Système Hamiltonien

[basphi]

Bonjour,
J'aurais voulu savoir ce que l'on veut dire lorsque l'on parle de système Hamiltonien. En faite ma question est plutôt comment peut t-il existé des systèmes non Hamiltonien?
De plus est ce que simplement à partir du Hamiltonien d'un système nous pouvons faire des conclusions sur la stabilité même du système?
Par exemple pour des systèmes autonomes cela implique t'il forcément une conservation de l'énergie puisque le Hamiltonien ne dépends pas explicitement du temps?
Tout cela reste assez flou pour moi
Merci d'avance pour votre aide et clarifier tout ca
bph
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[ThM55]

Un système hamiltonien est un système mécanique dont les équations peuvent s'exprimer comme les équations d'Hamilton: il y a deux ensembles de variables canoniques q_i et p_i, une fonction de Hamilton H(p_i,q_i), qui peut dépendre explicitement du temps contrairement à ce que vous affirmez, et ces variables obéissent aux équations de Hamilton (je ne vais pas les recopier ici, voir Wikipédia).

Si on a un système lagrangien (avec un jeu de coordonnées généralisée q_i et un lagrangien L(q_i,q_i')) on peut construire un système Hamiltonien par le procédé bien connu de la transformation de Legendre. Voir Wikipédia pour ça aussi. Mais cela n'est possible que si la transformation de Legendre existe. Pour cela il faut qu'il soit possible d'inverser la relation définissant les moments conjugués p_i pour exprimer les vitesses q_i' en fonction des q_i et des p_i. Dans certains cas l'inversion de cette relation n'est pas possible, par exemple dans le cas linéaire si la matrice est singulière. Et alors on n'a plus un système hamiltonien (il est toutefois possible dans de nombreux cas de continuer avec le formalisme hamiltonien en introduisant des contraintes qui lient les variables. Je ne connais malheureusement pas de moyen d'expliquer cela en quelques lignes).

Dans un système hamiltonien autonome, l'énergie est conservée. Donc un système mécanique avec un frottement qui dégrade l'énergie mécanique n'est pas susceptible d'être décrit par les équations d'Hamilton.

A l'inverse il est possible de créer des système hamiltoniens qui ne se déduisent pas d'un système lagrangien avec une transformation de Legendre. Par exemple en relativité restreinte une particule de masse au repos nulle a un hamiltonien, il est facile à trouver: H=c ||p|| où p est la quantité de mouvement (vecteur). Les équations d'Hamilton sont vérifiées immédiatement: x' = c p/||p|| (d'où ||x'||=c, toute particule de masse nulle se déplace à la vitesse de la lumière). Et p'=0. Mais il n'y a pas de lagrangien. Si on essaie une transformation de Legendre par L=pv-H , cela ne marche pas, il est impossible d'inverser pour exprimer L en fonction de x et v (en fait il existe un moyen d'écrire quand même un lagrangien mais là encore il faut recourir à un artifice, une variable supplémentaire qui se trouvera contrainte par une équation, mais cela dépasse le niveau auquel je veux maintenir cette explication).

[basphi]

Tout d'abord merci pour cette réponse bien détaillée.
Cela va me permettre de rentrer un peu plus dans les détails de mon vrai problème.
Si l'on considère le Hamiltonien dans un référentiel en rotation donc non inertielle on obtient:
H(p,q)=H(p,r) (dans ce cas) = 1/(2m)*(p - m W x r ) ^2 - m/2 (W x r)^2

W: Vecteur rotation

Nous avons un système Hamiltonien autonome (on considère W indépendant du temps) donc l'énergie est censé être conservée. Cette conclusion est-elle valable dans le référentiel tournant malgré le faite que le Hamiltonien ici ne représente pas "réellement" l'énergie mécanique.

De plus on voit apparaitre un terme de couplage de Coriolis dans ce Hamiltonien. Mais par construction la force de Coriolis est perpendiculaire à la vitesse donc ne travaille pas. Le Hamiltonien représentant l' énergie du système je ne comprends donc pas pourquoi Coriolis intervient dans ce Hamiltonien.

Merci d'avance pour votre aide
bsph

[ThM55]

Vous demandez d'abord si l'énergie est conservée. Oui, c'est le cas ici car les équations d'Hamilton dérivent du principe de moindre action, et ce principe reste valable dans tout référentiel, même non inertiel. Leur simple forme garantit la conservation de H.

En effet on a toujours pour toute grandeur f(p,q), df/dt = {H,f} où {,} est le crochet de Poisson, donc dH/dt = 0 (pour un système non autonome on aurait dH/dt = \partial_t H: la derivée totale ne dépend que de la dérivée des paramètres variables).

Souvent les étudiants se demandent à quoi servent ces formalismes lagrangien et hamiltonien. Ils sont justement utiles pour cette raison, cela permet souvent de choisir librement des coordonnées mieux adaptées au problème en gardant le même formalisme (avec les équations de Newton, il faut se rappeler la forme exacte de tous ces termes non inertiels ce qui devient très vite difficile surtout si on veut en plus passer à des coordonnées curvilignes: polaires, elliptiques etc). Une raison est aussi leur utilité en mécanique quantique, mais c'est un autre sujet.

Quand on passe au référentiel en rotation la vitesse devient

Si on substitue cela dans le lagrangien, on en tire tout de suite le moment congugué (je supprime le prime sur v) .

Et en faisant on retrouve bien votre expression pour le hamiltonien. Mais le premier terme n'est rien d'autre que exprimé en fonction de . Le deuxième terme est un terme d'énergie potentielle, il s'agit bien évidemment de l'énergie potentielle centrifuge. On est dans un référentiel non galiléen en rotation, localement on ressent par rapport à ce référentiel l'équivalent d'une force de gravité. Mais globalement, ce H est la même énergie que celle qui est évaluée dans le référentiel galiléen sans rotation. On a simplement fait un changement de variables.

[A voir en vidéo sur Futura]

[basphi]

Encore une fois merci pour cette réponse complète.
Donc finalement en résumé il y a conservation du Hamiltonien au cours du temps donc de l'énergie, et finalement seule la force centrifuge intervient dans l'expression du Hamiltonien (ce qui est logique au vu de la construction même de la force de Coriolis).
Ceci étant clarifié on arrive au problème final.

Je considère un système représenté par le Hamiltonien déjà évoqué. Je souhaite intégré (numériquement) pour obtenir la trajectoire dans le référentiel tournant. Au vu du système très simple (juste les forces centrifuges et de Coriolis) la trajectoire attendue est simplement un cercle.
Pour faire cette intégration on utilise un intégrateur simplectique qui conserve l'énergie (ou tout du moins qui borne l'énergie). Le problème est que j'obtiens des trajectoires en spirales ce qui montre une augmentation de l'énergie du système, ce qui est absolument contraire à ce que l'on dit depuis le début. Ce que j 'ai pu lire c'est que des forces dépendant de la vitesse (comme Coriolis) pouvait créer pas mal de problèmes au niveau de la conservation du Hamiltonien.

J'espère que vous pourrez encore m'aider
Merci
bsph

[invite54165721]

problème informatique exclu?

[basphi]

C'est un peu ca le problème en faite. Théoriquement un intégrateur simplectique conserve l'énergie. Donc informatiquement rien explique cet éclatement...

[ThM55]

Cela dépend aussi des conditions initiales. La particule est elle de vitesse nulle dans le référentiel inertiel sans rotation? Si elle a une vitesse initiale, la trajectoire sera en effet une spirale, non?

[ThM55]

Je suis parti du lagrangien libre . J'ai fait le changement de référentiel , ensuite j'en ai tiré et fait la TL pour trouver le hamiltonien. Voici mon résultat:



On a aussi , forme qui permet d'écrire la seconde équation de Hamilton.

Les équations de Hamilton sont:




De la forme des équations de Hamilton on a immédiatement que . C'est toujours vrai, même dans le référentiel en rotation, et je n'ai même pas besoin d'utiliser les équations d'Hamilton. Vous pouvez le faire, vous trouverez bien 0.

L'équation en est simple. En effet le produit vectoriel est orthogonal à . En intégrant on doit donc trouver que ce vecteur tourne autour de en engendrant un cône (une autre manière de le voir est de faire l'intégrale, qui donne l'exponentielle d'une matrice antisymétrique, c'est une matrice orthogonale, une simple rotation). Par contre la première équation a un terme en p et il n'y a pas de raison pour que le vecteur effectue un mouvement périodique de cette nature. Il doit décrire une spirale en général.

[ThM55]

Vous obtiendrez peut-être un meilleur résultat numérique en écrivant le hamiltonien sous une forme plus symétrique en r et p. Par exemple on peut écrire



(sans garantie).

[basphi]

Dans le référentiel fixe la particule est fixe et ne bouge pas. Dans mon référentiel tournant j'applique une condition initiale égale à -W x r.
Donc c'est bien une trajectoire circulaire qui est attendue sauf erreur de ma part.


La première équation de Hamilton a(vec une vitesse nulle dans le référentiel fixe) s'écrit donc simplement:


dr/dt=-wxr ce qui est de la même forme que la deuxième équation et donc ainsi un mouvement circulaire.

Est ce que je fais une erreur en écrivant cela ?

[ThM55]

Non vous avez raison: si p est nul à l'instant initial, il reste nul et la première équation montre que la trajectoire dans l'espace est circulaire. Il était inutile de passer par le formalisme hamiltonien pour obtenir un résultat aussi évident, mais ce n'est pas ce formalisme qui est en cause. Je ne vois pas comment vous aider davantage, désolé.