Problème physique crémaillère / roue dentée

[invite21101ae5]

Bonjour,
Je cherche à résoudre le problème suivant.

Nous sommes dans une situation où une crémaillère verticale fixe est en contact avec une roue dentée dont l'axe passe dans une glissière verticale non représentée ici de sorte à ce que cette roue dentée soit maintenue solidaire à la crémaillère. La roue peut donc monter ou descendre en tournant sur la crémaillère.

Soit une force F1 de 50 N s'appliquant à une distance D1 de 0,4 m de l'axe de rotation de la roue dentée, et une force F2 de 200 N s'appliquant elle à 0,05 m de l'axe.
Je cherche à savoir dans quel sens va tourner la roue dentée (dont on omet le poids ainsi que les frottements).
Le moment de F1 = 50 N x 0,4 m soit 20 N.m alors que celui de F2 = 200 N x 0,05 m soit 10 N.m donc la roue dentée tourne dans le sens horaire et descend le long de la crémaillère*?
Raisonne-t-on exactement de la même manière que si l'axe de la roue était fixe tout en permettant à la roue de tourner librement autour*?

En vous remerciant.

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[XK150]

Salut ,

Sauf que si l'axe est supporté et la crémaillère fixe , la roue ne peut pas tourner et descendre , le système est bloqué .

[invite21101ae5]

Hello,
Non non je voulais dire est-ce qu'on raisonne de la même manière qu'avec un disque qui pourrait tourner librement autour d'un axe horizontal passant par son centre; sans crémaillère?

[gts2]

Raisonne-t-on exactement de la même manière que si l'axe de la roue était fixe tout en permettant à la roue de tourner librement autour*?

Non parce que la crémaillère exerce une force à prendre en compte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[XK150]

Re ,

Alors oui pareil dans un monde sans masse et sans frottement : dans un cas l'axe va se déplacer , dans l'autre il est fixe quand la roue amorce sa rotation .

[invite21101ae5]

D'accord merci; et donc dans ce cas présent avec les valeurs mentionnées, la roue dentée va bien tourner dans le sens horaire?

[gts2]

1- Si le système n'a pas de masse et que F1 et F2 sont les seules forces, la résultante est non nulle et F=ma conduit à ?
2- Supposons que l'on parte du repos et que la roue tourne dans le sens horaire, elle va descendre alors que la résultante est vers le haut ?

Cela ne veut pas dire que la roue ne va pas tourner dans le sens horaire, mais l'étude reste à faire.

[phys4]

D'accord merci; et donc dans ce cas présent avec les valeurs mentionnées, la roue dentée va bien tourner dans le sens horaire?

La réponse est négative, il faut prendre en compte la réaction de la crémaillère.

[Opabinia]

Bonjour,

La somme des moments des forces agissantes (F₁, F₂) par rapport à l'axe de la roue dentée (qui coïncide ici avec (z'z), orienté vers l'avant) est:
M = -D₁F₁ + D₂F₂ = -(0.4 * 50) + (0.05 * 200) = -20 + 10 = -10 mN .

Le moment étant négatif, la roue tend à tourner dans le sens rétrograde (horlogique).

La réaction (F₃) de la crémaillère est ici indéterminée, en l'absence de toute autre précision, parce qu'il s'agit d'une force de liaison.

[gts2]

Orientons les angles dans le sens trigo et l'axe vertical z vers le haut.
Avec cette convention, on a
Appelons F3 (algébrique) l'action de la force verticale de la crémaillère sur la roue. F1 et F2 non algébriques.

PFD F3+F2-F1=m soit F3=F1-F2+
Dans le référentiel barycentrique de la roue -F1*D1+F2*D2-F3*R=J
En reportant F3, -F1*D1+F2*D2-F1*R+F2*R=(J+mR^2)
Le signe de est donné par celui de -F1*(D1+R)+F2*(D2+R) soit positif, donc la roue tourne dans le sens trigo.

Tout ceci à confirmer bien sûr.

[phys4]

Le moment étant négatif, la roue tend à tourner dans le sens rétrograde (horlogique).

La réaction (F₃) de la crémaillère est ici indéterminée, en l'absence de toute autre précision, parce qu'il s'agit d'une force de liaison.

Il faudrait arrêter de raconter n'importe quoi !
Le problème est parfaitement déterminé avec deux forces appliquées et une direction de déplacement imposé.
Si vous n'arrivez pas à trouver la réaction de la crémaillère, vous pouvez calculer les moments par rapport au point de contact avec la crémaillère, qui est le véritable centre de rotation fixé.

[mécano41]

Bonjour,

...et comme le rayon primitif du pignon n'est pas indiqué, on peut le supposer supérieur ou inférieur à D2. Dans un cas, ça tourne dans un sens, dans l'autre cas dans l'autre sens et si le rayon = D2 c'est en équilibre...

Cordialement

[mécano41]

Bonjour,

...et comme le rayon primitif du pignon n'est pas indiqué, on peut le supposer supérieur ou inférieur à D2. Dans un cas, ça tourne dans un sens, dans l'autre cas dans l'autre sens et si le rayon = D2 c'est en équilibre...

Cordialement

Là, en rouge, ce n'est pas bon...la distance du point donnant l'équilibre et le changement de sens n'est pas égal à D2 mais à 0,0666 mètres, avec les valeurs indiquées...désolé

Cordialement

[Opabinia]

Je maintiens la réponse

La réaction (F3) de la crémaillère est ici indéterminée, en l'absence de toute autre précision, parce qu'il s'agit d'une force de liaison.

en m'en tenant strictement à l'énoncé

... une crémaillère verticale fixe est en contact avec une roue dentée dont l'axe passe dans une glissière verticale non représentée ici de sorte à ce que cette roue dentée soit maintenue solidaire à la crémaillère. La roue peut donc monter ou descendre en tournant sur la crémaillère.
Soit une force F1 de 50 N s'appliquant à une distance D1 de 0,4 m de l'axe de rotation de la roue dentée, et une force F2 de 200 N s'appliquant elle à 0,05 m de l'axe.
Je cherche à savoir dans quel sens va tourner la roue dentée (dont on omet le poids ainsi que les frottements).

Ceci dit, rien n'empêche d'aller plus loin comme l'a fait gts2, en envisageant le mouvement du barycentre (G) de la roue dentée sur l'axe (y'y); en convenant de noter (m) la masse du mobile, (J) son moment d'inertie par rapport à son axe et (R) son rayon équivalent, ce mouvement vérifie trois équations concernant:
a) le mouvement de translation de (G) sur (y'y):

my" = -F₁ + F₂ + F₃ ;

b) le mouvement de rotation autour de l'axe passant par (G):

Jω" = -D₁F₁ + D₂F₂ - RF₃ ;

c) la corrélation entre les deux mouvements imposée par les engrenages, interdisant tout glissement du pourtour de la roue au niveau de la crémaillère:

y' = Rω' , d'où par dérivation: y" = Rω" .

On obtient dans ces conditions:

my" = ( F₂ - F₁) + F₃ ;
JRω" = Jy" = R(D₂F₂ - D₁F₁) - R²F₃ ,

ce qui donne:

(m + J/R²)y" = (F₂ - F₁) + (D₂F₂ - D₁F₁)/R = F₂(1 + D₂/R) - F₁(1 + D₁) .

Pour faire apparaître le signe de la dérivée seconde (y"), on peut chercher la valeur (R₀) du rayon entraînant son annulation:

R₀ = (F₂ - F₁)/((D₁F₁ - D₂F2) = (200 - 50)/(50 x 0,4 - 200 x 0,05) = 150/(20 - 10) = 1500 m ,

résultat très supérieur aux dimensions du système: le signe de (y") est donc celui du terme (D₂F₂ - D₁F₁) = 200 x 0,05 - 50 x 0,4 = 10 - 20 < 0 .

La composante verticale de l'accélération est par conséquent négative, et la roue initialement immobile se met bien à descendre, conformément à l'intuition, et à tourner dans le sens horaire: ω" = y"/R < 0 .

[Opabinia]

Corriger vers la fin du texte:[SUB]
(m + J/R²)y" = (F₂ - F₁) + (D₂F₂ - D₁F₁)/R = F₂(1 + D₂/R) - F₁(1 + D₁/R) .

[Opabinia]

Je me suis aperçu une demie-heure après (soit 25 minutes trop tard) de mon lapsus systématique: il fallait écrire "θ" au lieu de "ω".

Désolé pour cette notation fautive, conséquence du copier-coller.

La typographie ne fait pas bon ménage avec les calculs.

[gts2]

R₀ = (F₂ - F₁)/((D₁F₁ - D₂F2) = (200 - 50)/(50 x 0,4 - 200 x 0,05) = 150/(20 - 10) = 1500 m.

Cela fait plutôt 15 et de plus la fraction est à l'envers donc c'est 1/15=0,066m

[mécano41]

Bonjour,

Juste pour expliciter ce que j'ai écrit aux #12 et #13 + application Excel.

Cordialement

[phys4]

Juste pour expliciter ce que j'ai écrit aux #12 et #13 + application Excel.

C'est une déformation de l'énoncé : il ne donne pas e forec au centre, donc R0 n'existe pas, il faut équilibrer avec Ra uniquement.