Construction d'un etat sur la c* algebre des ccr

[invite69d38f86]

bonjour

les relations canoniques de commutions [a_i,a_i] = [a*_i, a*_i] = 0 et [a_i,a*_i] = Id font que l'on a une C* algebre unitaire sur les opérateurs de créations et d'annihilation en physique quantique
pour effectuer la construction GNS il faut privilégier un "état" sur cet algebre cad avoir une forme f sur cet espace vectoriel.
on doit avoir f(Id) = 1
j'aimerais voir comment on peut construire de tels états a partir de séquences infinies de nombres entiers.
Par exemple il semble que (0 0 0 0 0 0 .....) mene a la représentation de Fock des ccr en associant 0 a tout element a_i
mais par exemple quel nombre associé a un élément général de cette algebre par cette séquence.
j'ai lu que si par un procédé semblable on partait de (1 1 1 1 1 1 .....) on creerait une autre représentation non équivalente a la premiere

merci pour vos idées la dessus.
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[invite69d38f86]

j'aimerais savoir également si pour la constsructiion gns de la représentation de fock l'idéal (l'ensemble des éléments "a" de la c* algebre tq f(a* a) = 0) se réduit au vecteur nul
https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfan...S_construction.

[syborgg]

Tu n'a pas de chance... dommage car la question est interessante, mais ce n'est pas mon domaine d'expertise. Je vais essayer de comprendre de quoi il s'agit, si j'ai un element de reponse je te fait savoir..

[invite69d38f86]

pour la deuxieme question, la réponse semble etre que non.
en effet f(a* a) est alors la moyenne < 0 a* a 0> hors tout a annihile le vide donc les a sont dans cet idéal et donc tous les elements
A a avec A un element qq de l'algebre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Bogoliubov a écrit ceci dans son livre "General Principles of Qunatum Field Theory" (je le traduis)

Considérons l'ensemble de toutes les fonctions complexes R définies sur qui sont nulles sauf en un nombre fini de points de .

Nous allons munir cet ensemble d'une structure de C* algebre involutive avec identité. La structure d'espace vectoriel est immédiate. on introduit le produit de deux de ses éléments R1 et R2 par la formule

l'involution est définie par .
De plus la C* algebre ainsi construite est a unité. l'unité est la fonction partout nulle sauf sur le vecteur nul de ou elle est égale a 1.

On va choisir une fonction caractéristique E, (une forme sur
). Ceci va permettre d'obtenir c'est une fonctionnelle positive sur (Il faut bien voir que R(F) et E(F) sont des nombres complexes.
La construction GNS donne une représentation (unique a une équivalence pres) de l'ensemble de ces R dans un espace de Hilbert muni d'un vecteur cyclique tel que pour tout R

Posone ou est la fonctionnelle partout nulle sauf au point F ou elle vaut 1.

On vérifie que l'on a avec W(F) une représentation des CCR sur


on s'attend a trouver des éléments R et R* tels que [R,R] = [R',R'] = 0 et [R,R*] = 1
comment les faire apparaitre?

[invite69d38f86]

On peut toujours écrire soit meme RR* - R*R puisque la regle de multiplication de deux éléments est connue
il faudrait obternir une constante.
dans la formule donnant on somme sur tous les F',
il serait peut etre utile pour rendre les expressions plus symétriques écrire

ici a droite du signe = le * c'est celui de l'algebre étoilée pas celui de la conjugaison des nombres complexes
A suivre si je progresse dans mon coin.

[albanxiii]

Bonjour,

Déplacé en physique à la demande de l'auteur.

albanxiii, pour la modération.

[invite69d38f86]

Eureka, je viens de comprendre.


les relations de commutations canoniques sont définies par des distributions a valeur opérateur sur des fonctions de test complexes vérifiant l'égalité de Weyl.


C'est sous cette forme qu'on les voit apparaitre dans la construction de Bogoliubov.

considérons les 2 éléments et

Le premier facteur apres le signe somme, est nul avec G different de F1 sinon ce terme vaut 1. ca donne
cette fonction nulle pour tout F saut si F - F1 = F2 soit donc en F1 + F2 ou elle vaut
par construction le deuxieme terme est égal a fois l opérateur associé a la fonction partout nulle saur en F1 + F2
On retrouve bien l'expression cherchée.