Expansion (en série) d'un champ scalaire

[Lévesque]

Bonsoir,

je m'embrouille dans un calcul tout simple que je souhaite faire avec rigueur...

Je veux faire l'expansion en série (en terme de ) d'un champ quelconque où les variables sont des 4-vecteurs.

À la première étape, j'obtiens quelque chose du genre



Ensuite, sans faire grand chose, j'arrive à



Je souhaite me rendre à ce qui est écrit dans mon livre :



Mais je dois avouer que je ne sais pas trop quoi faire avec ce terme :




merci!!

Simon
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[Karibou Blanc]

Salut,

Je ne comprends pas bien ce que tu cherches a faire au debut. Mais en tout ce qu'il y a d'écrit dans ton livre est direct. C'est simplement en developpement de Taylor, une generalisation de : f(x+dx) = f(x) +f'(x)dx +...

Maintenant comme f depend de 4 coordonnées d'espace-temps, ca fait intervenir le gradient.
Qu'est ce qui te bloque la dedans ?

KB qui pense que tu devrais lire plutot Peskin-Schoeder

[Lévesque]

Salut,

Je ne comprends pas bien ce que tu cherches a faire au debut. Mais en tout ce qu'il y a d'écrit dans ton livre est direct. C'est simplement en developpement de Taylor, une generalisation de : f(x+dx) = f(x) +f'(x)dx +...

Maintenant comme f depend de 4 coordonnées d'espace-temps, ca fait intervenir le gradient.
Qu'est ce qui te bloque la dedans ?

Oh, je réslise que c'est probablement juste une question de notation. Quand tu écris f(x+dx) = f(x) +f'(x)dx +...
f'(x) est dérivé par rapport à quoi? Si tu développes en puissance de dx, ta dérivée n'est surement pas par rapport à x? Donc f'(x):=df(x+dx)/d(dx) évalué ensuite à dx=0?

En gros, je pense que ce qui me bloque c'est que je ne sais pas quelle est la forme explicite de dans l'expression qui provient du livre. C'est une dérivée partielle par rapport à ? Si oui, alors j'ai tout compris, sinon, j'ai pas compris comment on généralise l'expansion en série.

Pour le Peskin, je l'ai toujours sous la main, mais mon prof est Mr. Maggiore et par conséquent, on utilise son livre dans le cours...

Merci pour l'aide KB,

Simon

[Karibou Blanc]

Si tu développes en puissance de dx, ta dérivée n'est surement pas par rapport à x? Donc f'(x):=df(x+dx)/d(dx) évalué ensuite à dx=0?

Si c'est bien par rapport a x. C'est la definition toute bete de la derivee f'(x)=(f(x+dx)-f(x))/(dx) et pas /d(dx)

c'est que je ne sais pas quelle est la forme explicite de dans l'expression qui provient du livre

c'est la derivée usuelle. la variation du champs scalaire est donnée simplement par son gradient.

KB

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

C'est d'ailleurs la définition générale de la différentielle :

f fonction scalaire de n variables sur (c'est vrai aussi sur le corps des réels) est différentiable en x ssi il existe une application linéaire de dans l'espace d'arrivée (ici f scalaire, donc l'espace d'arrivée est soit les réels si le corps de base est celui des réels, soit les complexes si le corps de base est celui des complexes) telle que pour .

Ensuite, on peut introduire en notation différentielle la base duale de , et en définissant rigoureusement la dérivation partielle on a

On retrouve donc le gradient. Il ne reste plus qu'à faire Taylor comme te l'a dit Karibou, avec ici , donc de coordonnées .

Ensuite en notation d'Einstein, ça donne bien pour la différentielle

[Lévesque]

Comme c'est sympa de me rappeler tout ça

merci à vous deux!

[Lévesque]

Bonsoir,

Je m'excuse d'insister...

pour .

Si ce calcul provient de la dérivée df/dx= (f(x+dx)-f(x))/dx, je ne vois pas trop d'où vient le o(||h||)... Peut-être que je mélange vos explications, ou que je suis vraiment perdu... je vous laisse en juger

Oh, et si quelqu'un a deux minutes, je ne crois pas avoir saisi pourquoi parfois on écrit et parfois . Si on pouvait m'expliquer rapidement dans quel contexte on réserve quelle notation... s'rait gentil!


Simon

[Lévesque]

c'est la derivée usuelle. la variation du champs scalaire est donnée simplement par son gradient.

Textuellement, j'ai ceci dans mon livre:



Le prime sert à départir les systèmes de coordonnées. Je cherche juste à piger comment établir que

.

J'utilise la définition de la dérivée que vous m'avez gentillement rappelée (en changeant le signe de dx), pour obtenir (en utilisant au lieu de ):

ayant utilisé le fait que . Si j'ignore le sens de et que je considère qu'il fait la même chose que , j'ai une étape de faite:

Comme vous dites, par la définition de la différentielle, j'ai

Ce qui me permet de trouver (presque) le résultat cherché: il me reste seulement à comprendre la subtilité du ...


En tout cas, merci encore, vous m'avez beaucoup aidé!


Simon

[Gwyddon]

Bonsoir,

Je m'excuse d'insister...

Mais non au contraire c'est bien

Si ce calcul provient de la dérivée df/dx= (f(x+dx)-f(x))/dx, je ne vois pas trop d'où vient le o(||h||).

Attention, ce que je t'ai dit n'est pas un calcul mais la définition de la différentielle. C'est la généralisation à n dimensions de ce que tu fais à 1 dimension. Le o(||h||) est une fonction négligeable devant ||h|| : on a

De même, on avait en 1ère la définition suivante de la dérivée : f'(a) est le nombre tel que ce que tu peux transformer aisément en

. Ici l'application linéaire "différentielle de f en a" est

[Gwyddon]

Et pour compléter : en physique le o(||h||) on le laisse tomber quand on fait un DL de Taylor à l'ordre 1, car c'est un terme négligeable dans le calcul par rapport aux autres (à l'ordre 1 bien sûr) donc comme tout bon terme négligeable en physique, on l'évacue.

[Gwyddon]

Non en fait il y a une petite erreur : c'est plutôt

[Lévesque]

Ok... merci! en tout cas, je suis un vrai physicien parce que je n'étais pas au courant qu'on négligeait cet ordre en h

Je penses que je vais continuer à faire comme s'il n'avait jamais exister, comme ça jvais pouvoir commencer à étudier des trucs qui seront à mon exam sur la TQC.

[Lévesque]

Non en fait il y a une petite erreur : c'est plutôt

Je suis désolé, je ne connais pas la notation (quoi que ça me rappelle la géométrie différentiel ). J'ai regardé sur Mathworld et sur Wikipedia (page Derivative), ni l'un ni l'autre n'utilise cette notation, et ni l'un ni l'autre ne parle de l'ordre qu'on néglige en h. Mais je suis très intéressé de comprendre ma "petite" erreur!

[Lévesque]

En fait, j'ai utilisé ce que je connaissais, c'est-à-dire:

.

Comme je ne comprenais pas ta notation, j'ai utilisé litéralement ce qui est là haut, sans me questionner sur la nature de , peut-être là est mon erreur.

[Gwyddon]

Coucou,

Effectivement, là est ton erreur, car tu utilises une notion uniquement valable sur IR ou C

En fait, ce qui te trouble dans ma notation c'est le dx. Remplace-le par h par exemple, et tu retrouves les notations habituelles en maths.

Dans mon post de 14h27 d'hier il y a tout ce qu'il te faut

signifie différentielle de f en b appliquée au point h.

[Lévesque]

Ok, merci, je vais me concentrer à bien comprendre ce post alors...