Retrouver l'équation d'onde de l'état stationnaire de l'atome grace à l'algèbre de Clifford.
Bonjour,
en définissant l'énergie cinétique totale comme une algèbre de Clifford Cl2 sur R ou une sous-algèbre de Clifford sur C, on peut écrire:
E = moc² + j * pc ou p est l'impulsion classique.
On peut donc en déduire que l'énergie cinétique est de la forme:
Ec = j * pc et l'on peut définir le Lagrangien de la façon suivante:
L = j * ( Ec - Ep) et définir une intégrale d'action telle que:
somme intégrale de [ j(Ec - Ep) dt ] = j * h ou le temps est réel et
h est la constante de Planck réelle.
Soit maintenant l'équation de l'énergie mécanique totale de la forme:
p²/2m + Ep = Et
Si nous admettons, avec L. de Broglie que l'impulsion microscopique est p, et conformément à la valeur de l'action élémentaire de Planck trouvée ci-dessus, on doit avoir:
p = jh / l ou l est la longueur d'onde associée à la particule d'impulsion p
Si maintenant on applique à l'atome avec le postulat
l = 2pi * r ou est r est pour l'instant le rayon de l'atome, il vient:
p = jh / 2pi * r
Si, à présent l'on remplace dans l'équation de l'énergie mécanique totale l'impulsion p par sa valeur, on doit obtenir:
-(h/2pi)²/2mr² + Ep = Et
Ce qu'on peut écrire encore:
(-(h/2pi)² / 2 m ) * ( 1/r²) + Ep = Et
Cette équation est bien entendu, non-relativiste.
Nous allons pouvoir à présent discuter de la valeur possible du facteur 1/r² en terme ondulatoire et définir la quantité ondulatoire de meme dimension que ce facteur, soit:
1/r² = Lap(Y) / Y ou Lap est l'opérateur Laplacien
qui est bien de meme dimension et de nature ondulatoire ou
Y(x,y,z) est une fonction d'onde de l'état de l'atome.
On aura donc en remplaçant le facteur 1/r² par sa valeur ondulatoire, l'équation suivante:
-(h/2pi)²/2m * Lap(Y)/Y + Ep = Et,
soit encore en multipliant par Y, nous obtenons l'équation attendue:
-(h/2pi)²/2m * Lap(Y) + Ep * Y = Et * Y
Cett équation est bien celle de l'état sationnaire de l'atome trouvée par E.Schrodinger en 1925-26 à Dublin.
Au revoir...
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