Comprendre le spin

[Abitbol C137]

Bonjour,

je vous écris car je voudrais comprendre un peu mieux le spin. Je vous souhaite tout d'abord une bonne année et j'espère que j'apprendrai plein de choses sur ce forum (c'est mon premier message).

J'ai le but lointain de comprendre l'histoire de l'assiette à soupe (ceinture de Dirac ?) et le théorème spin-statistique, mais comme vous le verrez, j'en suis loin. Je précise tout de suite que je suis matheux, que j'ai du mal avec le "style à la physicienne" et que je ne suis pas particulièrement cultivé en physique.

Pour préciser ma demande, je voudrais arriver à trouver une présentation axiomatique du spin, avec des axiomes de provenance expérimentale.

Voici plus ou moins comment je vois les choses pour le spin : à chaque vecteur unitaire de , on doit associer une observable (censée représenter la mesure de spin dans la direction ) de sorte que si le spin d'une particule est mesuré comme up dans la direction , il doit être mesuré comme down si, tout de suite après, on le mesure dans la direction . Et donc, à chaque vecteur unitaire de , on associe aussi le vecteur de correspondant à l'état propre spin-up-dans-la-direction-v et vu ce qui précède, on doit faire en sorte que et soient orthogonaux. Enfin, si est une rotation de , je dois lui associer un opérateur unitaire de telle sorte que . A partir de là, je voudrais arriver à démontrer que forcément tout ceci est isomorphe à la représentation habituelle par les matrices de Pauli, etc. Mais ce n'est pas forcément ce qui m'intéresse aujourd'hui, et d'ailleurs je ne suis pas encore certain que ce soit vrai. Voici en tout cas ma première question :

1) Est-ce que ce que je décris est, au moins du côté mathématique, la substantifique moëlle du spin ?

Et, si la réponse à la question 1) est positive, voici bientôt la deuxième. Le truc important, à mon avis, dans l'histoire ci-dessus, c'est que c'est une rotation de 180 degrés qui échange up et down pour le spin . Je voudrais maintenant comprendre les autres spins. D'après ce que j'ai cru comprendre, dans la vraie vie, il n'y a que , et . Mais a-t-on une axiomatique du spin , par exemple ?

2) En reprenant ce que j'écris pour le spin , si je devais définir les observables du spin où , comment devrais-je m'y prendre ? En particulier, que dois-je exiger sur le comportement par rapport aux rotations ? Genre si j'avais une particule de spin et que, dans la direction , je mesure son spin comme étant up, de quel angle dois-je tourner pour que la nouvelle mesure, donne, à coup sûr, down ? Dans le cas du spin , j'ai l'impression que c'est 180. Mais dans le cas général ?

J'ai du mal à être précis pour ma question 2) mais j'espère que vous comprendrez ce que je veux dire.

Belle journée à toutes et tous !
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[Amanuensis]

J'ai le but lointain de comprendre l'histoire de l'assiette à soupe (ceinture de Dirac ?)

Juste un petit point: ces images n'ont rien de spécifique à la Physique Quantique (même si le gros de la vulgarisation présente le spin ainsi). C'est de la "bête" géométrie (le groupe des rotations n'est pas simplement connexe, une rotation (dans R^3) autour d'un axe orienté est la même chose qu'une rotation dans l'autre sens autour de l'axe orienté de manière opposée.).

Faut distinguer le spin "géométrique" (avec les images de l'assiette et autres), et le spin "physique" (une observable de physique quantique).

Comprendre d'abord le spin géométrique peut être utile !

[Abitbol C137]

Amanuensis : le groupe des rotations n'est pas simplement connexe

Oui, c'est un fait que je connais et je comprends aussi l'histoire de l'assiette à soupe comme ça. Mais effectivement, je dois dire que j'ai l'impression que partout, cette histoire est évoquée dans un cadre quantique et je voulais comprendre ce qu'elle avait de quantique.

En fait, j'ai une idée de l'aspect quantique de cette histoire, mais je vais être obligé d'agiter les mains (je suis obligé parce que je pense ne pas avoir encore compris) : dans un certain sens, les vraies symétries d'un système quantique sont des transformations projectives et pas des opérateurs unitaires. Bien sûr, elles se relèvent en des opérateurs unitaires (ou anti-unitaires) mais à une phase près. Et j'ai l'impression que dans le spin, il doit y avoir un problème de choix de la phase qui se traduit par la nécessité de devoir tourner deux fois plutôt qu'une.

Et j'ai l'espoir d'arriver à dire tout ça précisément et de vraiment le comprendre, à condition de savoir d'abord rigoureusement de quoi je suis en train de parler. C'est pourquoi je suis venu vers vous ! En tout cas, si tu arrives à voir ce que je veux dire, que tu penses que c'est bête/hors-sujet/faux, n'hésite pas, ça me fera avancer !

[Amanuensis]

Je vais proposer une autre image "avec les mains".

Dans les expériences "géométriques", l'objet qui tourne (relativement au référentiel) est "accroché" au référentiel d'une manière qui oriente l'axe (dans les deux cas la main qui tient l'objet). Cet accrochage fait qu'un tour de l'objet "emmêle" sa relation au référentiel, ce qu'on peut interpréter comme dû à cette orientation. Un deuxième tour (de l'objet) restaure sa relation au référentiel (quitte à pratiquer un "démêlage", mais c'est une opération "topologiquement nulle"). Cela se traduit bien par le groupe de spin, par distinguer une rotation de son "homologue antipodique".

On peut, avec les mains, voir un fermion comme ayant une relation au "reste du monde" (au référentiel) qui ne peut revenir à l'identique qu'avec "deux tours" dans le même sens, pour une raison similaire (?) à la main qui tient l'assiette.

Le reste c'est des maths, i.e., comment les maths du groupe de spin (qui décrit les rotations de l'assiette tenue par la main--i.e., y compris la torsion du bras--, ou l'emmêlement de la ceinture) s'applique à un opérateur décrivant une particule...

[Je ne réponds ainsi (si tant est que cela réponde) qu'à la partie de la question parlant d'assiette et de ceinture. Pas aux questions sur la PhyQ, et encore moins sur le théorème spin-statistique (dont je n'ai, personnellement, aucune interprétation "avec les mains").]

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

dans un certain sens, les vraies symétries d'un système quantique sont des transformations projectives et pas des opérateurs unitaires. Bien sûr, elles se relèvent en des opérateurs unitaires (ou anti-unitaires) mais à une phase près. Et j'ai l'impression que dans le spin, il doit y avoir un problème de choix de la phase qui se traduit par la nécessité de devoir tourner deux fois plutôt qu'une.

Cette description est tout à fait correcte. Les transformations d'un système quantique sous les rotations sont décrites par une représentation projective du groupe des rotations. Ils se trouve que certaines représentations projectives ne se relèvent pas en des représentations linéaires (on peut toujours relever une transformation projective en une transformation linéaire, mais le problème est de relever une infinité de transformations projectives d'une manière compatible avec la structure de groupe des rotations).

[Abitbol C137]

Bonjour à toutes et à tous,

un petit retour. Je n'ai pas reçu de réponse satisfaisante à ma question 1), n'hésitez pas à me demander des précisions ou à reformuler la question, ou à répondre même si ce n'est pas tout à fait formel.

Pour la question 2), j'ai bien rigolé hier parce que j'ai appris qu'en fait, les observables de spin 1 peuvent avoir trois valeurs différentes, -1, 0 et 1 (alors que je pensais que c'était que deux valeurs, soit up/down comme pour le spin 1/2). Et que pour le spin s, il y a 2s+1 valeurs possibles.
Dans un vieux livre que j'ai trouvé, j'ai trouvé une description géométrique du spin 1 (mais pas assez formelle pour que je la comprenne vraiment - je suis trop matheux pour comprendre quand les physiciens et physiciennes parlent, ce qui m'attriste d'ailleurs car j'ai l'impression d'être handicapé). Du coup, voici une autre question :

3) Est-ce que les spins 1/2 et 1 sont les seuls à avoir une description géométrique (tridimensionnelle) ? Je me demande ça car si la dimension (complexe) de la représentation est 2s+1, à partir de 3/2 c'est de dimension (complexe) au moins quatre, donc trop pour être décrit par la dimension trois réelle...

[Opabinia]

Bonjour,

... les observables de spin 1 peuvent avoir trois valeurs différentes, -1, 0 et 1 (alors que je pensais que c'était que deux valeurs, soit up/down comme pour le spin 1/2). Et que pour le spin s, il y a 2s+1 valeurs possibles ...

Les spins nucléaires sont liés à la parité des nombres respectifs (Z, N) de protons et de neutrons:
# ils sont nuls lorsque (Z) et (N) sont simultanément pairs (⁴He, ¹²C, ¹⁶O, ...), les nucléons présents se trouvant tous appariés en doublets de spins opposés;
# semi-entiers quand (Z) et (N) présentent des parités différentes:
¹H: 1/2 _ ⁷Li: 3/2 _ ⁹³Nb: 9/2
¹³C: 1/2 _ ¹⁷O: 5/2 _ ⁴³Ca: 7/2 _ ^113mCd: 11/2
# entiers positifs lorsque (Z) et (N) sont simultanément impairs - cas rare parmi les isotopes stables:
²H: 1 _ ⁶Li: 1 _ ¹⁰B: 3 _ ₁₄N: 1
²⁴Na: 4 _ ⁴⁰K: 4 _ ⁵⁰V: 6 .

[Resartus]

3) Est-ce que les spins 1/2 et 1 sont les seuls à avoir une description géométrique (tridimensionnelle) ? Je me demande ça car si la dimension (complexe) de la représentation est 2s+1, à partir de 3/2 c'est de dimension (complexe) au moins quatre, donc trop pour être décrit par la dimension trois réelle...

Vous avez raison en theorie. Par exemple, pour traiter les spins 3/2 on devrait utiliser des objets mathématiques plus compliqués que les spineurs.
Voir ceci par exemple :https://fr.wikipedia.org/wiki/Équati...rita-Schwinger

Mais en pratique, on n'en a vraiment besoin que pour des calculs détaillés de particules élementaires composites (Wiki cite les baryons Delta).
Pour les atomes (en chimie ou en spectroscopie), on fait déjà tellement d'approximations qu'un tel traitement n'apporterait rien

[Abitbol C137]

@Opabinia : Merci pour ces informations mais ce n'est pas tout à fait ce que je recherche.
@Resartus : Cette page wiki, c'est du charabia pour moi. Mais en tout cas, j'ai l'impression qu'elle décrit le "comportement" d'un spin 3/2, mais on dit, alors que moi, je voudrais savoir ce qu'est un spin 3/2 (par exemple). Et quand je dis "est", je ne veux pas de réponse ontologique, mais une réponse opératoire, un peu comme si vous deviez vous mettre à la place de quelqu'un qui demande à une personne qui fait de l'ingénierie de lui fabriquer une machine : vous devriez lui dire ce que vous attendez de cette machine pour que cette personne puisse réfléchir à comment construire une machine qui satisfait ces spécifications. Dans notre situation, je voudrais que vous m'expliquiez ce qu'on attend du spin, pour que moi, mathématicien, je puisse essayer de construire un modèle mathématique (évidemment, j'espère et suis censé retrouver le modèle original). Dans mon premier message, je tentais de décrire les spécifications du spin 1/2 telles que je les conçois : un spin 1/2, c'est une sorte de quantité qui vaut, dans certaines situations, 1/2, et qui vaut -1/2 dans d'autres situations, et qui est censé se comporter de telle façon sous l'action du groupe des rotations, etc.

[Deedee81]

Salut,

Je ne sais pas si ça peut aider, mais connais-tu le cours de Feynman ? Il décrit une approche très opérationnelle du spin (1 et 1/2) en partant de l'appareil de Stern et Gerlach, en étudiant progressivement par raisonnement les effets des rotations et en utilisant les propriétés de base des la mécanique quantique.

C'est une approche fort différente de celles plutôt abstraites utilisant les groupes et les amplitudes qu'on trouve souvent. Et ça ressemble assez à ce que tu décrit dans ce dernier message.
Gratuit en anglais, par exemple ici https://www.feynmanlectures.caltech.edu/ , le tome III chapitres 5 et 6

C'est extraordinairement simple, clair et pédagogique (c'est du Feynman quoi )

[ThM55]

Je vous conseille d'étudier la théorie des représentations irréductibles des groupes SO(3) et SU(2). Tout ce qu'on sait sur le spin s'y trouve et devient clair comme de l'eau de roche.

[Abitbol C137]

Ah ben merci pour la piste ! Je vais regarder ! Surtout si ça parle du spin 1 que je comprends bien moins que le spin 1/2.

[Deedee81]

Ah ben merci pour la piste ! Je vais regarder ! Surtout si ça parle du spin 1 que je comprends bien moins que le spin 1/2.

Je suis surpris car le spin 1, c'est le cas vectoriel. Il me semble plus naturel
(bon, à la base, ça reste "quantique" avec les quelques comportements étranges à cause de la quantification, mais au moins on peut le traiter directement à partir du groupe des rotations et il n'y a pas les étrangetés du spin 1/2 quand on fait une rotation de 360° ).

Le conseil de ThM55 est utile aussi (peut-être en une deuxième étape, car c'est plus compliqué). La théorie des représentations irréductibles des groupes de Lie est d'ailleurs extrêmement utile en physique en général (à un moment j'ai dû m'y mettre, une bonne référence dans ARXiv, faut la retrouver et là je vais partir mais le titre traduit est introduction aux groupes matriciels et leurs représentations).

[Abitbol C137]

@ThM55 : Mon problème n'est pas la théorie des représentations ; mon problème, c'est établir le lien avec la physique. Comprenez-moi : je suis matheux, et donc, à condition d'y mettre assez de temps, je peux virtuellement comprendre toute théorie mathématique (si les détails sont écrits, bien entendu). Par contre, c'est la physique que je suis dans l'incapacité de comprendre.
@Deedee81 : Non mais le spin 1, quand je dis que je ne comprends pas, je veux dire que je ne trouve pas de texte écrit dans la langue que je parle. Pour le spin 1/2, je ne sais pas par quel miracle j'ai réussi à comprendre ce que j'ai compris.

Je pense sincèrement que les difficultés que je vais rencontrer ne seront pas les mêmes que celles rencontrées par les personnes qui viennent de la physique. Comme je ne trouve pas de texte que je trouve clair, je cherche à l'écrire moi-même, avec votre aide.

[ThM55]

@Abitbol C137: je comprends très bien que le problème réside dans le lien avec la physique. Mais justement, je pense que les représentations linéaires des groupes sont particulièrement importantes pour comprendre la mécanique quantique. Je constate que de nombreux étudiants en mécanique quantique entrent dans une grande confusion quand on leur apprend les règles d'addition du moment angulaire et du spin. Après de nombreux exercices, il savent tout calculer en physique atomique et moléculaire mais à la fin ils ont l'impression qu'on leur a administré des règles de calcul dont ils ne voient pas l'origine physique.

Or, tout cela s'éclaire quand on comprend que ce que l'on fait en réalité en mécanique quantique avec les symétries est une classification des représentations linéaires irréductibles. Il faut comprendre que la mécanique quantique, dès qu'elle parle de symétries, fait forcément appel à la théorie des représentations des groupes, du fait de ses postulats fondamentaux. La théorie des groupes joue un rôle mineur en physique classique (par exemple la classification des modes propres de vibration, la symétrie des cristaux, les tenseurs en relativité), mais elle est vraiment constitutive de la mécanique quantique. Hélas pendant des années cette théorie a été vue à tort par les physiciens comme une fioriture mathématique inutile et nuisible (on parlait à l'époque de "group pest", la peste des groupes). Lev Landau s'en méfiait mais il a fini par changer d'avis et a introduit un chapitre sur les représentations dans son fameux cours.

Le problème dans cette matière est qu'elle est très difficile à enseigner. Traditionnellement on part de la représentation des groupes finis, puis on expose les principes des groupes de Lie et on passe à leurs représentations et à celles de leurs algèbres de Lie. Cela donne un cours échevelé plein d'étapes très mathématiques préalables et on comprend que cela décourage les physiciens. Je trouve qu'Anthony Zee (dont je déteste le style faussement familier et décontracté) est tombé dans ce piège avec le livre "Group Theory in a Nutshell for Physicists", quoique il présente très tôt les applications en physique.

Mais tu dis que tu cherches des références en français. Il y en a plusieurs. Quand j'étais étudiant on nous faisait lire le livre d'Henry Bacry (Leçons sur la théorie des groupes et les symétries des particules élémentaires) mais je crois qu'il est épuisé depuis longtemps. Il date même d'avant le modèle standard, donc je ne le recommande pas.

Il y a celui d'Yvette Kosmann-Schwarzbach ( https://books.google.be/books?id=onp...A9orie&f=false ). Très concis, il consacre des chapitres aux applications physiques mais il est organisé selon le schéma traditionnel que j'ai mentionné. Il a été traduit en anglais chez Springer.

Mais celui qui répond exactement à ta question est le volume "Mécanique Quantique Symétries" de W.Greiner et B.Müller. Il fait partie d'un énorme cours de physique théorique qui a la particularité de détailler en long et en large le moindre calcul (au point que cela devient parfois fastidieux). Mais les deux premiers chapitres de ce livre: "ch. 1, Symétries en mécanique quantique" et "ch. 2, Représentations de l'algèbres des opérateurs de moment angulaire: générateurs de SO(3)" montrent en détail tout ce qu'il faut savoir pour relier la théorie des représentations au problème du spin et liquident à mon avis les confusions dont j'ai parlé au début.

Lien Goolgle Books: https://books.google.be/books?id=dgF...9tries&f=false .

[mmanu_F]

Salut,

il y avait eu une discussion intéressante sur le sujet (l'origine du spin) il y a bien longtemps ici. ça serait dommage de gâcher alors je remonte. En parcourant le fil j'ai vu passer quelques liens qui pourraient t'intéresser, notamment le cours de Bertrand Delamotte (je ne connaissais pas le cours en question, mais je connais le bonhomme pour sa pédagogie sur la renormalisation). Le cours est en français (j'ai cru comprendre que tu cherchais plutôt des infos en language local) et avait été lié par Chaverondier, qui traine encore sur le forum. (On peut noter que Mariposa, qui conduisait la discussion à l'époque, n'avait pas aimé le cours de Bertrand, le jugeant trop bordélique, cf la discussion.) J'ai vu passer aussi le Rao sur les anyons (que j'ai dans ma bibliothèque).

Enfin, mon choix personnel pour répondre à ta question (rien que le titre devrait te plaire) : Folland (2008) Quantum Field Theory - a tourist guide for mathematicians

Son §3.5 "angular momentum and spin" me semble être ce que tu cherches. Il donne les détails de la relation entre SO(3) et SU(2) au §1.3. Le §4.3 traite le sujet du point de vue relativiste. Et il parle du théorème spin-statistqie au §5.5. (Le bouquin est évidemment trouvable sur le net, du côté des pirates, le preview de google books ne semblant pas décidé à me laisser voir le § en question.)

[ThM55]

Le problème à mon avis est qu'on se ramasse un gros cours matheux avec plein de théorèmes et il faut attendre la page 200 avant de voir l'application en physique. Il y a des dizaines de PDF disponibles sur le net. Un exemple est le cours de Jean-Benard Zuber: https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092968/document . Excellent, mais je crois qu'il ne répond pas à la question. Si Abitbol C137 est mathématicien, il n'a pas de problème pour aborder ce genre de cours.

Je le répète, si la question est de comprendre le spin en physique, la lecture des deux premiers chapitres du Greiner&Müller est indiquée: c'est de la physique, pas que de maths, et ça explique de manière très pédagogique et en détail comment la théorie des représentations de SO(3) décrit le moment angulaire et le spin.

Les chapitres qui suivent abordent les groupes et algèbres de Lie, SU(3), les quarks, le charme, les groupes unitaires, des compléments mathématiques, bref tout ce qu'on trouve dans un cours traditionnel. Mais le point de départ est la physique du spin prise comme paradigme.

[0577]

Bonjour,

Je ne réponds pas à une question précise mais j'essaye de donner quelques éléments (qui bien sûr vont dans la direction des messages de ThM55 et mmanu_F).

Un spin (en dimension 3) est une représentation projective irréductible complexe du groupe des rotations SO(3). On peut montrer que ces représentations projectives peuvent être identifiées avec les représentations (linéaires) irréductibles complexes du groupe SU(2)=Spin(3) qui est un revêtement double de SO(3) (topologiquement, SU(2) peut s'identifier avec la sphère de dimension 3 et SO(3) peut s'identifier avec l'espace projectif réel de dimension 3, quotient de la sphère de dimension 3 par l'involution antipodale).

La représentation de spin 0 est la représentation complexe triviale de dimension 1.

La représentation de spin 1/2 est la représentation linéaire naturelle de SU(2): SU(2) est le groupe des matrices 2x2 unitaires de déterminant 1 et agit donc naturellement sur un espace vectoriel complexe de dimension 2.

La représentation de spin s est le produit symétrique de (2s) copies de la représentation de spin 1/2: si x,y est une base de la représentation de spin 1/2, alors x^{2s}, x^{2s-1}y,...,xy^{2s-1}, y^{2s} définit une base de la représentation de spin s, qui est en particulier de dimension (2s+1).

Si s est entier, alors la représentation de spin s provient d'une représentation linéaire de SO(3), qui est de plus la complexification d'une représentation réelle. Par exemple, la représentation de spin 1 est la complexification d'une représentation réelle de SO(3) qui n'est autre que l'action naturelle de SO(3) par rotations sur un espace vectoriel réel de dimension 3. Plus généralement, les représentations de spin s entier ont une réalisation géométrique claire. En effet, l'espace des fonctions à valeurs réelles sur la sphère de dimension 2, c'est-à-dire des fonctions sur R^3 ne dépendant que des variables angulaires, est une représentation naturelle réelle (de dimension infinie) de SO(3) et on peut donc la décomposer en représentations irréductibles. Cette décomposition contient exactement une copie de la représentation de spin s pour tout s entier. C'est la théorie classique des développements multipolaires et des fonctions harmoniques sphériques. Un développement multipolaire commence par un pôle (valeur moyenne, représentation de spin 0), suivi d'un dipôle (3 composantes, représentation de spin 1), suivi d'un quadrupôle (5 composantes, représentation de spin 2),...

Si s est demi-entier, alors la représentation de spin s ne provient pas d'une représentation linéaire de SO(3) (elle ne définit qu'une représentation projective de SO(3)), et ne possède pas de structure réelle (elle est intrinsèquement complexe). La représentation de spin 1/2 peut se comprendre comme suit. Le groupe SO(3) agit par rotations sur la sphère de dimension 2. Le point clé est que la sphère de dimension 2 peut être vue comme la droite projective complexe. Autrement dit, l'action de SO(3) par rotations sur la sphère de dimension 2 définit une représentation projective complexe de SO(3) qui n'est autre que la représentation de spin 1/2.

[mmanu_F]

@ThM je ne voulais pas recommander particulièrement le cours de Bertrand, je voulais surtout remonter la vieille discussion.

Dans tous les cas, tu m'as donné envie de jeter un oeil dans le Greiner. Je ferai ça cette aprem.

[Abitbol C137]

@ThM55 : Merci pour ta réponse détaillée. En fait, j'avais réagi un peu comme si j'avais demandé de l'aide sur la mécanique classique et que tu m'avais recommandé d'étudier la théorie des équations différentielles.

@0577 : Ah, merci beaucoup pour ton post qui contient beaucoup d'informations que je considère utiles pour le but que je recherche !

Et @toutes-et-tous : merci pour vos nombreuses références !

[Abitbol C137]

Je reviens pour vous dire un peu où j'en suis. Je me suis plongé dans la théorie des représentations de pour voir un peu ; j'ai réussi à mettre la main sur toutes les références que vous m'avez recommandées et je suis tombé sous le charme (c'est le cas de le dire) du chapitre 8 du bouquin de Kosmann-Schwarzbach ! Quand elle a dit que le premier vecteur de la base canonique s'appelait "quark up" que le deuxième s'appelait "quark down" que le troisième s'appelait "quark strange", mon coeur a fait un bond ! Et les anti-quarks qui ne sont que les vecteurs de la base duale, c'est incroyable !

Je laisse quand même une question : pour le spin, les symétries correspondent au fait qu'on peut faire tourner les appareils de mesure dans l'espace et que cela va influer sur la mesure du spin ; mais pour les quark qui sont up, down ou strange, les symétries ne sont que théoriques ? Je crois avoir lu que dans certains cas, on peut considérer que c'est une vraie symétrie, alors que dans d'autres, si on tient compte de la masse, alors il n'y a plus symétrie. Mais bref... Ce que je veux dire, c'est que le du spin, c'est le revêtement universel de qui, lui, s'interprète immédiatement comme les symétries vectorielles "de notre espace" ; est-ce que c'est pareil pour ?

[ThM55]

Non. C'est pour cette raison que les physiciens appellent cela une "symétrie interne". C'est comme si la particule englobait une sorte d'espace euclidien interne dans lequel elle peut "tourner" (je ne sais pas si le terme est adéquat dans ce cas). L'idée originelle est due à Heisenberg: il envisageait le proton et le neutron comme la même particule avec des orientations différentes dans un "espace interne" dans lequel le spin était baptisé "isospin". Rétrospectivement, c'était une idée de génie, mais les bonnes pondeuses font de bons oeufs . C'est cette idée qui a été amplifiées et étendue pour créer le modèle des quarks sur SU(3).

Il y a toutefois des théories de type Kaluza-Klein ou "cordes" où des symétries dites internes sont réalisées par des symétries de type spatial, mais je serais bien incapable de vous donner les détails.

Je suis content de voir que le livre de Kosmann-Scwharzbach te convient.

[Abitbol C137]

il envisageait le proton et le neutron comme la même particule avec des orientations différentes dans un "espace interne"

C'est vrai ? Mais c'est génial ! Mais, du coup, cela nous ramène à une question qui était, je crois, restée en suspens. Si un proton et un neutron (je n'ai pas d'idée plus précise sur ce que ces deux choses veulent dire à part ce que j'ai appris en terminale il y a un moment déjà) sont la même particule mais, et j'espère que je paraphrase, correspondant à des vecteurs d'états différents, est-ce que cela a un sens de considérer des trucs qui seraient ? Si cela n'en a pas, c'est à ce moment-là que l'on parle de "règle de supersélection" ?

[Morrslieb]

Bonjour,

En fait, c’est le même truc qu’on a dans le modèle standard dans le secteur électrofaible. Ainsi un quark up et un quark down sont considérés comme deux états différents d’une même particule, l’un correspondant à un état d’isospin up, l’autre est l’état d’isospin down. Même truc avec le neutrino et l’électron, par exemple. Et dans les théories unifiées, on a les leptoquarks, càd leptons et quarks sont considérés comme des états différents d’une même particule, et non plus comme des particules différentes.

[ThM55]

Exactement. L'idée initiale de Heisenberg a été transférée aux quarks vu que les nucléons apparaissent comme des particules composites. Il est évident que Heisenberg ne connaissait pas les quarks quand il a proposé l'idée de l'isospin mais j'ai lu quelque part qu'Heisenberg était très intéressé par les quarks à la fin de sa vie (il a vécu jusqu'en 1976, le modèle standard entrait dans le processus de vérification expérimentale).

[Abitbol C137]

J'ai une toute petite question : dans le livre de Kosmann-Schwarzbach, il n'y a que les quarks up, down et strange et leurs anti-quarks. Pourtant, sur Wikipédia, il y a trois autres quarks (et leurs anti-quarks). Est-ce que vous savez pourquoi ? J'ai des idées : sur Wiki, j'ai regardé la liste des baryons et mésons, et les premiers de la liste ont toujours que des up, down et strange. Du coup, je me dis que peut-être que les autres (charm, top et bottom) ont été inventés après pour rendre compte d'expérimentations ultérieures. Mais comment ça se relie aux autres quarks ?
Enfin, si vous me permettez le raccourci, les quarks sont des vecteurs de la représentation complexe naturelle de dimension trois de et les anti-quarks correspondant sont des vecteurs de la représentation contragrédiente (c'est Kosmann-Schwarzbach qui m'a appris ça ). Mais alors les deux fois trois autres quarks, qui sont-ils ?

[0577]

Bonjour,

la symétrie de saveur agissant sur les quarks up, down, strange n'est une symétrie exacte que dans la limite où les quarks sont de masse nulle et où les interactions électromagnétique et faible sont négligeables. Dans la réalité, les quarks sont de masse non-nulle et les interactions électromagnétique et faible existent, ce qui brise la symétrie. Néanmoins, les masses des quarks up, down, strange sont suffisamment faibles devant les échelles d'énergie caractéristiques de l'interaction forte pour que puisse être considérée comme une symétrie approchée, avec des conséquences utiles et non-triviales.

Si l'on considère 4,5,6 quarks, il reste vrai que l'on a une symétrie de saveur dans la limite où les quarks sont de masse nulle et où
les interactions électromagnétique et faible sont négligeables. Dans la réalité, les masses des quarks brisent ces symétries. Le point clé est que les quarks charm, bottom et top sont beaucoup plus massifs que les quarks up, down, strange, ce qui fait que les symétries sont très fortement brisées et les considérer comme symétries approchées n'est pas en général raisonnable ou utile (cela peut se discuter pour , mais probablement moins pour et : le quark top est nettement plus massif que le quark bottom, lui-même nettement plus massif que le quark charm).

[Abitbol C137]

Mmmmh... En fait, les questions de masse des particules me semblent secondaires pour le moment. J'ai l'impression d'être un peu à la place de quelqu'un qui veut apprendre de la génétique et qui pose la question "est-ce que tous les êtres humains sont les mêmes" et qu'on me répondait "non, non, ils ne font pas tous partie de la même classe sociale".

Du coup, je prends votre réponse, 0577, comme : "mathématiquement, tous les quarks et leurs anti-quarks sont de même nature, c'est-à-dire que les objets mathématiques qui les représentent sont des vecteurs de représentations de où est le nombre de paires quark/anti-quark ; cependant, des choses plus fines les distinguent".

Et la symétrie de couleur, c'est une symétrie de groupe , alors ? Et donc si on oublie ces interactions (je ne sais pas ce que veut dire "interaction", pour l'instant), le groupe total de symétrie est (autrement dit, les symétries de saveur et de couleur commutent ?) ?

[0577]

Bonjour,

J'ai l'impression d'être un peu à la place de quelqu'un qui veut apprendre de la génétique et qui pose la question "est-ce que tous les êtres humains sont les mêmes" et qu'on me répondait "non, non, ils ne font pas tous partie de la même classe sociale".

Cette analogie est correcte sur le fond. En physique, une symétrie est en générale une propriété des interactions entre les composantes d'un système physique plutôt que des composantes elles-mêmes. On peut néanmoins adopter le point de vue "génétique" et s'intéresser aux symétries d'une composante particulière. Ces symétries auront tendance à être brisées par les interactions avec les autres composantes du système.

On peut donc considérer la partie du modèle standard qui ne contient que les quarks (on oublie les termes contenant les gluons, bosons électrofaibles, champ de Higgs..., les quarks sont alors en particulier de masse nulle). Pour n paires quark/anti-quark, on a alors en effet la symétrie de saveur et la symétrie de couleur . Ces symétries commutent et on a donc un groupe de symétries .

Mais ce n'est pas exactement le groupe de symétries total. Tout d'abord, peut-être remplacé par . De plus, au niveau "génétique", ce groupe est en fait le sous-groupe diagonal d'un groupe de symétries . Un groupe de symétries plus grand est donc

En plus d'avoir une saveur et une couleur, un quark possède une hélicité (la version du spin pour les particules de masse nulle, l'hélicité est une représentation (projective) du groupe de Poincaré): pour chaque quark, on a en fait un quark d'hélicité 1/2 et un quark d'hélicité -1/2. On peut agir avec indépendamment sur les n quarks d'hélicité+1/2 et les n quarks d'hélicité -1/2, d'où le dédoublement de en .