Astrophysique problème

[marie0000]

bonjour, je fais appelle a vous pour essayer de comprendre un petit Problem qui m'as été poser en classe :
voici l'énoncé :

Un objet se déplace verticalement vers le haut depuis la surface d'un corps de rayon R. Si l'objet commence par la vitesse de sortie( vitesse d'échappement), montrez que le temps nécessaire pour atteindre la hauteur h est:

τ = 1/3((2R/g)^1/2)[((1 + h/R)^3/2 )− 1]

j'ai essayer de trouver un point de départ un peu partout mais je reste bloquer

j'ai essayer avec Vesc=(2GM/R)^1/2
avec g=GM/r^2

mais impossible de comprendre
pouvez vous m'expliquer se qui m'échappe.
merci
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[mach3]

Une piste : dérivée seconde de h par rapport à T

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Je suis presque parti mais il y a quelque chose qui me chiffonne : g dépend de la hauteur. Donc comment pourrait-on donner une formule pour le temps entre R et R+h alors que g varie tout du long ?
Je suppose que le g est celui obtenu pour r = R ?

Bon, en tout état de cause, ce n'est qu'une cht'tite histoire d'intégration. Mais je dois laisser d'autres regarder.

Bon week end à tous (demain je serai en congé, yipikai )

[marie0000]

d'accord je veux bien faire ça mais avec quelle formule ?
je ne suis pas sur de comprendre la méthode.

g désigne l'accélération gravitationnelle à la surface du corps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Vous avez le temps T en fonction de la hauteur h et donc de r=R+h. Si vous dérivez par rapport au temps, vous aurez 1 = une fonction de la vitesse verticale et de r. Si vous dérivez une seconde fois vous aurez 0 = une fonction de l'accélération verticale, de la vitesse verticale et de r. L'accélération verticale doit correspondre à GM/r^2.

m@ch3

[marie0000]

je suis désoler je ne crois que j'ai vue ça en cours ... après comme c'est un exercice supplémentaire c'est peut être pour ça qu'il est aussi difficile .
je ne sais vraiment pas comment faire pour dériver la fonction r=R+h
R est une constante donc cela veut dire qu'elle ne change pas pendant la dériver?
mais h en fonction du temps ?
oula je crois que c'est pas mon truc les math . ^^

[mach3]

J'ai essayé plusieurs fois vainement avant de comprendre que le g de l'expression est une constante, c'est à dire GM/R^2, le g au niveau du sol. La résolution est finalement bien plus simple que je ne l'imaginais. Si on remplace g par GM/R^2 et h par r-R, l'expression devient :



Plus qu'à dériver par rapport au temps. On retrouve l'expression de la vitesse de libération (qui redonne a=GM/r^2 quand on la dérive par rapport au temps à son tour).

m@ch3

[marie0000]

d'accord je comprend mieux , mais la formule du T d'ou viens t'elle ?

on nous dit aussi dans le problème d'utiliser la vitesse d'eschapement : (2GM/R)^1/2

[mach3]

d'accord je comprend mieux , mais la formule du T d'ou viens t'elle ?

c'est la tienne,

τ = 1/3((2R/g)^1/2)[((1 + h/R)^3/2 )− 1]

j'ai juste remplacé g par GM/R² et h par r-R

on nous dit aussi dans le problème d'utiliser la vitesse d'eschapement : (2GM/R)^1/2

oui, c'est ce que j'appelle vitesse de libération. Attention, c'est (2GM/r)^1/2 (avec r la distance de l'objet au centre, r=R+h), c'est-à-dire que ça dépend de la distance au centre, pas du rayon de la planète (si on met R et pas r, on parle de la vitesse de libération à la surface, pas de la vitesse de libération en général).

m@ch3

[marie0000]

je comprend se que vous me dite , mais je doit avouez que je suis un perdu avec tous ça pour trouver le temps , parce que le sujet de mon problème est de trouver t la formule que j'ai noter précédemment et pas la vitesse de libération

[Geo77b]

Plus qu'à dériver par rapport au temps. On retrouve l'expression de la vitesse de libération (qui redonne a=GM/r^2 quand on la dérive par rapport au temps à son tour)

Vous voulez dire : deriver par rapport à r ?? avec dt/dr = 1/v.

Si la vitesse de l'objet est (2GM/r)^1/2 pour tout r, on aurait : de/dt = dr/dt = v = (2GM/r)^1/2

dt = (1/v).dr = ((r/2GM)^1/2).dr à intégrer de R à r.

[marie0000]

bon je crois que je vais abandonner je comprend plus rien

[mach3]

On a t=f(r)
Si on dérive par rapport à t, ça fait




on doit trouver que v est la vitesse de libération en r ()

Pourquoi faut il que ce soit cette vitesse? parce que si on dérive cette vitesse par rapport au temps, on trouve GM/r², qui est justement l'accélération qu'on est censée avoir en r. Cela signifie que si on démarre à la vitesse de libération en r=R puis qu'on laisse la gravitation faire, notre vitesse sera toujours la vitesse de libération pour la distance au centre à laquelle on se trouvera ()

Si t=f(r) décrit bien un mouvement vertical, soumis uniquement à la gravitation, avec comme distance initiale R et comme vitesse initiale , alors on doit trouver que la vitesse sera en tout r.

m@ch3

[Geo77b]

On a t=f(r)
Si on dérive par rapport à t, ça fait

Certes, et on en revient à dt/dr.

[Geo77b]

bon je crois que je vais abandonner je comprend plus rien

Si vous êtes d'accord que la vitesse de l'objet est (2GM/r)^1/2 pour tout r, le reste est une simple intégration : dr/dt=v -> dt=(1/v).dr

[Geo77b]

Pour dire autrement, si un objet atteint la vitesse de libération à une distance r du centre d'un corps, ça veut dire qu'il a juste assez d'énergie pour s'éloigner indéfiniment.
Quand sur sa lancée, il s'éloigne encore d'une distance h, il perd de l'énergie, mais il en aura toujours juste assez pour s'éloigner indéfiniment, ce qui correspond à la définition de la vitesse de libération à une distance r+h.