Equation des géodésique

[jolymalo]

Bonjour!
J'ai un problème avec l'équation des géodésiques en relativité générale. On arrive a une équation faisant appel au équation d'euler lagrange à l'équation entouré en rouge. On choisit de paramétrer suivant le temps propre et donc on dit que la quadrivitesse (adimensionné) est de norme -1 ce qui implique que L=c et donc la nullité de k(L) ce qui amène naturellement à l'équation du bas. J'ai mis une photo du bouquin pour être plus claire:
Ma question est, si on a L=c pourquoi ne pas en prendre compte avant dans les équations d'Euler-Lagrange ou l'on dérive L par rapport aux positions. J'ai l'impression que l'on se sert de la constance de L juste quand cela nous arrange.
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[ThM55]

Bonjour. La réponse est que le temps propre est une partie de l'inconnue. Je vais essayer de préciser.

Il est important dans ce principe variationnel de prendre un paramètre arbitraire. En effet on fait varier la courbe (dans la classe des courbes de genre temps) de telle façon que les variations soient nulles pour deux valeurs fixées du paramètre et . L'intégrale que l'on fait varier, la longueur de la courbe, est invariante sous les reparamétrisations bijectives et différentiables . Si on avait pris à la place d'un paramètre arbitraire, le temps propre , on aurait fixé ce temps propre pour la courbe donnée entre les deux points, alors que c'est une partie de la solution: on ne sait pas à l'avance quelles seront les valeurs adéquates du temps propre aux extrémités de la courbe. Ce n'est pas correct, on a à coup sûr une contradiction, à moins de connaître la solution à l'avance. C'est pourquoi on a ce terme au second membre avec .

Ensuite seulement on peut calculer le temps propre pour une solution de l'équation et L devient constant. Dans ce cas, on ne peut plus faire une reparamétrisation arbitraire, l'équation sans le terme du premier degré n'est plus invariante que pour les reparamétrisations affines ().

C'est à cause de cette (petite) difficulté qu'on présente parfois l'équation des géodésiques sous une autre forme, non variationnelle pour commencer: en la paramétrisant par le temps propre, on la définit comme étant celle qui transporte son vecteur vitesse parallèlement (en supposant la définition préalable de la dérivée covariante et du transport parallèle). On obtient ainsi d'emblée la forme 132 de l'équation. Ensuite, on peut montrer que toute solution de l'équation est un point critique de la fonctionnelle l longueur de la courbe. C'est ainsi qu'Yvonne Choquet-Bruhat le présente dans son traité de RG, par exemple.

[ThM55]

J'ajouterais que la définition en terme de transport parallèle de la vitesse est celle qui est le plus dans l'esprit de la relativité générale du point de vue physique: elle exprime directement le principe d'équivalence. Mais c'est peut-être d'abord une question de goût personnel. Un mathématicien pourrait préférer la définition variationnelle.

[jolymalo]

Merci beaucoup pour cette réponse! Ca me parait maintenant beaucoup plus clair et naturelle

[A voir en vidéo sur Futura]