En quoi la mesure quantique brise-t'elle l'unitarité ?

[viiksu]

Certes il y a projection de la fonction d'onde sur un vecteur d'état mais la résultante est toujours une fonction d'onde unitaire, non?
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[albanxiii]

Rappel de la charte du forum :

2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[albanxiii]

Et si vous commenciez par définir ce que vous entendez par "unitarité" dans ce contexte ?

[viiksu]

Et si vous commenciez par définir ce que vous entendez par "unitarité" dans ce contexte ?

Désolé il y alongtemps que je suis ce forum et j'ai l'air familier d'un habitué, par unitarité j'entends le fait qu'une fonction d'onde est toujours de carré sommable égal à 1 et qu'elle ne disparaît jamais quelque soit l'interaction ou l'évolution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

si la transition de a> unitaire vers un etat b> est obtenue par une projection orthogonale sur b> sa longueur est
multipliée par un cosinus et n'est plus unitaire.

[Deedee81]

Salut,

si la transition de a> unitaire vers un etat b> est obtenue par une projection orthogonale sur b> sa longueur est
multipliée par un cosinus et n'est plus unitaire.

C'est vrai, mais ce n'est pas là qu'est le problème car dans les projections on sous-entend toujours implicitement une normalisation à l'unité (on travaille avec les rayons de l'espace de Hilbert).

En quoi la mesure quantique brise-t'elle l'unitarité ?

Ce n'est pas la fonction d'onde qui est unitaire mais l'évolution.

Rappelons qu'en mécanique quantique la fonction d'onde est un vecteur d'un espace de Hilbert et que les grandeurs physiques comme tout autre transformation sont donnéés par des opérateurs agissant sur les vecteurs de cet espace. Une grandeur physique mesurable est un opérateur hermitien (ce qui garantit la réalité des valeurs propres vu le lien valeurs propres <-> valeurs mesurées). Hermitien : H* = H^t (transposée pour la forme matricielle)

Un opérateur unitaire est tel que U* = U^-1 (le conjugué égal l'inverse)
Notons qu'un opérateur hermitien n'est pas unitaire mais que exp(iH) (où H est hermitien) est un opérateur unitaire.

L'évolution d'un vecteur d'état est donné par l'équation de Schrödinger avec l'hamiltonien (hermitien).
i hbar dpsi/dt = H psi
Et on peut résoudre formellement cette équation comme :
psi(t1) = U psi(t2)
où U = exp(-i/hbar intégrale de t1 à t2 H(t))

L'opérateur d'évolution est donc unitaire <= c'est de ça dont on parle quand on parle du caractère unitaire de la MQ.
Et heureusement car cela conserve la norme de la fonction d'onde. Si on calcule celle-ci :
psi(t1) x psi*(t1) = (UU*) psi(t2) x psi*(t2) = (UU^-1) psi(t2) x psi*(t2) = psi(t2) x psi*(t2)
Et donc (en décomposant sur les vecteurs propres d'un opérateur hermitien d'une grandeur physique) cela garantit que la probabilité totale d'obtenir un des résultats (valeurs propres) reste de 100%.

Notons qu'on viole parfois cette condition dans certains modèles, par exemple dans la diffusion d'un électron par une cible, il peut se former des états liés. Dans ce cas l'électron n'est pas diffusé et si on modélise uniquement la diffusion et pas le détail des atomes et états liés, cela se traduit par une évolution non unitaire car l'électron peut "disparaitre". Evidemment on sait bien que ce n'est qu'une approximation.

Revenons à la question : pourquoi la mesure viole-t-elle l'unitarité ? En fait la mesure ne viole pas l'unitarité !!!! C'est la réduction (presque toujours) associée qui le fait. On peut décomposer un processus de mesure en deux étapes (schémas de von Neuman). Soit une particule dans état superposé de deux valeurs x t et : |x>+|y> et un appareil de mesure S qui mesure cette grandeur et peut avoir comme états S0 Sx et Sy (S0 = état initial). On a comme état initial et son évolution :
(|x>+|y>)|S0> ---> |x>|Sx> + |y>|Sy> ---> |x>|Sx> (on mesure x, par exemple)

La première flèche est l'évolution quantique, tout à fait normale et unitaire. C'est la mesure proprement dite : une interaction système - appareil où l'appareil se met dans un état "mesurant" l'état du système mesuré.
La deuxième flèche est la réduction. Plusieurs raisons laissent penser que cette réduction est non physique et inutile et on peut effectivement s'en passer. Sauf que c'est généralement se compliquer inutilement la vie. Dans la pratique on garde toujours la réduction (sauf cas extrême comme la cosmologie quantique, ça ne pose pas de problème).

Mais le fait est qu'il n'existe AUCUN opérateur unitaire permettant de passer de |x>+|y> à |x> (l'appareil peut être inclus, ça revient au même). Même en normalisant) (je devrais avoir un 1/racine(2) à gauche). On le vérifie très facilement sous forme matricielle car dans la base où |x> et |y> sont les vecteurs de base, U est diagonal et Uyy doit être nul et donc U est non inversible, il ne saurait pas être unitaire. Et c'est logique car les probabilités totales ne sont pas conservées (le cas où y aurait été mesuré a été passé à la trappe dans ce raisonnement).

Donc les physiciens sont pragmatiques : on n'emploie pas la réduction tant qu'on étudie le système microscopique, son évolution quantique, car elle violerait la mécanique quantique. Puis quand on note les résultats finaux sur papiers là on emploie la réduction car on s'en fout si ça viole la mécanique quantique

EDIT notons qu'en théorie quantique des champs, l'étude de l'unitarité, de la causalité et de l'analycité sont des outils puissants pour démontrer toute une série de résultats (notamment pour la comparaison des "voies" d'interaction dans les processus et pour l'étude des propriétés des relations de dispersion).

[coussin]

Je reprends ton exemple Deedee :
à t1, on a un état |x>+-y> et à t2, on veut l'état |x>. Dans une base {|x>,|y>}, on veut donc un opérateur U tel que (j'omets les normalisations...)
.
Il me semble évident que U est une rotation de 45 degrés dans ce cas particulier donc . Il me semble également que U est unitaire (c'est une rotation...).
Ca se généralise à un nombre arbitraire de dimensions il me semble. Il y aura toujours une "rotation" pour s'aligner dans une direction particulière...

[invite69d38f86]

la mq comporte 2 volets, l'évolution unitaire déterministe lorsqu'il n y pas mesure le mouvement est continu et preserve la norme;
le deuxieme volet nous dit qu'il faut de plus prendre en compte lors des mesures le caractere non déterministe par
des projections (opérateurs non unitaires sur les les vecteurs propres de l'observable mesuré.
tout est donc unitaire en mq quand on ne mesure rien (ou alors des choses parfaitement connues comme lorsqu'on repete une meme mesure)

[viiksu]

Merci encore une fois à Deedee de prendre son temps en longues explications. Mais dans la mesure ou la MQ fonctionne par postulats en fait des affirmations non démontrées et non démontrables comme par exemple le cinquième postulat d'Euclide, est-il gênant que l'un (unitarité) ne soit pas respecté par l'autre (mesure)?

[viiksu]

Une autre question me turlupine. Les fonctions d'onde ne s'annulant qu'à l'infini il est toujours possible de voir un atome de son corps se balader sur Sirius hors sérieusement cela me parait non seulement infiniment peu probable mais impossible.

[Deedee81]

. Il me semble également que U est unitaire (c'est une rotation...).

Ben non, ce n'est pas une rotation et elle n'est pas inversible (donc pas unitaire) et UxU* (ici U* = U évidemment) donne

et pas la matrice unité.

[viiksu]

Si j'ai bien compris l'alternative à la non réduction de la fonction d'onde est le fait que les alternatives possibles de la mesure soient toutes présentes dans une réalité (Everett) philosophiquement cela me pose un problème: déjà le nombre de combinaisons d'états de l'Univers qui devient faramineux. Si un type dans un labo mesure le spin d'un électron et le trouve disons "up" (peu importe) cela veut-il dire que je suis inclus dans l'Univers : "ce type a mesuré tel électron up" même si j'ignore tout de ce qu'il a fait? Et il y a t'il une place pour un temps, une évolution des choses car toute interaction est déjà en devenir ne sommes nous pas dans un univers bloc?

[viiksu]

la mq comporte 2 volets, l'évolution unitaire déterministe lorsqu'il n y pas mesure le mouvement est continu et preserve la norme;
le deuxieme volet nous dit qu'il faut de plus prendre en compte lors des mesures le caractere non déterministe par
des projections (opérateurs non unitaires sur les les vecteurs propres de l'observable mesuré.
tout est donc unitaire en mq quand on ne mesure rien (ou alors des choses parfaitement connues comme lorsqu'on repete une meme mesure)

Est-ce gênant que tout ne soit pas unitaire ? Pourquoi faut-il en arriver à des explications aussi sidérantes que les firewall, l'holographie cosmique et l'évaporation des trous noirs?

[Deedee81]

elle n'est pas inversible (donc pas unitaire)

Baaaah j'ai dit une bêtise : elle n'est pas unitaire, ça ok, mais elle est bien inversible. Du danger de calculer de tête.

Si j'ai bien compris l'alternative à la non réduction de la fonction d'onde est le fait que les alternatives possibles de la mesure soient toutes présentes dans une réalité (Everett) philosophiquement cela me pose un problème: déjà le nombre de combinaisons d'états de l'Univers qui devient faramineux. Si un type dans un labo mesure le spin d'un électron et le trouve disons "up" (peu importe) cela veut-il dire que je suis inclus dans l'Univers : "ce type a mesuré tel électron up" même si j'ignore tout de ce qu'il a fait? Et il y a t'il une place pour un temps, une évolution des choses car toute interaction est déjà en devenir ne sommes nous pas dans un univers bloc?

Attention, il y a deux interprétations de ce type : les univers multiples et les états relatifs.

Je n'aime pas les univers multiples car elle ne peut s'appliquer qu'à l'échelle macroscopique (à l'échelle microscopique l'évolution est toujours réversible, enfin, sauf exception comme le méson K ). On parle d'ailleurs parfois d'univers décohérés. Or même avec la décohérence il y a toujours ce qu'on appelle une queue de cohérence (la cohérence ne s'annule jamais totalement). Et donc cette interprétation est FAPP (pour tout usage pratique), c'est une approximation. Et ça je n'aime pas car pour moi une interprétation est juste "une façon de décrire la théorie" et ne doit pas introduire des éléments non physiques. Elle doit être absolument neutre et surtout pas FAPP, pas une approximation. Une interprétation c'est de l'ontologie et de la traduction du formalisme, pas une modélisation approchée.

L'interprétation des états relatifs par contre c'est juste ne pas faire la réduction épisétou. Et tu as raison, la réduction apparente vient du fait qu'on n'a pas accès à toute l'information, même sans univers multiples. Dans cette interprétation, au moins le caractère irréversible ne vient pas d'une mystérieuse réduction ou d'un étrange split d'univers mais juste de la thermodynamique (qui se retrouve dans la décohérence).

Est-ce gênant que tout ne soit pas unitaire ?

Tu as vu mon explication plus haut sur le coté probabiliste ? Si ce n'est pas unitaire, ça veut dire que si tu fais une expérience, alors la probabilité qu'il se passe quelques chose : rien, le résultat attendu, autre chose ou n'importe quoi, est inférieur à 100%. Tu ne trouves pas qu'il y a un soucis là

Pourquoi faut-il en arriver à des explications aussi sidérantes que les firewall, l'holographie cosmique et l'évaporation des trous noirs?

Ca c'est autre chose, c'est de la gravité quantique. C'est ça la raison.

Regarde la relativité générale. L'équation d'Einstein dit que G = T (dans des unités appropriées), donc que courbure = énergie (en gros, je laisse de coté le coté tensoriel et les composantes).

Mais en MQ l'énergie n'est pas un nombre mais un opérateur agissant sur un vecteur d'état. Et on ne peut pas égaler ça à un nombre (la courbure).

Donc, il faut bien modifier quelque chose => des tonnes de théories où les cas extrêmes comme les trous noirs interviennent souvent.

[coussin]

Ben non, ce n'est pas une rotation et elle n'est pas inversible (donc pas unitaire) et UxU* (ici U* = U évidemment) donne

et pas la matrice unité.

Non, je crois que ce que j'ai écrit est correct.



et

[Deedee81]

et

Ca c'est une matrice hermitienne, pas unitaire.

[coussin]

La condition d'unitarité fait intervenir la matrice adjointe, ou transconjuguée. C'est ce que j'indique par le dagger.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_unitaire

[invite69d38f86]

une correction a une erreur écrite par viiksu,
les fonction d'ondes ne s'annulent pas qu'a linfini (exemple les franges de young pour un etat put)

[coussin]

Ca c'est une matrice hermitienne, pas unitaire.

La condition d'hermiticité est . C'est différent...

[Deedee81]

Excuse moi je ne te suis plus. Tu dis que tu as indiqué la condition d'unitarité par le dagger tu dis

La condition d'hermiticité est . C'est différent...

De plus pour moi dans l'unitarité on prend le conjugué mais pas la transposée.

Et non didjou de non didjou, ils disent dans le lien wikipedia que la condition d'unitarité est la matrice adjointe noté U avec une dague en physique.... sauf que pour moi en physique ça c'est la condition d'hermiticité, pas d'unitarité. Et ça contredit.... une autre page wikipedia que j'avais été voir.

J'y perd mon latin.

Bon je vais vérifier à la source dans un de mes bouquins de MQ ce soir. Car j'y perd mon latin.

[Deedee81]

Ah non pardon, je viens de tilter. WOOOOH je suis pas réveillé moi.
Voilà que je confond U=U* et U^-1=U*

Pffffff.

Ok, après avoir mangé je reviens alors sur ton exemple ci-dessus après avoir remis de l'ordre dans mes boulons cérébraux.

[Deedee81]

Et tu as raison. Clairement je n'ai pas été tout à fait correct et la normalisation intervient de manière cruciale.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Unitar...3%A9_et_mesure

C'est le fait que le produit scalaire n'est pas conservé qui pose problème.

Ceci dit, ça ne change heureusement pas l'essentiel de ce qui a été dit.

Et merci d'avoir resserré mes boulons rouillés

[invite69d38f86]

c'est pas pour me vanter (quoique...) mais ca correspond bien a ce que j'écrivais. la projection ne conserve pas la norme.

[Deedee81]

c'est pas pour me vanter (quoique...) mais ca correspond bien a ce que j'écrivais. la projection ne conserve pas la norme.

C'est vrai, c'est lié. C'est en écrivant ma correction ci-dessus que j'y ait pensé. J'aurais dû te rendre justice

[viiksu]

c'est pas pour me vanter (quoique...) mais ca correspond bien a ce que j'écrivais. la projection ne conserve pas la norme.

Bon qui dit mesure dit projection sur un vecteur d'état de la base (ou d'une base Hilbertienne) qu'est-ce que cela veut dire? Que si je mesure une position la particule n'a pas 100% de chance d'être quelque part dans l'Univers?

[Deedee81]

Bon qui dit mesure dit projection sur un vecteur d'état de la base (ou d'une base Hilbertienne) qu'est-ce que cela veut dire? Que si je mesure une position la particule n'a pas 100% de chance d'être quelque part dans l'Univers?

Dans le cas de la réduction, disons pour faire simple que tu as deux états de base x et y.
Et que la particule est dans un état avec 60% de chance d'être dans x et 40% de chance d'être dans y.
Tu mesures, tu trouves x (par exemple).
Dans ce cas l'état est projeté sur x, il devient identique à l'état de base x et la particule a 100% de chance d'être dans l'état x (forcément, on vient de le mesurer).

Mais j'insiste sur le fait que l'équation de Schrödinger ne peut pas décrire une telle évolution de "projection". C'est un ajout fait à la théorie.

EDIT l'équation de Schrödinger DOIT être unitaire pour préserver la probabilité totale. Mais la réduction n'est ni unitaire ni l'équation de Schrödinger.

[coussin]

Une projection, en effet, ne conserve pas la norme.
Mais dans l'exemple ci-dessus, U est une rotation qui, elle, conserve la norme.
Pourquoi ne pas modéliser le processus de mesure non pas par une projection mais par une rotation?

[Deedee81]

Une projection, en effet, ne conserve pas la norme.
Mais dans l'exemple ci-dessus, U est une rotation qui, elle, conserve la norme.
Pourquoi ne pas modéliser le processus de mesure non pas par une projection mais par une rotation?

Franchement je l'ignore. Peut-être ne peut-on avoir un opérateur H hermitique dans ce cas ?

Je sais qu'il y a déjà eut des modifications de l'équation de Schrödinger pour tenir compte de la réduction mais je n'aime pas trop ces approches (évidemment ça reste un jugement de valeur, récemment j'ai vu un article parlant d'une possibilité d'avoir une théorie de gravitation quantique sans quantifier la gravitation et c'était basé sur cette approche).
Pour les curieux qui voudraient creuser : https://plato.stanford.edu/entries/qm-collapse/

[viiksu]

Je me permet de réitérer ma question mais les fonctions d'ondes qui sont solution de l'équation de Schrodinger sont légion notamment les fonctions de Hermite ont les sort du chapeau car elles collent mathématiquement mais quelle est leur légitimité physique? En outre aucune fonction d'onde ne s'annule vraiment même à l'infini franchement ça me pose un problème. Alors on nous sort la théorie des distributions de Schwartz une fonction qui s'annule plus vite que tout ce qu'on peut imaginer?

Ce que je veux suggérer c'est que le formalisme de la MQ lui-même n'est pas exempt de problèmes alors l’unitarité..... Attention c'est juste une interrogation pas une affirmation.

[Deedee81]

Je me permet de réitérer ma question mais les fonctions d'ondes qui sont solution de l'équation de Schrodinger sont légion notamment les fonctions de Hermite ont les sort du chapeau car elles collent mathématiquement mais quelle est leur légitimité physique?

Je ne comprend pas la question ???? Ces polynômes de Hermite (ou Legendre ou Lagrange ou Bessel, on trouve de tout) sont juste des solutions de l'équation différentielle.
Et la légitimité est celle de la fondation de l'équation de Schrödinger, de la forme de l'hamiltonien et des résultats (spectre énergie, mesure moment angulaire, etc.... etc...)

Ou alors j'ai pas compris ce que tu veux dire par "légitimité".

En outre aucune fonction d'onde ne s'annule vraiment même à l'infini franchement ça me pose un problème.
Alors on nous sort la théorie des distributions de Schwartz une fonction qui s'annule plus vite que tout ce qu'on peut imaginer?

Heu, non, tu te trompes, les solutions pour l'hydrogène s'annulent à l'infini.

Et oui, dans certains cas ça ne s'annule pas : les solutions de particules libres de fréquence bien précise (monochromatique).
Elles sont traitées (normalisées) avec les distributions.

Mais en effet ça sort d'un chapeau dans la plupart des bouquins. Cohen-Tanoudji est un des rares à attirer l'attention là-dessus. Il explique qu'il faut remplacer ces cas irréalistes par des fonctions d'onde "smeared" avec un amortissement et annulation à l'infini (au lieu d'un pic d'énergie on a un truc légèrement dispersé) et vérifier si les raccourcis de calcul avec le cas monochromatique sont légitimes et si l'utilisation des distributions marche correctement (on peut aussi normaliser dans une boite, c'est un grand classique qui évite les distributions).

Et effectivement ça marche. Et Cohen-Tanoudji trouve (et je suis d'accord) que c'est bien dommage que la plupart des cours de l'expliquent pas correctement. Ta réaction prouve aussi qu'il a raison de dire ça !!!!

Ce que je veux suggérer c'est que le formalisme de la MQ lui-même n'est pas exempt de problèmes alors l’unitarité..... Attention c'est juste une interrogation pas une affirmation.

Oui, il y a parfois quelques soucis mais pas là (en fait surtout en théorie quantique des champ : formellement la matrice de diffusion S ne devrait même pas exister dans le cas avec interaction, et on fait "comme si". Et le plus fou c'est que ça marche. Les séries perturbatives sont asymptotiquement divergentes : mais on fait "comme si" et là aussi ça marche.... sans qu'on sache trop bien pourquoi).

Au moins en MQ le formalisme et les liens avec la physique sont en béton armé même si c'est vrai qu'il y a parfois un manque de pédagogie dans les cours. Hélas.