Hauteur d'une vague sinusoïdale, modèle d'Airy

[sltlesamis]

Bonjour à tous,

Je suis en math spé et cette année comme certains le savent le thème des TIPE est l'océan; avec mon binôme, on a choisi de faire une étude sur un bassin générateur de vagues circulaire situé à Édimbourg en écosse, le bassin Flowave pour ceux que ça intéresse.
On a donc pour l'instant fait pas mal d’études sur des parties précises des systèmes mais je bloque sur la modélisation des vagues du bassin: j'ai calculé la longueur d'onde et la célérité de phase des vagues (supposées linéaires, monochromatiques dans notre bassin circulaire) via les relations de dispersion gentiment données par ce bon vieux wikipédia (relations que je ne peux qu'accepter puisque je crois bien que la théorie des vagues d'Airy est bien trop hors de portée pour un petit math spé) mais il me manque la hauteur des vagues pour entièrement modéliser mes vagues: j'ai trouvé des relations par-ci par-là mais qui ne menaient nulle part (exemple la relation h = 0.142*tanh(2pi/lbd)*lbd avec lbd la longueur d'onde de la vague, relation trouvée sur un pdf que j'aurais dû garder sous la main) et après deux/trois mois de recherche (pas tout le temps non plus bien sûr, j'ai des cours) j'ai l'impression que le domaine est flou ou que je cherche très mal.

Donc voilà où j'en suis: beaucoup de recherche mais peu d'infos et aucune connaissance scolaire sur le sujet si ce n'est mes cours sur les ondes; J'ai vu passer les modèles d'Airy, de Stokes, de Boussinesq sans qu'aucun ne me fournisse d'informations quant au calcul de la hauteur de vague (j'ai retenu le modèle d'Airy pour mon étude pour d'autres calculs cependant, plus simple et adapté que les autres); sans non plus que je me plonge dans les détails de chaque modélisation.
J'ai aussi vu passer quelques thèses sur le sujet mais 100 à 250 pages pendant une maths spé ça se fait pas vraiment, surtout quand on parle non pas d'un bouquin d’Aristophane mais de l'achèvement d'années de travail d'un thésard.

Une incompréhension de ma part est qu'il ne semble pas y avoir de formule liant la hauteur de vague à la période, la longueur d'onde et la célérité de phase alors qu'en pratique ces quantités semblent tout à fait liées.

Si quelqu'un peut m'aider à trouver un modèle pour la hauteur de la vague en fonctions de paramètres "simples" (auxquels j'ai accès avec ma modélisation des systèmes mécaniques du bassin), je lui en serait super reconnaissant

Merci d'avance et bonne soirée!
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[Opabinia]

Bonsoir,

Tu trouveras les calculs relatifs à la propagation de la houle dans le traité de physique de Bruhat, tome III (Mécanique), p 558 et suiv.

Bon courage.

[Sethy]

Plusieurs réflexions :
- si on a construit ce bassin ... c'est bien qu'il y a une raison et que l'abord de ces questions est tout sauf trivial. Ce n'est pas pour rien que le problème de Navier-Stokes est l'un des 7 problèmes dit du millénaire.
- personnellement, je partirais sur l'étude des modes normaux de vibration et de modèles tels que la vibration du tambour (problème à 2 dimension, à symétrie radiale) ce qui débouche sur les fonctions de Bessel.

[gts2]

Bonjour,

"théorie des vagues d'Airy est bien trop hors de portée pour un petit math spé) mais il me manque la hauteur des vagues"

http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/CO...v/MFEhoule.pdf donne une présentation compréhensible pour un bac+2 de la théorie d'Airy avec des applications, une étude en ondes circulaires...
L'équation d'onde d'Airy est une équation de d'Alembert, que vous avez étudiée, dont vous connaissez les propriétés...

Il y a plusieurs choses :
1- Le modèle d'Airy est linéaire, donc indépendant de la hauteur de vague, si vous voulez trouver une hauteur, il faudra prendre une théorie plus élaborée.
2- Le modèle d'Airy est linéaire, donc la relation de dispersion est tout simplement w=kc. Simplement c dépend de h, donc on peut voir un certain nombre de phénomènes.
3- Comme @Sethy la déjà remarqué, le bassin est circulaire, donc un développement en onde plane ne va pas convenir.

Donc deux possibilités,
1- C'est la forme du bassin qui vous intéresse, il faut voir dans quel but a été construit ce bassin, voir si Airy suffit, et vous aurez du travail avec Bessel, conditions aux limites, applications de ce que vous aurez trouvé...
2- C'est la hauteur des vagues qui vous intéresse, il faut alors trouver une théorie plus adéquate, mais il est vrai que cela se complique assez vite, et on passe à l'expérience d'où les bassins. Dans ce cas il faudra un apport expérimental.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

"bassin générateur de vagues circulaire situé à Édimbourg"

En fait après avoir vu la video, il peut créer des vagues concentriques, mais, si j'ai bien compris, les bords étant absorbants, il ne s'agit pas d'étudier l'effet de la forme circulaire du bassin.
En particulier, il permet d'étudier des ondes planes, l'intérêt fondamental du bassin est qu'il peut générer simultanément des ondes de direction différentes voire de fréquences différentes, le tout en interaction avec un courant.
En dehors de la video, les renseignements sont succincts, vous avez réussi à avoir des info plus précises ?

[sltlesamis]

Tout d'abord merci à tous pour vos messages,

Opabinia, bonne nouvelle, j'essaierai de le trouver dans une bibliothèque, merci!


Sethy, 1: Ça c'est sûr, j'imagine même pas le prix de l'installation, tout ça pour des jolies petites vagues

2: en se concentrant sur des vagues monochromatiques et en se permettant d'en faire une approximation sinusoïdale au vu de la profondeur du bassin par rapport à la longueur d'onde desdites vagues, on pensait pouvoir faciliter grandement les calculs et ne pas toucher à des modèles trop biscornus. Mais on y avait aussi un avantage: l'étude d'un mode propre de vibration de toute l'eau du bassin rend le lien entre cette masse d'eau et chaque volet absolument horrible: ce que j'ai pour l'instant comme programmes python qui me simule la position, vitesse, et couple du moteur lié à chaque volet (je suis en PT, la finalité du tipe c'est de déboucher sur quelque-chose de technique et de l'étudier aussi) ne tient qu'a des suppositions un peu bancales et qui sortent de ma tête (pulsation des vagues = pulsations du volet, vitesse du volet à la hauteur nominale de l'eau = célérité de phase des vagues sinusoïdales).
Si j'étudie des modes propres tels qu'on en voit sur des jolis gifs sur wikipedia commons alors même si j'ai une application pratique à ce mode vibratoire il me faut des modèles de déplacements mésoscopiques des particules d'eau pour pouvoir lier ce mode de vibration au mouvement de chaque volet (sinon ça sert à rien, il faut étudier complètement notre système en régime établi pour appeler ça un tipe ) et je doute que ça soit très faisable...
On pensait partir sur une vague monochromatique parce que 1: on pensait s'en sortir avec des études de déplacements mésoscopiques pour justement lier le déplacement de l'eau à celui du volet, 2: notre professeur nous l'avait directement conseillé


Gts2: Effectivement j'étais pas tombé sur ce pdf encore, je m'y plonge ce soir il a l'air de regorger d'informations sympathiques.
Mauvaise nouvelle pour le petit 1, mais je me demandais si on ne pouvait pas avec des rapports lambda/P la profondeur connus on pouvait se débrouiller avec des relations générales qui marchent globalement pour des vagues quasi sinusoïdales.
2: C'est ça qui m'intéresse, un lien entre les relations c,w de la vague et sa hauteur... mais la célérité de la vague dépend, d'après les relations de dispersion de ce bon vieux wikipédia, en tous rapports de profondeur et de longueur d'onde, de h la profondeur, justement (oui quelqu'un a eu la bonne idée d'appeler h la profondeur de l'eau, je suppose qu'elle est la profondeur nominale sans vagues).
3: cf ma réponse à Sethy pour cet argument, je repose sur l'anticipation du problème de mon prof pour supposer que l'étude d'une vague linéaire monochromatique est possible et bien plus faisable qu'une étude des modes normaux de vibration, en jouant sur les volets on devrait pouvoir se débrouiller pour ne pas renvoyer d'ondes transversales à la direction de la vague voulue, comme en pratique (cf vidéos youtube).

Pour répondre à ton deuxième message: Oui c'est l'utilité de bassin: sa construction circulaire permet justement de gérer à peu près tout et n'importe quoi comme onde dans la limite du possible, le tout avec un courant dans plus ou moins n'importe quelle direction.
Pour les informations sur le bassin, on a pas grand chose à part quelques schémas de fonctionnement des agitateurs à vagues et des petites données sur tout et n'importe quoi mais globalement pas grand chose d'utile: c'est déjà le graal si on arrive à un point où l'entreprise nous répond alors qu'elle nous fournisse des documents sur un de leurs produits, à nous deux jeunes élèves français (l'entreprise est Écossaise) qui n'offrent aucune certitude pour l'entreprise...
Donc en gros on sait comment tout marche et on a quelques longueurs caractéristiques de certains objets mais pas grand chose non plus.