calcul d'une énergie dissipée (frottement)

[gougou2712]

bonjour, je rencontre un problème avec un exercice. je dois trouver l'énergie dissipé lors de la chute (d'hauteur h) d'une goutte d'eau de masse m. bilan des forces : le poids et le frottement : alpha*v
j'ai établi que cette énergie dissipée était égale au travail de cette force de frottement
je dois alors calculer l'intégrale de t=0 a t=tf (avec tf le temps nécessaire à la goutte pour effectuer cette descente de hauteur H) de -alpha*v^2dt.
grâce au PFD j'ai pu avoir l'expression de la vitesse : v(t) = g*m/alpha(1-exp(-alpha*t/m). cependant je n'arrive pas à trouver cet instant tf...
j'espère que vous pourrez m'aider, merci beaucoup. de plus il est demandé de trouver une deuxième façon pour trouver cette énergie dissipée et la, je ne vois vraiment pas quelle autre méthode utiliser...
merci
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[petitmousse49]

Bonjour
N'ayant pas l'énoncé intégral de l'exercice, difficile de te conseiller sur la méthode la plus appropriée.
La méthode que tu décris est possible. On peut aussi considérer que le travail de la force de frottement est égal à la variation d'énergie mécanique.

[gougou2712]

bonjour, oui c'est cette variation d'énergie que j'ai utilisé. la méthode décrite est possible mais comment aboutir? je suis bloqué pour l'expression de tf...
merci de votre réponse, cordialement.

[gts2]

Si vous avez v(t), vous pouvez avoir h(t) par intégration et trouver tf par h(tf)=H ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[petitmousse49]

Si tu disposes uniquement de la hauteur de chute, passer par l'énergie mécanique n'est pas une bonne idée.
Ayant obtenu v(t), tu peux obtenir z(t) par intégration puis poser z(tf)=h.
J'ai choisi un axe vertical orienté vers le bas avec pour origine la position de départ.

[gougou2712]

c'est ce que je voulais faire me je me suis retrouvé avec une équation que je n'arrive pas à résoudre : elle est de la forme tf + (m/alpha)*exp(-alpha*tf/m) = -h*alpha/mg

[petitmousse49]

je me suis retrouvé avec une équation que je n'arrive pas à résoudre

Pas vraiment étonnant... La résolution littérale fait intervenir une fonction de Lambert W...
Voir ici par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert
Pas sûr que cela soit à ton programme... A part une résolution numérique...
Juste par curiosité : cet exercice est posé à quel niveau ?

[Black Jack 2]

Bonjour,

Ton expression de v(t) n'est pas correcte.
La force de frottement est aérodynamique et donc proportionnelle à v².

L'équation différentielle à résoudre est : mg - alpha*v² = m dv/dt (avec v(0) = 0)

avec alpha = 1/2 * Rho(air) * Cx * S (Cx étant le coeff de pénétration dans l'air de la goutte et S son maître couple (c'est à dire la section qui résiste à la pénétration dans l'air))

La solution de cette équation n'est pas celle que tu as donnée.

Quand tu auras trouvé l'expression correcte de v(t), tu pourras en tirer cette de z(t) par intégration.
Et en tenant compte de la valeur de z(0), hauteur d'où la goutte tombe, en déduire la durée t1 de descente, par z(t1) = 0 ... et en tirer la vitesse de la goutte à son arrivée au sol.

Ensuite, tu pourras calculer la différence d'énergie mécanique de la goutte entre le point haut et le point bas (sol) ... et en déduire les pertes dues au frottement.

[gougou2712]

petite mousse : je suis en prepa PCSI (1ere année)
black jack : merci de ta réponse, cependant mon ennoncé précise que c'est une force de frottement de stokes, tel que Fs=-alpha*v ... elle n'est donc pas proportionnelle a v^2?? ainsi j'ai plutôt alpha = 6pi*viscosité*rayongoutte
cordialement

[gts2]

Si c'est la chute d'une bille dans de l'huile c'est tout à fait raisonnable.
Vous parlez de rayon de goutte, peut-être une goutte d'eau, dans ce cas, il faut qu'elle soit petite (type brouillard).

[gougou2712]

il s'agit simplement de la chute d'une goutte d'un nuage

[petitmousse49]

Il est exact que, dans de nombreux cas de chutes verticales, modéliser les frottement par une force proportionnelle à v² est plus réaliste mais alors, la résolution de l'équation z(tf)=h est encore plus complexe...
Déjà qu'en respectant l'énoncé...
Je ne sais pas si celui qui a posé cet énoncé s'est bien rendu compte de la difficulté réelle...

[gougou2712]

j'ai peut être rendu l'exercice compliqué en m'orientant sur cette voie? la question était de calculer l'énergie dissipée lors de la chute (avec h=1000m, rayon=45micrometre pour l'application numérique).
merci de vos réponses

[Dynamix]

Salut

dans ce cas, il faut qu'elle soit petite (type brouillard).

Plus précisément , que le Reynolds soit petit .
c' est le cas des gouttes de pluie .

[gts2]

Je n'ai pas fait le calcul, mais avec h=1000m, à mon avis le transitoire est nettement plus petit, et dans ce cas, vous vous placez en régime permanent et le calcul devient simple.

[gougou2712]

d'accord merci je vais faire cela.
Si jamais vous voyez une autre méthode je suis preneur!
bonne soirée

[petitmousse49]

Tout dépend du rapport a/m mais avec une hauteur de chute aussi élevée, il est peut-être possible dans l'équation vérifiée par tf de négliger le terme faisant intervenir l'exponentielle. Hypothèse à vérifier...

[petitmousse49]

D'où l'intérêt de fournir dès le premier message toutes les infos utiles...

[gougou2712]

Je pensais devoir trouver un résultat pour h quelconque, sans approximation

[petitmousse49]

Je t'ai expliqué message #7 que cela n'est pas au programme de PCSI...

[Dynamix]

négliger le terme faisant intervenir l'exponentielle. Hypothèse à vérifier...

Négliger la phase d' accélération , et oublier les diptères .
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Stokes
https://fr.wikipedia.org/wiki/Frottement_fluide

[Black Jack 2]

Bonjour,

S'il s'agit bien de la chute d'une goutte d'eau dans l'air, le nombre de Reynolds, pour une goutte de 2 mm de diamètre est environ Re = v * 2.10^-3/(15,5.10^-6) = 130 v

Donc, après une courte descente (1 ou 2 secondes), on se trouve dans le cas de frottement aérodynamique (proportionnel à v²).

Si l'énoncé précise Force de frottement de Stokes, la force de frottement est proportionnelle à v, mais ceci n'est guère compatible avec le message 11, soit "il s'agit simplement de la chute d'une goutte d'un nuage"

Enfin soit, on commence à avoir l'habitude d'énoncés à 100 lieues des réalités.

Certes, l'équation différentielle à résoudre (avec frottement aérodynamique) n'est probablement pas à la portée du niveau dans lequel le problème est posé, mais ce n'est pas une raison pour fausser le "feeling" des étudiants en utilisant des conditions non adéquates.

Si on veut utiliser Stokes ... prévoir la descente d'une goutte d'eau dans de la glycérine par exemple.

[yvon l]

j'ai peut être rendu l'exercice compliqué en m'orientant sur cette voie? la question était de calculer l'énergie dissipée lors de la chute (avec h=1000m, rayon=45micrometre pour l'application numérique).
merci de vos réponses

Bonsoir.
Tu fais simplement un bilan des transferts d’énergie.
L'énergie dissipée est la différence entre l'énergie potentielle de départ et l'énergie résiduelle au moment de l'arrivée au sol.
Cette dernière est cinétique et se dissipe au moment du choc.
De plus, tu verras qu'elle est négligeable (compare par exemple 1kg de pluie qui tombe de 1000m et l'énergie cinétique de ce kg qui arrive à une vitesse de par exemple 2m/s

[gts2]

Le texte dit un rayon de 45 micromètre, on trouve v=0,2 m/s et Re=0,7 et il parle bien d'un nuage et pas de pluie.

[yvon l]

Le texte dit un rayon de 45 micromètre, on trouve v=0,2 m/s et Re=0,7 et il parle bien d'un nuage et pas de pluie.

Et alors, il suffit de connaitre la masse de la goutte (et la hauteur). (mais je ne veut pas donner la solution...)

[Black Jack 2]

Je corrige quant même mes propos.

avec une goute d'eau de 2 mm de diamètre.

Si on calcule la vitesse limite avec un frottement aérodynamique, on a :

4/3 * Pi * R³ * Rho(eau) = 1/2 * Rho(air) * Pi * R² * Cx * v²
4/3 * R * Rho(eau) = 1/2 * Rho(air) * Cx * v²

et si on considère la goutte comme quasi sphérique, Cx = 0,4

4/3 * 10^-3 * 1000 = 1/2 * 1,2 * 0,4 * v²
v = 2,4 m/s ... donc vitessse pas si grande, on est probablement à cheval entre un frottement fluide et un frottement aérodynamique.

Edit : Pas vu les 2 messages précédents avant d'écrire celui-ci.

[gts2]

j'ai peut être rendu l'exercice compliqué en m'orientant sur cette voie

Vous avez surtout rendu le problème compliqué en ne donnant pas toutes les informations.

[gts2]

il suffit de connaitre la masse de la goutte (et la hauteur)...

OK, mais le texte demande deux méthodes.

[yvon l]

OK, mais le texte demande deux méthodes.

Comparer les 1000 m et la hauteur correspondant à la hauteur résiduelle (fictive) équivalente à partir d’une vitesse 2,4m/sec*:
Ec= 1/2mv² = 2,88.m
hauteur équivalente h= E/mg= 2,88.m/(m.9,81)= 0,3m
Comparaison des énergies:1000m <> 0,3m

[gts2]

On reprend : je suis d'accord avec votre méthode, je n'ai rien contre, pas plus qu'avec l'approximation, mais cela fait une méthode et le texte en demande deux.
D'autre part, mais cela ne change rien, la vitesse n'est pas de 2,4 m/s, parce que la goutte ne fait pas 2 mm de rayon.