon la hauteur, et aussi le poids propre du dôme, ça devient plus compliqué à mettre en équation. Notamment, il apparaît des forces de flexion dans la paroi.

Et si le dôme n’est pas hémisphérique, et si on prend en compte (éventuellement) une instabilité élastique de paroi (paroi mince qui flambe sous la force dans son plan), ça peut devenir délirant.

[phys4]

La pression p à l’extérieur du dôme est constante partout
La force résultante sur la circonférence est : p x pi x R², et elle s’exerce sur une section de paroi de 2 x Pi x R x e
D’où la contrainte de compression dans la paroi : sigma = p x Pi x R² / (2 x Pi x R x e) = pR/2e. Et cela partout dans la paroi.

Exemple R = 100 cm - h = 20 m (p = 1 kg/cm²) - e = 1 cm,
Sigma = 2 x 100/2 = 100 kg/cm²

C'est proche des hypothèses que j'avais prises avec h = 10m. Seulement pour montrer l'importance des forces.
Votre calcul est correct. l'énormité de la pression extérieure rend le projet assez utopique.

[Jaunin]

Bonjour,
On en parle :

https://immobilier.lefigaro.fr/article/une-ville-sous-marine-va-naitre-au-japon_21e51edc-7886-11e4-9cec-e54e65eed4e2/
https://hitek.fr/actualite/projet-ville-sous-marine-japon_4350

Cordilement.
Jaunin__

[ilovir]

On peut toujours rêver, mais au-delà de l'utopie, quel serait l'intérêt ?