les conditions sur la pulsation et la vitesse angulaire initiale pour obtenir des petites oscillatio

[invite67be434c]

je bloque sur une question:

l'exo parle d'un pendule simple suspendu en O l'origine du repère (O;x;y;x). à l'instant initiale le corps est en le point dans l'angle est nulle mais la vitesse angulaire ne l'est pas (évidement pour avoir un mouvement)

on m'a demandé de trouver les conditions sur la pulsation et la vitesse angulaire initiale pour obtenir des petites oscillations; j'ai pensé au developement limité de l'expression de l'energie potentielle mais je ne sais pas quoi en faire
a little help would be appreciated!
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[ThM55]

Avec la vitesse on peut obtenir l'énergie cinétique à condition de connaître la masse. Mais la masse n'est pas pertinente dans le problème puisque l'énergie cinétique et l'énergie potentiel sont toutes deux proportionnelles à cette masse. On va donc considérer que la masse vaut 1. Donc l'énergie cinétique initiale de la masse est .

Quand toute l'énergie cinétique est convertie en énergie potentielle, le pendule est à son point le plus haut. Son énergie potentielle est alors . Ici l'angle est celui de la position la plus haute. Pour de petites oscillations on veut qu'il soit petit par rapport à 1 (1 est mon approximation de pi/2 ): .

Pour obtenir une condition équivalente liant la vitesse initiale et la pulsation, exprimez cette dernière en fonction de et (la longueur du pendule) et éliminez ainsi de l'énergie potentielle. Vous pouvez ensuite développer le cosinus en série de Taylor au deuxième ordre. En égalant le résultat à l'énergie cinétique initiale, vous avez une relation qui lie la vitesse, la pulsation et l'amplitude maximum de l'angle. La condition de petites oscillations donnera le résultat que vous cherchez.