Physique de l'état solide - modèle Kronig-Penney

[Chtitmaxou]

Bonjour,

J'essaie d'apprendre la physique du solide avec le livre "Physique de l'état solide" de Charles Kittel, mais je pêches sur pas mal de point d'interprétation.
Notamment à cause du réseau réciproque.

J'ai compris que le réseau réciproque représentait les différents états possibles des particules (électrons, photon) ou pseudo particules (phonon) car il donne une information sur le vecteur d'onde k et l'énergie E est une fonctionnelle de k.

Le modèle de Kronig-Penney permet d'expliquer la théorie des bandes, il utilise le théorème de Bloch qui permet de prendre en compte la périodicité (ici du réseau) dans l'équation de Schrodinger.



Avec

Cette équation permet de se rendre compte qu'il existe des énergies pour lesquelles le membre de gauche est supérieur en valeur absolu à 1. Ces énergies font parties de la bande interdite car il n'existe aucun état k permettant d'avoir cette énergie.

Pour obtenir ce résultat:

On applique l'équation de Schrödinger à un électron


Avec
J'en ai déduis que cette fonction d'onde était la somme des configurations possibles pour un électrons (différentes valeurs de k sont possibles).

On utilise un potentiel périodique (transformée de Fourrier pour tenir compte de la périodicité?):
, comme le potentiel est réel:
Première incompréhension:
Il dit que les valeurs des coefficients tendent à décroitre rapidement quand l'amplitude de G augmente. Mais comment on trouve ça? Pour moi G est un vecteur du réseau réciproque qui permet de passer d'un état à l'état suivant (ou inversement). Je n'arrive pas forcément à faire le lien avec le potentiel.

l'énergie de l'électron

On travaille beaucoup avec des transformées de Fourier, c'est bien pour tenir compte de la périodicité des entités ?

Ensuite j'aurai une dernière question, si on prend un électron avec un vecteur d'onde -k, et un autre avec un vecteur d'onde k. Ces deux électrons ont la même énergie (mais se propagent dans des directions opposés). La dégénérescence de spin et le principe d'exclusion de Pauli indiquent qu'il ne peut exister au sein du crsital que 2 électrons de chaque ?

Merci d'avance pour votre aide
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[obi76]

Bonjour,

je suis loin d'avoir les compétences dans ce domaine, je vais juste tenter de répondre à une des interrogations :

On travaille beaucoup avec des transformées de Fourier, c'est bien pour tenir compte de la périodicité des entités ?

disons que la TF a le bon goût d'être très pratique lorsqu'on a des équations différentielles comme celle-ci (l'équation différentielle est linéarisée par cette méthode pour chaque composante du spectre). En plus elle permet effectivement de tenir compte de la périodicité.

Du coup trouver une fonction inconnue, périodique, permet via sa TF, de trouver les composantes dans l'espace de Fourier de cette fonction, dont on fait la transformée inverse pour trouver la fonction originale.

Quant à U_g qui décroit "rapidement", c'est du au fait que des composantes non nulles lorsque la fréquence tend vers l'infini dans Fourier induit une discontinuité. Comme dans cet exemple ce n'est pas le cas, immanquablement elle va finir par tendre vers 0 à un moment. Maintenant quand on dit "rapidement", c'est relatif...

[Chtitmaxou]

Merci pour ta réponse rapide, c'est-à-dire une discontinuité?

[obi76]

Une fonction non continue (créneau par exemple).

Regardez les caractéristiques de la série de Fourier, c'est plus clair que moi et répond à certains de vos questionnements : https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier

Pour U_g qui tend "rapidement" vers 0 , voir l'égalité de Parseval (sur la même page) :

Ce résultat est équivalent à une convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier correspondantes (voir ci-dessous).

L'égalité de Parseval implique en particulier que les coefficients de Fourier de f tendent (suffisamment vite) vers 0 en l'infini. Suivant les hypothèses de régularité sur f, la vitesse de convergence peut être précisée

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

J'ai trouvé beaucoup de points obscurs dans ce livre, beaucoup de choses qui semblent couler de source pour l'auteur et qu'il ne prend pas la peine d'expliquer, mais qui sont moins évidentes pour moi.
Du coup, je me suis tourné vers des cours de tradition française (par opposition à anglo-saxon). C'est moins digeste, mais moins obscur aussi. Par exemple Applications de la mécanique quantique : de l'atome au solide, de Claude Aslangul. Rien que pour la démonstration du théorème de Bloch, vous verrez la différence en nombre de pages...

[Chtitmaxou]

Ah, je suis content de savoir que je ne suis pas le seul à trouver qu'il manque de détails ! ^^

Je regarderai, j'ai encore quelques incompréhensions par rapport aux directions cristallines etc...

Merci