Tenseur des contraintes scalaire en statique fluide

[iPhysics]

Bonjour à tous !

Après avoir démontré qu'en statique fluide, les composantes du tenseur des contraintes sont nulles lorsque , comment peut-on déduire que les contraintes sont normales ?

Je connais la relation avec sigma qui représente les contraintes en un point et n la normale en un point.

On peut facilement se représenter analytiquement et géométriquement que lorsque la normale suit l'axe x,y ou z, la contrainte est parallèle à cette normale. En revanche, si par exemple selon un repère Oxyz notre normale avait pour direction , on aurait une contrainte ayant pour direction .

La contrainte serait alors parallèle à la normale si et seulement si on pouvait établir . Je suis conscient que cette relation est vraie, mais justement : afin de démontrer l'égalité des composantes diagonales du tenseur des contraintes en fluide statique, je me sers du fait que les contraintes soient dans la même direction (en sens opposé) que la normale des parois du fluide.

J'aimerais donc savoir comment envisager sans utiliser l'égalité des composantes diagonales du tenseur des contraintes mais seulement le fait que toutes les autres composantes de ce tenseur soient nulles.

Merci beaucoup !!
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[gts2]

afin de démontrer l'égalité des composantes diagonales du tenseur des contraintes en fluide statique, je me sers ...

Vous ne considérez pas que c'est une conséquence de l'isotropie du fluide ?

[iPhysics]

Logiquement, je pense bien que l'isotropie du fluide puisse suffire à admettre l'égalité des composantes diagonales du tenseur des contraintes. Si je ne me trompe pas dans ma conception de la chose, la composante représente la projection suivant un axe x de la contrainte en un point qui admet une normale parallèle à l'axe x, et ainsi l'isotropie implique que si l'on fait ainsi avec un axe y ou un axe z il n'y a aucune raison que cela change.. J'espère ne pas me tromper dans ma conception (j'ai encore un peu de mal avec les tenseurs).

Dans le cas où l'on considère cette égalité simplement comme une conséquence de l'isotropie du fluide considéré, je peux facilement arriver à la conclusion .

En revanche, dans le syllabus de cours que j'étudie, il est dit "[...] on en conclut donc que les tensions tangentielles sont nulles dans un fluide au repos. Étant donné une facette ds orientée par , la tension sera donc purement normale et de sens contraire à ."

Ce qui me "dérange" là-dedans c'est qu'à ce stade du syllabus (bon, ça vient juste après mais bon) on précise pas encore l'égalité des composantes diagonales du tenseur. Ainsi, j'ai du mal à comprendre comment simplement la nullité des autres composantes entraînent des contraintes normales, surtout lorsque j'essaye avec un exemple numérique comme sur mon premier post :/

Merci beaucoup pour votre réponse

[gts2]

Votre raisonnement se tient, pour que la contrainte soit normale quelque soit la direction, il faut en effet que les composantes diagonales soit égales.

[A voir en vidéo sur Futura]