Bonjour, dans le livre L'équation du nénuphar, d'Albert Jacquard, l'auteur explique comment trouver la célèbre équation : t' = t.(1 - v2/c2)-1/2.
Les "2" et "-1/2" étant exposants.
Mon souci réside dans le passage de l'avant-dernière ligne à la dernière. Je ne parviens jamais à obtenir cette fameuse équation.
Je vous remercie de jeter un coup d'oeil à l'extrait de l'ouvrage, et de me préciser la démonstration.
Chr57.
Désolé mais je n'arrive pas à voir l'extrait
pardon, voici :
Intéressons-nous à la durée du parcours d’un éclair lumineux envoyé sur un miroir et revenant à son point de départ. Nous à neutrons, comme un principe de base, que la lumière se déplace dans l’espace (nous supposons vide) avec une vitesse certes très élevée, mais finit : 300 000 km par seconde, et que cette vitesse ne dépend ni du mouvement des corps qui l’ont émises ni du mouvement de celui qui la mesure. Cette constance est un fait expérimental qui a longtemps semblé en contradiction avec les fondements de la physique, jusqu’à ce qu’Albert Einstein rétablisse la cohérence grâce à la théorie de la relativité. Cette vitesse, notée c, est une des constantes de notre univers. Quelle sera la durée de l’aller retour ?
Si le miroir et l’observateur sont immobiles de la part à l’autre, les deux éléments : émission de l’éclair, retour de l’éclair, ont lieu au même endroit, et sont donc notés par une même horloge. La durée t du temps écoulé entre ces deux événements est :
t = 2 D / c
où D est la distance entre l’observateur le miroir.
Si, en revanche, l’observateur se déplace avec la vitesse v par rapport à l’espace dans lequel le miroir et les horloges indiquant le temps sont immobiles, le trajet suivi par la lumière tiendra compte de ce déplacement ; notons 2D’ sa longueur. La durée du parcours sera donc différente, notons-la t’ = 2D’ / c. La distance entre les deux horloges situées l’une au point des missions de l’éclair, l’autre au point de réception, est égale à v.t’. Le théorème de Pythagore nous permet d’écrire :
D’2 = D2 + (vt’/2)2 = D2 + v2t’2/4
D’où t’2 = 4D’2/c2 = 4D2/c2 + v2t’2/c2
Et t’ = t . (1 – v2/c2)-1/2 = t / (1 – v2/c2)
Salut,
je réécris tout ça pour que ce soit plus clair.
On a :
et
(application du théorème de Pythagore)
L'avant-dernière ligne dit (se déduit des 2 dernières équations):
Ensuite, il suffit d'utiliser la 1ère équation et de l'injecter dans l'équation précédente, c'est-à-dire en remplaçant D par ct/2. Ce qui donne :
En simplifiant, on a :
En regroupant les t', on obtient :
Je pense que maintenant tu peux terminer pour arriver à l'équation finale bien connue qui est :
Ce qui peut s'écrire aussi :
Il manquait l'exposant 1/2 (dans le texte joint) dans la 2ème expression de l'équation finale (c'est peut être cela qui te gênait).
Remarque : tu verras que le coefficient intervenant dans la dernière ligne, soit :
est souvent noté
je te remercie pour ta reprise plus détaillée de la démonstration. Elle m'a été très utile pour comprendre.
Chr57.
Bonjour, je pourrais savoir comment vous-faites pour passer de
D'2=D2+ (vt'/2)2 a t'2=4D2/c2+v2t'2/c2
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.
Raptor
bonjour raptor.
Voici :
D’2 = D2 + (vt’/2)2 = D2 + v2t’2/4 (1)
or, on sait que t' = 2D'/c
Donc, on a
t'2 = 4D'2/c2
on remplace D'2 par l'expression trouvée dans (1), on a
t'2 = 4.(D2 + v2t'2/4) / c2
t'2 = 4D2/c2 + v2t'2/c2
merci chris57, c'est vraiment sympa
Re-bonjour, après intense réflexion (), une autre question me vient à l'esprit:
si l'on admet un second observateur, celui-ci inclus avec l'éclair (il va donc voyager à la vitesse de la lumière), dans le 1er cas (où le premier observateur est en mouvement par rapport au miroir, aux horloges [en bref, à l'événement]), comment expliquer rigoureusement ou avec des arguments mathématiques, que ce 2ème observateur va mesurer un temps t (qui est inférieur au temps t' mesuré par le 1er observateur) ?
En effet, j'ai lu que le fait de voyager à la vitesse de la lumière "raccourcit" en quelque sorte la distance. Dans le cas présenté, comment prouver que 2D' devient 2D, et donc t' devient t, pour notre second observateur ?
Merci pour votre réponse, et désolé pour le mal de tête provoqué !
Quand on s'interesse "au point de vue des photons", cela n'a plus vraiment de sens, puisque dans ce cas particulier l'univers environnant se contracte en un point et le temps s'arrête complètement. Franchement, les raisonnements deviennent alors très difficiles avec notre conception classique du temps et de l'espace et cela n'a plus beaucoup d'intérêt.
Bonjour b@z66 et merci de ta réponse.
L'auteur écrit par la suite:
"Cette formule est célèbre [t' = t.(1-v2/c2)exposant -1/2], l’important est d’en comprendre la signification. Un même événement à une durée différente selon que celui qui la mesure est au repos ou en mouvement par rapport à lui. Dans le premier cas, la durée correspond à ce que l’on appelle le temps propre, dans le second attend un propre ; le second, comme le montre la dernière équation, est toujours plus grand que le premier. Je vais de Lille à Marseille en avion, combien dure mon voyage ? Je peux répondre, soit en regardant ma montre au départ et à l’arrivée, soit en regardant les horloges des aéroports. Même en admettant que toutes ces horloges sont rigoureusement synchrones, qu’il n’y a pas la moindre erreur de lecture, ces deux méthodes ne donnent pas les mêmes résultats. Ma montre est au repos par rapport à l’événement mesuré, le voyage ; elle donne un temps propre ; les horloges des aéroports sont en mouvement par rapport à l’événement (où l’événement par rapport à elles, ce qui est équivalent), elles donnent un temps impropre, plus long. La différence est cependant bien faible. Nous avions pris l’habitude de considérer l’écoulement du temps comme celui d’un fleuve insensible aux objets qui charrient. Cette vision est fausse, le temps s’écoule moins rapidement pour une horloge qui se déplace que pour celle qui reste immobile. "
Dans le cas de nos éclairs lumineux, je trouve bizarre que l'auteur considère que ces 2 expériences imaginées, constituent un même et seul événement. En effet, un éclair est projeté orthogonalement au miroir et l'autre de façon oblique ; ce qui fait que lors de l'envoi du 2ème éclair, le trajet de la lumière est composé de 2 hypothénuses, soit une longueur supérieure au trajet du 1er éclair. t'>t forcément.
Par la suite, l'écrivain parle cette fois-ci d'un même événement avec le vol de l'avion. Cet épisode est à l'origine de ma question du post précédent. Comment comprendre que le temps des horloges d'aéroport est plus long ? (à cause du mouvement de la terre ?)
Ou alors, comment assimiler que le temps de la montre du passager est plus court ?
En quoi, l'épisode des éclairs explique-t-il ces phénomènes ?
Merci de vos explications.
Chr57.
J'ai un peu du mal à cerner à quelle situation tu te rapporte:Envoyé par chr57
-si tu considères que les avions décrivent une trajectoire à peu près rectiligne (qu'ils ne font pas le tour du monde, comme dans l'extrait que tu as joint), le temps de vol mesuré par un observateur au sol sera moins important que celui mesuré par un observateur dans l'avion car le premier observateur est immobile par rapport aux deux aéroports. Cela ressort de la relativité restreinte.
-si tu considères que l'avion fait le tour du monde dans un sens où dans l'autre en revenant à son aéroport de départ, il faut là prendre en compte le sens de rotation de la Terre qui se manifeste déja par exemple par la force de coriolis. Cela est du au fait que l'avion subit une accélération(ses moteurs) qui va dans le sens ou non de celle des objets restés(ou accrochés) sur la Terre qui elle même tourne provoquant force centrifuge, coriolis...
cela ressort plutot de la relativité générale même si l'explication peut être considérée à la limite de la relativité restreinte.
Dernière modification par b@z66 ; 22/07/2006 à 19h30.
Dans la premiere situation que tu évoques, j'ai du mal à comprendre pourquoi l'observateur au sol mesure un temps plus court que l'observateur dans l'avion. La durée que mesure l'observateur au sol que tu évoques, doit être équivalent au temps d'arrivée et de départ que mesurent les 2 aéroports ? non ?
Le fait que je sois lycéen, et que je n'ai pour connaissance que la lecture de quelques ouvrages sur le domaine est la raison pour laquelle mes questions peuvent te paraître incongrues; je te remercie pour tes explications.
Chr57.
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Dernière modification par b@z66 ; 22/07/2006 à 22h45.
En fait tu as raison, je me suis trompé en analysant l'expérience. Le fait que le voyageur soit immobile par rapport aux deux aéroports avant le départ et après l'arrivée de l'avion fait qu'il faut juste tenir compte des accélérations subi par l'avion à cause de ses réacteurs. La relativité restreinte (ou générale pour d'autres) dit que c'est l'observateur ne subissant pas d'accélération physique (celui à terre, qui ne subi pas les accélérations(reférentiel quasi inertiel) de l'avion) qui mesure la durée la plus longue entre deux horloges restées immobiles l'une par rapport à l'autre dans chaque aéroport (temps propre) tandis que l'autre observateur-voyageur(dans l'avion, reférentiel non inertiel) mesurera une durée plus courte avec une horloge emmené avec lui mais synchronisé, avant le départ de l'avion, avec les deux autres.
Je n'ai pas tenu compte des accélérations dues à la rotation de la Terre qui peuvent entraîné des conséquences différentes suivant le sens que prend l'avion (est-ouest ou ouest-est).
Dernière modification par b@z66 ; 22/07/2006 à 22h59.
Le temps que mesure l'observateur-voyageur est également un temps propre. non ?
Le temps propre correspond au temps mesuré par l'observateur au repos par rapport à l'événement, n'est-ce pas? Dans ce cas, on peut dire qu'il y a 2 états de repos: celui où l'observateur fait partie de l'événement, et l'autre où l'observateur est en dehors de l'événement, en repos.
Le fait qu'il y ait 2 temps propres paraît un peu paradoxale, d'autant plus que leur durée n'est pas la même.
Quelle est l'erreur de mon raisonnement ?
Le temps propre mesuré par le voyageur n'est pas un temps propre au sens de celui caractéristique de la relativité restreinte (temp le plus court mesurable dans différent reférentiel inertiel). Le reférentiel lié au voyageur n'est pas inertiel.
Merci de ta réponse.
Je m'interesse également en ce moment à l'expérience de Michelson-Morley, qui devait prouver l'existence de l'ether. J'ai trouvé une page web parlant de ce sujet, mais l'application géométrique exposée me semble mal expliquée sur ce site : http://vulgum.org/libre/imprimer.php3?id_article=120
A la figure 3, je ne comprends pas l'intérêt de montrer le chemin attendu de la lumière (qui est alors oblique), relativement à l'éther, de poser un triangle rectangle dont l'hypothénuse vaut la vitesse c (chemin attendu de la lumière), et, ce qui m'étonne, de calculer la durée de la traversée du courant, qui est perpendiculaire au trajet de la source s, et donc de calculer un trajet de lumière non attendu.Je trouverais logique d'attribuer la vitesse c à la traversée du courant (a vers b sur figure 2).
Si quelqu'un pouvait m'aider ou m'envoyer un autre lien où l'expérience est mieux expliquée, cela me soulagerait; la géométrie de cette expérience semble simple mais l'article comporte des contradictions.
Merci. Chr57.
PS: encore une chose : attribuer la vitesse c à l'hypothénuse, revient à poser le fait que, même sans éther, la lumière poursuivrait une trajectoire oblique après la rencontre avec le miroir. HELP
Pourtant, l'auteur explique bien la sitution avec l'exemple des deux nageurs. Le nageur qui traverse le courant doit se positionner obliquement au courant pour traverser le courant par le plus court chemin. Le vecteur vitesse du nageur (c) est donc positionner obliquement par rapport au courant. Mais ce qui nous interesse est le temps que met le nageur pour traverser suivant la trajectoire directe, on a donc besoin de la composante du vecteur vitesse suivant cette direction (vitesse u). On connait toutefois l'autre composante du vecteur vitesse du nageur suivant la perpendiculaire à la précédente direction: il s'agit de la vitesse du courant v. On a donc pour la norme du vecteur du nageur: c=(V^2+U^2)^(1/2) d'où l'expression de u en fonction ce v et c qui en découle immédiatement. J'espère que cela a répondu a ta question.
Si tu n'en ais toujours pas sur, essaye de faire l'expérience dans un torrent. C'est plus convaincant.
Dernière modification par b@z66 ; 24/07/2006 à 00h14.
Une rectification: le vecteur vitesse est en fait bien u et ses 2 composantes c et v.
D'accord b@z66, j'ai compris.
Mais alors, le 1er miroir est positionné de telle sorte que le rayon de lumière dirigé vers le miroir b soit oblique ?
c'est bien cela ?
Une autre question: le vent d'ether soufflant sur la figure 3 est orienté vers la gauche ? comme l'analogie avec les nageurs ? dans ce cas, la figure montre le chemin attendu de la lumière sans vent d'ether, puisque la lumiere est orientée obliquement et le vecteur d'ether vers la gauche, le chemin attendu devrait etre une droite perpendiculaire à la source s ?
Excuse-moi chr57, mais le vecteur vitesse est bien u en fait, c'est pour cela que j'ai rectifié précédement. En réalité, ce que l'on envoie et que l'on voit éventuellement est le rayon de lumière dèjà influencé par le vent d'éther, on pourrait donc constater (en supposant l'existence de l'ether) que si on supprimait l'éther, le rayon de lumière partirait obliquement avec la vitesse c. Au lieu de ça, l'éther est là (on suppose toujours qu'il existe) et il part tout droit (comme dans l'exemple des nageurs) avec la vitesse u. La réponse à:
Mais alors, le 1er miroir est positionné de telle sorte que le rayon de lumière dirigé vers le miroir b soit oblique ?
est donc bien oui, mais seulement dans le cas où on pourrait arriver à supprimer le vent d'ether un moment, juste le temps du réglage. En rétablissant le vent après, l'effet voulu est que le rayon aille tout droit. Alors au lieu de chercher à faire partir le rayon obliquement en supprimant le vent d'ether, il parait beaucoup plus simple de le faire partir tout droit tout en laissant le vent d'ether.
Non, la figure montre bien le chemin attendu de la lumière avec vent d'ether: on voit que les deux chemins sont perpendiculaires comme dand le cas des nageurs dont un suit la berge et l'autre part tout droit dans le courant. Quant à la direction du vent d'ether sur la figure, elle n'est pas indiqué et cela n'a pas en soit d'intérêt de l'indiquer puisque le dispositif expérimental est, comme l'indique l'auteur, rotatif et les observations interessantes sont les changements vus lors de cette rotation.
rmq: les légères inclinaisons des droites de la figure 3, n'ont pas à mon sens de véritable influence.
Dernière modification par b@z66 ; 24/07/2006 à 11h35.
Si je te comprends bien: matériellement, on néglige la déviation à faire du rayon après la rencontre avec le 1er miroir, en le faisant partir perpendiculairement par rapport à la source s; mais mathématiquement (dans le document), on pose un triangle rectangle dont l'hypothénuse vaut c, donc comme si le rayon lumineux etait dévié obliquement à la base par le miroir.
Est-ce bien ça ?
Mathématiquement, il faudrait attribuer c au coté perpendiculaire à la source s, si l'on pense obtenir un triangle rectangle. Cela met en évidence pour moi une erreur.
Deuxièmement, si l'on néglique expérimentalement la deviation oblique que l'on devrait donner, alors on pourrait ignorer la presence d'un vent d'ether (cela ne revient pas à affirmer qu'il n'existe pas), et calculer t= 2w/c pour la durée du 1er rayon. Les deviations que causeraient l'ether etant minimes dans le cas du 1er trajet et n'ayant pas grande incidence sur les resultats, le temps mis par le 1er rayon sera plus court de toute façon que le 2ème car le vent d'ether ralentirait plus ce second rayon si le vent est orienté vers la gauche.
Bref, tout ceci n'est pas très clair.
Je reviens sur le moment où tu dis que les deviations de la figure 3 sont negligeables.
Dans ce cas, il n'y a pas de triangle rectangle, donc pas de calculs. Comment sortir de ce bourbier ?
Bon, je vais me répéter encore une fois mais apparement tu comprends pas.
- la vitesse c peut etre considérer comme la vitesse de la lumière en absence de vent d'ether.
- En présence de vent d'éther, en conséquence, la vitesse de la lumière ne vaut donc pas nécessairement c comme tu le laisses entendre
- Essaye tout d'abord de ne pas t'interresser à la figure 3 pour comprendre le principe de l'expérience mais plutot à la figure 2.
- La figure 3 n'est finalement que la figure 2 modifié pour des intérêts pratiques au niveau de la réalisation mais le principe reste le même au fond que celui de la figure 2.
Au niveau de la figure 2, le rayon transmis par s arrive en a et se divise 2 (commencement de la course des deux nageurs):
-une partie du rayon est transmise et continue tout droit jusqu'en c où il est complètement réfléchie, le rayon revient vers a où il se divise à nouveau en deux:
* - une partie est transmise et revient vers la source s.
* - l'autre partie est réfléchie et va vers d (un nageur arrive).
-l'autre partie est réléchie et se dirige vers b où le rayon est complètement réfléchi et retourne vers a où il est à nouveau divisé en deux:
* - la partie du rayon qui est transmise continue tout droit et est transmise en d (l'autre nageur arrive)
* - l'autre partie est réfléchie et retourne vers la source s
Dans l'expérience de la figure 2, on néglige la déviation que tu invoque parce que le vent d'ether est là. Si ce vent d'ether diparaissait, le rayon de lumière ne serait plus entrainer par lui et on observerait une déviation par rapport à la situation antèrieure.
Enfin, ne raisonne pas en terme de triangle rectangle mais de vecteur, le vecteur vitesse de la lumière est simplement la somme du vecteur vitesse de la lumière en absence de vent d'ether et du vecteur vitesse du vent d'ether. Ce qui se passe après c'est simplement le calcul de la norme du vecteur vitesse de la lumière en fonction de la norme de ses deux composantes. Ce n'est rien d'autre.
Dans l'expérience, on se débrouille pour que les deux rayons (nageurs) se séparent et partent perpendiculairement (en considérant que le vent d'ether traverse l'expérience en ayant une valeur notable) l'un par rapport à l'autre (segment ab et ac), c'est l'équivalent des deux nageurs qui font respectivement un aller-retour le long de la berge et perpendiculairement à la berge sur la même longueur. Si le vent d'ether existait en ayant une valeur notable et qu'on le supprimerait tout d'un coup, on observerait une déviation des segments ab et ac et l'angle bac ne serait plus nécessairement droit. Franchement je ne voit pas comment t'expliquer autrement. Dis moi sinon simplement si tu as des problèmes à comprendre la situation des nageurs avant celle de l'expérience de Morley.
Dernière modification par b@z66 ; 24/07/2006 à 16h34.
Sur la figure 1, le vecteur vitesse du nageur (vecteur AB) se résume en notation vectorielle à la somme: AB=AC+CB
Merci, c'est cela que j'avais du mal à comprendre: le fait que l'on parte de l'experience.
Désolé d'avoir été long à la détente et merci de ta patience.
[QUOTE=b@z66]
Bon, je vais me répéter encore une fois mais apparement tu comprends pas.
- la vitesse c peut etre considérer comme la vitesse de la lumière en absence de vent d'ether.
- En présence de vent d'éther, en conséquence, la vitesse de la lumière ne vaut donc pas nécessairement c comme tu le laisses entendre
- Essaye tout d'abord de ne pas t'interresser à la figure 3 pour comprendre le principe de l'expérience mais plutot à la figure 2.
- La figure 3 n'est finalement que la figure 2 modifié pour des intérêts pratiques au niveau de la réalisation mais le principe reste le même au fond que celui de la figure 2.
Au niveau de la figure 2, le rayon transmis par s arrive en a et se divise 2 (commencement de la course des deux nageurs):
-une partie du rayon est transmise et continue tout droit jusqu'en c où il est complètement réfléchie, le rayon revient vers a où il se divise à nouveau en deux:
* - une partie est transmise et revient vers la source s.
* - l'autre partie est réfléchie et va vers d (un nageur arrive).
-l'autre partie est réléchie et se dirige vers b où le rayon est complètement réfléchi et retourne vers a où il est à nouveau divisé en deux:
* - la partie du rayon qui est transmise continue tout droit et est transmise en d (l'autre nageur arrive)
* - l'autre partie est réfléchie et retourne vers la source s
[QUOTE]/
J'avais compris cela.
Ce qui a été dur, c'etait d'admettre que l'on partait de l'experience: à partir du moment où le rayon part perpendiculairement, les reglages sont bons, et si l'ether existe, il est présent à ce moment.
Désolé encore, j'ai du te paraitre lourd dfois
Merci. chr57.
Ca doit être bon alors. Simplement quand tu dis "perpendiculairement" est-ce que cela fait mention au fait que le rayon de la source s se sépare en deux rayons perpendiculaire l'un par rapport à l'autre en a? Si c'est le cas, je pense que tu as compris.J'avais compris cela.
Ce qui a été dur, c'etait d'admettre que l'on partait de l'experience: à partir du moment où le rayon part perpendiculairement, les reglages sont bons, et si l'ether existe, il est présent à ce moment.
Désolé encore, j'ai du te paraitre lourd dfois
Merci. chr57.
