calcul d'une énergie dissipée (frottement)

[yvon l]

OK, mais le texte demande deux méthodes.

Simplement travail uniquement dissipatif dissipatif = W=F.d = (mg)d
Réponse strictement identique si on tient compte de l'énergie résiduelle dissipative dans le bilan (mais de toute façon négligeable)
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[Black Jack 2]

Bonjour,

Pour une "goutte" de rayon 45 µm, je trouve une vitesse limite de descente d'environ 0,024 m/s ... on est bien alors en frottement fluide.

4/3*Pi*R³*Rho(eau) = 6*Pi*µ*R*v
avec µ la viscosité dynamique de l'air (µ = 18,5.10^-6 SI)
...

[Opabinia]

Bonjour,

J'ai la vague impression qu'une paire de parenthèse aurait arrangé les choses ...

... grâce au PFD j'ai pu avoir l'expression de la vitesse : v(t) = (g*m/alpha)(1-exp(-alpha*t/m). cependant je n'arrive pas à trouver cet instant Tf ...

Sur un axe vertical descendant dont l'origine correspond à la position initiale, le mouvement vérifie l'équation: mz" = mg – az' ,
soit encore pour la vitesse: mv' = mg – av
équation admettant pour solution, compte tenu des conditions initiales (v₀ = 0): v = (mg/a)(1 - Exp(-at/m)) .

Une seconde intégration conduit à la position actuelle du mobile et à sa hauteur de chute, sachant que l'on a de plus: z₀ = 0 :

z = (mg/a)(t + (m/a)(Exp(-at/m) - 1)) et h = (mg/a)(T_f + (m/a)(Exp(-aT_f/m) - 1)) .

Cette dernière relation peut s'écrire:

h = (m²g/a²)(aT_f/m + Exp(-aT_f/m) - 1) ;

si l'on admet sue le parcours de la goutte l'installation rapide d'un équilibre dynamique (v ~ C^te), il vient:

(aT_f/m) >> 1 , ce qui entraîne: 1 >> Exp(-aT_f/m)

et permet de ne conserver que 2 termes sur 3 dans l'expression précédente: h ~ (m²g/a²)(aT_f/m - 1) .

L'énergie dissipée par frottement est donnée par la différence entre le travail du poids et l'énergie cinétique acquise:

E_f = mgh - (1/2)mv_f² ;

on obtient:

E_f = (m³g²/a²)(aT_f/m - 1) - (1/2)m³g²/a²

soit finalement:

E_f = (m³g²/a²)(aT_f/m - 3/2) = mgh(aT_f/m - 3/2)/(aT_f/m - 1)

d'où:

E_f ~ mgh(aT_f/m - 1/2) .

Calculs à vérifier.

[Opabinia]

Rectification du dérapage final:

Ef = mgh(aTf/m - 3/2)/(aTf/m - 1) = mgh(1 - 3m/2aT_f)/(1 - m/aT_f) ~ mgh(1 - m/2aT_f) .