Loi de Poiseuille

[invitebf47fea3]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de vocabulaire sur les lois de l'hydrostatique.

J'ai appris que pour un fluide parfait, on avait une loi de conservation de la charge et du débit.

La loi de conservation de la charge modifiée pour un fluide réel vaut Q_moyenne = S*V_moyenne. Si on considère un conduit sphérique et la vitesse moyenne d'une lame dans ce conduit on peut donc écrire Q_moyenne = πR⁴/8η * ΔP/Δl.

Ma première question est la suivante : est-ce que ΔP désigne bien la différence de pression entre les deux extrémités du conduit ? Soit la perte de charge ?

On peut ensuite déduire de cette première formule que Rh (Résistance à l'écoulement) = ΔP/Q_moyenne mais également définir Rh comme égale à 8ηl/πR⁴.

Je voudrais savoir si mon raisonnement est correct, mais également savoir exactement ce que l'on appelle la loi de Poiseuille. La loi de Poiseuille est-elle un réarrangement de la loi de conservation du débit permettant de définir la résistance à l'écoulement et surtout que ΔP = Rh * Qc ? Je me perds un peu.

Cette question est venue d'un problème que j'ai eu à résoudre : il fallait caractériser le débit volumique qui passait dans deux petits conduits de rayon R qui naissaient d'un conduit avec un rayon 2R. Les petits conduits avec la même longueur. Pour répondre j'ai dit qu'on utilisation la loi de Poiseuille qui disait que ΔP = Rh * Qc. J'en ai déduit grâce à cette même loi que Rh valait 8ηl/πR⁴ et que comme la viscosité et la longueur et le rayon ne variaient pas entre les deux petits conduits, Qc était égal dans ces deux conduits. Or pour faire cette conclusion, il m'a semblé nécessaire de préciser qu'il fallait que la pression à l'entrée et à la sortie des conduits soient identiques.

Réponse du correcteur : "on n’évoque à aucun moment la pression dans notre raisonnement. On se base sur la loi de conservation du débit (Q).D’ailleurs, dans a cas d’un fluide réel, il y a toujours une perte de pression entre deux points d’une conduite."

Résultat : Je dois mélanger quelque chose. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Un grand merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
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[gts2]

Bonjour,

Quelques problèmes de vocabulaire :
- il ne s'agit pas d'hydrostatique puisque le fluide s'écoule
- je suppose que votre conduit est cylindrique
- la loi de Poiseuille est bien Qmoyenne = πR4/8η * ΔPg/Δl.

ΔPg (pertes de charge) n'est la différence de pression que pour une conduite horizontale (cf. Bernoulli modifié)
La loi de Poiseuille suppose la conservation du débit (on parle du débit), mais n'est pas une loi de conservation du débit, elle traduit les pertes énergétiques.

On n'a pas l'énoncé exact, je suppose qu'il y avait utilisation de la conservation du débit et raison de symétrie pour écrire l'égalité des deux débits. Et dans ces raisons de symétrie, il y a en effet l'égalité des pressions de sortie.

[invitebf47fea3]

Bonjour,

Merci pour votre réponse et vos précisions.

Toutefois, je ne suis pas sûr de comprendre. Parmi les deux formules jointes, on a une loi de conservation du débit (première partie de la première ligne), une loi de Poiseuille (seconde partie de la première ligne) et une définition de la résistance hémodynamique à partir de cette dernière (seconde ligne) ?

La question était la suivante :

"Un conduit sphérique de rayon 2R se divise en 2 conduits sphériques identique de rayon R. Evaluer les variations du débit volumique. Considérer des segments de même longueur pour les conduits."

Comme je disais, je voulais appliquer la formule qui disait que Qc = Rh * ΔP, définir Rh comme étant égale à 8ηl/πR4, préciser que les pressions étaient étaient les mêmes à l'entrée et à la sortie des petits conduits et donc que le débit volumique était le même. Où est mon erreur ? Pourriez-vous me dire quelle loi j'appelle à chaque étape ?

Merci d'avance

[gts2]

Le début de la première formule est la définition du débit.
La fin est la loi de Poiseuille.
Le début de la deuxième formule est la définition de la résistance.
La fin est la valeur de cette résistance dans le cas de Poiseuille.
Après parler DU débit d'un tuyau sous-entend bien sûr que celui-ci se conserve.

Je répète une conduite n'est pas sphérique mais cylindrique.

Le texte est imprécis mais sous-entend que les deux canalisations sont identiques, pas seulement en caractéristiques, mais en disposition, disons toutes les deux horizontales, débouchant au même point...
Donc votre raisonnement consiste essentiellement à préciser ce "identiques" concernant les pressions de sortie.

De même "Evaluer les variations du débit volumique" n'est pas très clair, cela voudrait dire qu'on a une situation initiale avec un débit Q, qu'on change quelque chose ce qui donne un débit Q' et on cherche Q'-Q.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf47fea3]

Ok je commence à comprendre. Merci.

L'image ci-dessous devrait être maintenant correcte et plus précis ?

ix05.jpg

Du coup une petite nuance : en physiologie, on peut calculer la pression entre deux vaisseaux grâce à la formule ΔP = Rh * Qc = 8ηl/πR4 * Qc. J'avais appris que c'était la loi de Poiseuille qui nous permettait de poser cette formule mais en fait il serait plus juste de dire que la définition de la résistance nous permet de dire que ΔP = Rh * Qc tandis que la loi de Poiseuille nous permet de caractériser Rh car en l'espèce il s'agit d'une conduite cylindrique. Ai-je juste ?

Pour en revenir à l'exercice.

Si on nous avait dit dans l'énonce que la vitesse et la surface étaient la même dans ces deux conduites, on aurait simplement pu déduire de la définition du débit qu'il était également le même. Comme on connaît simplement l'égalité des surfaces, on utilise la loi de Poiseuille. On indique que les rayons sont les mêmes, que la viscosité ne change pas mais ne faut-il pas également préciser que la perte de charge est identique pour conclure ? Le cas échéant, suffit-il, pour prouver que la perte de charge est identique, de dire que les tuyaux sont de même longueur ?

Je ne comprends pas vraiment la correction qui m'est donnée (ci-dessous avec l'énoncé que j'avais simplifié).

200612125854846448.png

Pas plus que la réponse qui m'est faite lorsque je demande s'il faut considérer les pressions à la sortie des conduites égales entre elles et les pressions à l'entrée des conduites égales entre elles : "on n’évoque à aucun moment la pression dans notre raisonnement. On se base sur la loi de conservation du débit (Q). D’ailleurs, dans a cas d’un fluide réel, il y a toujours une perte de pression entre deux points d’une conduite."

Merci encore.

[gts2]

Pour ce qui est de votre interprétation c'est presque cela :
On part du débit S v ; cylindrique cela permet de calculer S ; hypothèse fluide newtonien laminaire permet de calculer v moyen ; D'où Q.

Pour la dernière ligne, je dirai plutôt "valeur" de la résistance.

Pour ce qui est du corrigé, il dit géométrie identique, donc R identique, et il "oublie" identique, ce que vous faites en disant " les pressions à la sortie des conduites égales ".

Je suppose que comme on est dans un cadre bien particulier, il est "évident" que les capillaires vont déboucher sur une même pression.
Mais cette hypothèse pression est nécessaire. Supposons deux tuyaux identiques, l'un débouchant à l'air libre, l'autre au fond d'un récipient, les deux débits seraient différents.

Pour ce qui est de la définition de la résistance, on part en général de Poiseuille et on essaie de généraliser. D'un point de vue formelle, oui la définition de la résistance est ΔP = Rh * Qc, et dans le cas de Poiseuille on peut calculer Rh.
Poiseuille c'est aussi des hypothèses sur le fluide et l'écoulement (voir plus haut).

Quant à "on n’évoque à aucun moment la pression dans notre raisonnement", elle intervient dans la dernière phrase : , pour avoir le même Q ayant le même R; il faut bien le même

[invitebf47fea3]

Ok.

J'en conclurai donc que la loi de Poiseuille est une adaptation de la définition du débit pour une conduite cylindrique contenant un fluide newtonien laminaire !

J'ai noté les remarques pour l'exercice. La correction ne doit pas être bonne. Si le sujet retombe je parlerais de cette égalité de pression.

Un grand merci pour tout !

[invitebf47fea3]

Je simplifierai avec : fluide réel* car dans mon cours on utilise la formule pour le sang, qui est un fluide réel non newtonien si je ne dis pas de bêtise.

[gts2]

Si vous utilisez la formule de Poiseuille, vous supposez le fluide newtonien, vous utilisez LA viscosité η, et en effet, pour le sang η, est variable et dépend des contraintes, celui des veines n'est pas le même que celui des capillaires.

[invitebf47fea3]

C'est noté. MERCI !