Démo équation géodésique et métrique

[ellana69]

Bonsoir,

Ma question porte sur le cours n°2 de relativité générale de M. Richard Taillet qui se trouve très facilement en ligne où il dérive l'équation des géodésiques pour un système seulement soumis à un champ gravitationnel. Vers la 45ème minute, il écrit que la dérivé partielle de la coordonnée x bêta par rapport à la coordonnée x mu est égale au symbole de Kronecker. Seulement, j'ai l'impression que c'est faux si le tenseur métrique dans le référentiel associé à ce système de coordonnées n'est pas diagonal or dans la vidéo on n'impose rien de tel.
Pour moi la dérivée partielle en question est égale à g bêta indice en haut, mu indice en bas; avec g dénotant la métrique, et donc ma question est: est-ce que cette grandeur est toujours égale au symbole de Kronecker (sur les indices bêta, mu) peu importe la métrique?

J'espère que quelqu'un pourra m'aider.

Je m'excuse du manque de lisibilité, je ne sais pas comment écrire des indices.

Merci d'avance!
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[lucas.gautheron]

Bonsoir,
Je pense qu'il y a une confusion, les coordonnées sont indépendantes (elles recouvrent tout l'espace-temps, chacune peut prendre n'importe quelle valeur dans son ensemble de définition indépendamment des autres), donc la dérivée de l'une par rapport à l'autre ne peut qu'être nulle. Le tenseur métrique interviendra lorsque le lien sera fait entre coordonnées contravariantes/covariantes. Par exemple, sera non trivial et dépendra des composantes de g puisque ;

A+

[maxwellien]

Bonjour, appriori x mû n'est pas une fonction mais une variable comment dériver alors?

[Noix010]

lucas.gautheron a presque entièrement raison, je rajouterai juste que les coordonnées ne sont pas forcément définies pour tout l'espace-temps, par exemple les coordonnées de Kruskal.

Le cadre dans lequel on définit les coordonnées sont les variétés (manifolds) et elles ne sont définies que sur certains ouverts, on dit "localement"

Et les composantes des coordonnées, i.e. les sont vraiment des fonctions, d'un ouvert de la variété vers un ouvert de et vérifient effectivement .

(a vrai dire, la difficulté est maintenant dans la définition/signification de , et des "vecteurs tangents")

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour, appriori x mû n'est pas une fonction mais une variable comment dériver alors?

C'est, si vous voulez, un abus de langage ou un raccourcis commode.
Comme pour les fonction réelles d'une variable réelles, , on a en définissant implicitement la fonction (et pour gagner en longueur d'écriture, on appelle encore cette fonction !).
Là, c'est pareil, on défini la fonction , etc.

@+

[ellana69]

Bonsoir,

Merci pour vos réponses, c'est compris.

Une autre question toujours en lien avec cette démo: dans l'expression finale de la géodésique on dérive par rapport à l'intervalle tau qui est défini au tout début de la preuve par (dtau)^2=(cdt)²-(dx)²-(dy)²-(dz)² où les coordonnées utilisées sont celles du référentiel inertiel (le référentiel en chute libre qui "annule" l'accélération gravitationnelle).

L'équation de la géodésique est fausse si on utilise l'intervalle dans le référentiel de "départ" (là où le champ gravitationnel est non nul)? Parce que l'intervalle est invariant par transformée de Lorentz mais on est d'accord qu'on ne peut pas passer entre les deux référentiels en question par une telle transformation puisqu'ils sont en accélération l'un par rapport à l'autre donc l'intervalle n'a pas de raison d'être invariant, si?

C'est peut-être pas très clair, j'espère quand même que quelqu'un pourra répondre.

Merci d'avance!

[Noix010]

hé hé, bonne question.

Je dirais qu'à chaque instant (paramétrisé par ) on fait une transformée de Lorentz
(ça y est j'ai besoin de révisions, je me suis embrouillé: transfo de Poincaré? si on doit inclure les translations?)
bon, disons quand même Lorentz mais avec une vitesse différente à chaque instant.

Mais on remarquera que dans les calculs, la transformation n'a pas été explicitée, et le raisonnement est valable pour des changements de coordonnées (locales) quelconques ( i.e. des difféomorphismes = différentiable bijectif, et d'inverse aussi différentiable).

On garde le ) du référentiel sans gravitation tout du long. (le temps dans le référentiel de la salle, c'est le et effectivement pas de temps "propre", j'y avais jamais pensé)

ps: pour ma réponse précédente, il vaudrait mieux écrire parce qu'effectivement pour le delta avec deux indices en bas, il faut une métrique.

[maxwellien]

Bonjour, avez vous un exemple concret qui montre la forme des coordonnées?
Ce qui me gène c'est le mélange des coordonnées.

[Noix010]

J'ai directement repris les notations de la vidéo de R. Taillet...

on peut sauter directement à la moitié, la première partie n'étant que des motivations heuristiques

[ellana69]

Bonsoir,

Désolée, j'ai été un peu longue à répondre, en tout cas merci pour vos réponses.

Justement, ma question est: est-ce que c'est vraiment une transformation de Lorentz? Il me semblait que la transformation de Lorentz c'était pour "relier" deux référentiels en translation uniformes l'un par rapport à l'autre (à une rotation près) or là les deux référentiels sont accélérés.

En fait, plus j'y réfléchis et plus je m'embrouille entre ce qui est vrai en relativité restreinte et ce qu'il l'est en relativité générale. L'intervalle (cdt)²-(dx)²-(dy)²-(dz)² est invariant dans tout référentiel, même non inertiel (ça me semblerait très bizarre)?

Une autre question qui me turlupine: quel est le lien entre dτ le temps propre du système et ds l'intervalle dans le référentiel soumis à la gravité, parce que ce n'est plus le coefficient de Lorentz n'est-ce pas? Pour la métrique de Schwarzschild, il me semble que c'est dτ=g_00 *ds avec g_00 la "composante temporelle" de la métrique (racine de 1 moins le rapport rayon de Schwarzschild et r) mais je n'arrive pas à le démontrer. Est-ce que cette relation est généralisable à une métrique quelconque?

Merci d'avance.

[Noix010]

En fait c'est plein de transfo de Lorentz, des boosts avec des vitesses différentes, une famille paramétrisée par le temps . Un référentiel n'a pas de réalité, n'est pas forcément attaché à un observateur, alors on peut prendre celui que l'on veut. à un instant on en choisit un à vitesse constante et l'instant d'après on en prend un autre, toujours s'éloigant à vitesse constante (pour être un ref. inertiel) par rapport au référentiel de l'object en chute libre (qui lui est inertiel, car par hypothèse aucune force (gravitationnelle) ne s'exerce)

(désolé, je suis à moitié en train de regarder un film...)

Je viens de lire que ce (cdt)²-(dx)²-(dy)²-(dz)² s'appelle 1ère forme fondamentale. Il est invariant pour des transformations de Lorentz (et de Poincaré) et il est deux fois covariant pour des difféomorphismes.

je complète ma réponse ce weekend

[Noix010]

(mauvaise connection... )

2-covariant signifie que pour un changement de coordonnée (y compris changement de référentiel)

où sont les composantes de la matrice jacobienne du changement de variable (=difféomorphisme)

le lien avec la forme fondamentale, c'est que est l'écriture en composantes (exactement comme pour une matrice)